Fiche de révision : Notions fondamentales sur les fonctions numériques

📋 Plan du Cours

1. Notion de fonction numérique et notation f : x ↦ expression
2. Définition d'image et d'antécédent par une fonction
3. Existence et unicité des images et antécédents
4. Calcul d'images par substitution dans une fonction
5. Propriétés des images pour des nombres opposés
6. Résolution d'équations pour déterminer les antécédents

📖 1. Notion de fonction numérique et notation f : x ↦ expression

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction numérique : Une machine à transformer (c'est-à-dire à changer) les nombres selon un programme de calcul.
• Notion : Un concept ou une idée permettant de comprendre ou de représenter une réalité, ici celle de fonction ou de transformation numérique.

📝 Points essentiels

• La notation f : x ↦ 5x – 3 indique que la fonction f associe à chaque nombre x l'expression 5x – 3.
• Une fonction numérique est une machine à transformer les nombres selon une règle donnée.

💡 À retenir

La fonction est comprise comme une transformation numérique définie par une expression algébrique et sa notation symbolique.

📖 2. Définition d'image et d'antécédent par une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

L'image d’un nombre par une fonction est le nombre obtenu en appliquant cette fonction à ce nombre.
L’antécédent d’un nombre par une fonction est le nombre qui, lorsqu’il est transformé par cette fonction, donne le nombre considéré.

📝 Points essentiels

• L’image de x par la fonction f est le nombre f(x) obtenu en appliquant f à x.
• Le nombre x est appelé antécédent de f(x) par la fonction f.
• Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par une fonction, mais il ne peut avoir qu’une seule image.
• La fonction f transforme un nombre x en un nombre f(x) quand cette transformation est possible, sinon l’image n’existe pas.

💡 À retenir

L’image d’un nombre par une fonction correspond au résultat de l’application de cette fonction, tandis que l’antécédent est le nombre qui, par cette même fonction, donne le nombre considéré. La relation est bidirectionnelle : un nombre peut avoir plusieurs antécédents, mais une seule image.

📖 3. Existence et unicité des images et antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemple : Soit f  la fonction x ↦ 5x – 3.

📝 Points essentiels

• Pour un nombre x, soit f(x) n'existe pas, soit f(x) existe et est unique.
• Pour un nombre y, soit y n'a pas d'antécédent par f, soit y a au moins un antécédent.
• Certaines fonctions n'ont pas d'image pour certains nombres, comme f(x) = 1/x pour x = 0 ou f(x) = √x pour x négatif.
• Certains nombres peuvent avoir plusieurs antécédents, comme f(x) = x² où 16 a deux antécédents : –4 et 4.
• Exemples :
  • Soit f(x)=1x. Le nombre 0 n'a pas d'image par f car l'inverse de 0 n'existe pas.

💡 À retenir

Il est essentiel de distinguer clairement les conditions d'existence et d'unicité des images et antécédents selon la fonction.

📖 4. Calcul d'images par substitution dans une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Donc l'image : F(1) = 1 – 3 × 12 = 1 – 3

📝 Points essentiels

• Exemple : Pour f(x) = 1 – 3x², f(0) = 1, f(1) = –2, f(–2) = –11.
• Il faut faire attention à la différence entre –x² (toujours négatif) et (–x)² (toujours positif).
• Ne confondez pas –x2 (toujours négatif) et (–x)2 (toujours positif).

💡 À retenir

Maîtriser le calcul direct d'images en substituant les valeurs dans l'expression algébrique.

📖 5. Propriétés des images pour des nombres opposés

🔑 Notions clés & Définitions

• Considère la fonction f définie : Une règle qui associe à chaque nombre réel x un nombre réel f(x), ici définie par f(x) = 1 – 3x².
• Images par f de deux nombres opposés : Pour tout x réel, la valeur f(–x) est égale à f(x), ce qui montre que deux nombres opposés ont la même image par la fonction.

📝 Points essentiels

• Pour la fonction f(x) = 1 – 3x², on a f(–x) = f(x) pour tout x réel.
• On considère la fonction f définie par f(x) = x2 – 6x + 10.

💡 À retenir

Identifier et exploiter la symétrie des images pour des nombres opposés selon la nature de la fonction.

📖 6. Résolution d'équations pour déterminer les antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution d'équation fonctionnelle : opération consistant à résoudre l'équation f(x) = m, où f est une fonction et m une valeur donnée, afin de déterminer tous les x tels que f(x) égal m.

• Détermination des antécédents : processus permettant d’identifier tous les nombres x pour lesquels la valeur de la fonction f est égale à un nombre m spécifique.

📝 Points essentiels

• Pour trouver les antécédents d’un nombre m par une fonction f, il faut résoudre l’équation f(x) = m. La résolution consiste à manipuler cette équation pour isoler x, en utilisant les opérations algébriques appropriées. La solution de cette équation donne l’ensemble des antécédents possibles de m.

• Par exemple, si f(x) = x² – 6x + 10, pour déterminer ses antécédents pour m = 10, on résout l’équation x² – 6x + 10 = 10. En simplifiant, cela donne x² – 6x = 0, dont la résolution mène à x = 0 ou x = 6. Ces deux valeurs sont donc les antécédents de 10 par f.

• Pour m = 1, on résout x² – 6x + 10 = 1, ce qui donne x² – 6x + 9 = 0. La résolution de cette équation quadratique donne x = 3, mais en vérifiant, (x – 3)² + 1 = 0 n’a pas de solution réelle, donc 1 n’a pas d’antécédent par f.

• L’absence de solution à l’équation f(x) = m indique qu’il n’existe pas d’antécédent pour ce m. Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents selon la résolution de l’équation.

💡 À retenir

La résolution d’équations permet d’identifier précisément tous les antécédents d’une valeur donnée en transformant l’équation f(x) = m en une équation algébrique dont la solution détermine ces antécédents.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des propriétés d'image

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre image et antécédent, croire qu'un nombre a plusieurs images.
2. Supposer qu'une image existe toujours pour tout x, ce qui n'est pas vrai pour certaines fonctions.
3. Confondre –x² et (–x)² lors du calcul d'images.
4. Croire qu'un nombre peut avoir plusieurs antécédents sans vérification.
5. Oublier que certaines fonctions n'ont pas d'image pour certains nombres.
6. Confondre la résolution d'une équation avec la simple substitution.
7. Supposer que l'image d'un nombre opposé est toujours différente.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une fonction numérique et sa notation.
2. Comprendre la différence entre image et antécédent.
3. Savoir résoudre une équation pour déterminer les antécédents.
4. Maîtriser le calcul d'images par substitution.
5. Identifier la propriété des images pour des nombres opposés.
6. Connaître les conditions d'existence et d'unicité des images et antécédents.
7. Faire attention à la différence entre –x² et (–x)².
8. Savoir que certains nombres n'ont pas d'antécédents.