Fiche de révision : Principe de récurrence en mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Principe de récurrence
2. Démonstration par récurrence
3. Suites et limites
4. Limite infinie
5. Limite finie
6. Opérations sur limites
7. Formes indéterminées
8. Levée d’indétermination
9. Limite de suites usuelles
10. Méthodes de calcul de limites

📖 1. Principe de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

Principe du raisonnement par récurrence : attribué à Giuseppe Peano (1858-1932), ce principe permet de prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels en vérifiant deux étapes : l'initialisation et l'hérédité (voir aussi Henri Poincaré (1854-1912)). Il consiste à démontrer qu'une propriété est vraie pour un rang initial puis qu'elle se transmet d’un rang à l’autre.

Principe d’hérédité : selon Peano, c’est la règle selon laquelle, si une propriété est vraie pour un certain rang, alors elle l’est aussi pour le rang suivant. Cela repose sur la métaphore des dominos : si le premier tombe, et si chaque domino fait tomber le suivant, alors tous tombent.

Initialisation dans la récurrence : étape qui consiste à vérifier que la propriété est vraie pour le premier rang considéré (souvent n=1 ou n=0). Elle est essentielle pour assurer la validité de la démonstration par récurrence, comme illustré par la chute du premier domino.

Métaphore des dominos pour la récurrence : image utilisée pour illustrer le principe d’hérédité. La chute du premier domino (initialisation) entraîne la chute de tous les dominos suivants si chaque domino fait tomber le suivant (hérédité), garantissant ainsi la propriété pour tout rang.

Importance de l'initialisation : étape cruciale pour éviter les fausses propriétés. Sans vérification de la propriété pour le premier rang, la démonstration par récurrence peut conduire à des conclusions fausses, comme illustré par l’exemple de la propriété « 2^n est divisible par 3 » démontrée sans initialisation.

📖 2. Démonstration par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

Méthode de démonstration par récurrence : Technique de preuve permettant d'établir qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels en montrant d'abord qu'elle est vraie pour un premier rang (initialisation), puis qu'elle est héréditaire (si elle est vraie pour un rang, alors elle l'est pour le rang suivant) (voir "Principe du raisonnement par récurrence").

Hypothèse de récurrence : Supposition que la propriété est vraie pour un rang arbitraire 𝑘, utilisée pour démontrer qu'elle est vraie pour le rang suivant 𝑘 + 1 (voir "Hérédité").

Exemple de démonstration par récurrence sur suites : Démonstration où l'on prouve par récurrence une formule explicite d'une suite, en vérifiant l'initialisation et l'hérédité (exemple : suite définie par une relation de récurrence ou formule explicite).

Démonstration de monotonie par récurrence : Méthode pour prouver qu'une suite est croissante ou décroissante en utilisant la récurrence, en montrant que si la propriété est vraie pour un rang, alors elle l'est pour le suivant (voir "Démonstration de la monotonie par récurrence").

Définition : l'inégalité de Bernoulli : Pour tout nombre réel 𝑎 positif et tout entier naturel 𝑛, on a : $(1 + 𝑎)^𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑎$, démontrée par récurrence (voir "Démonstration de l'inégalité de Bernoulli par récurrence").

📝 Points essentiels

• La méthode de démonstration par récurrence repose sur deux étapes fondamentales : l'initialisation (vérifier la propriété pour le premier rang) et l'hérédité (si la propriété est vraie pour un rang 𝑘, alors elle l'est pour 𝑘 + 1). La conclusion s'appuie sur le principe du raisonnement par récurrence attribué à Giuseppe Peano (1858-1932), popularisé par Henri Poincaré (1854-1912).

• La hypothèse de récurrence est une étape clé qui permet d'utiliser la propriété supposée vraie pour un rang 𝑘 afin de prouver qu'elle l'est pour le rang suivant 𝑘 + 1. Elle doit être formulée clairement pour que la démonstration soit rigoureuse.

• La démonstration de suites par récurrence peut viser à établir une formule explicite, une propriété de croissance ou de décroissance, ou encore une inégalité. Par exemple, pour prouver que $\forall n \geq 1, 2^n > n$, on vérifie initialement pour $n=1$, puis on suppose vrai pour un certain $k$, et on prouve pour $k+1$.

• La monotonie d'une suite (croissante ou décroissante) peut être démontrée par récurrence en montrant que si la propriété est vraie pour un rang, alors elle l'est pour le suivant, en utilisant une hypothèse de récurrence.

• La démonstration de l'inégalité de Bernoulli (voir "propriété") illustre une application classique de la récurrence, en vérifiant l'initialisation pour $n=0$ et en utilisant l'hypothèse pour prouver l'inégalité pour $n+1$.

💡 À retenir

La démonstration par récurrence est une méthode puissante pour prouver des propriétés valides pour tous les entiers naturels, en s'appuyant sur l'initialisation et l'hérédité, et elle est notamment utilisée pour établir des formules explicites, des inégalités ou la monotonie de suites.

📖 3. Suites et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : Une suite (𝑢") est dite convergente si elle admet une limite finie 𝐿, c’est-à-dire que pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, |𝑢" − 𝐿| < ε. La suite "se resserre" autour de 𝐿 à partir d’un certain rang.

• Suite divergente : Une suite (𝑢") est divergente si elle ne possède pas de limite finie. Elle peut tendre vers +∞, −∞, ou osciller sans se rapprocher d’aucune valeur précise (exemple : (−1)^n).

• Notion de limite finie : La limite 𝐿 d’une suite (𝑢") est une valeur réelle vers laquelle les termes de la suite se rapprochent indéfiniment lorsque n tend vers l’infini, c’est-à-dire que pour tout ε > 0, il existe N tel que pour tout n ≥ N, |𝑢" − 𝐿| < ε (voir section 2).

• Notion de limite infinie (introduction) : Une suite (𝑢") admet une limite infinie (+∞ ou −∞) si ses termes deviennent arbitrairement grands ou petits à partir d’un certain rang. Par exemple, lim "→+∞ 𝑢" = +∞ signifie que pour tout M > 0, il existe N tel que pour tout n ≥ N, 𝑢" > M.

• Exemples de suites et leurs limites :

  • (𝑢") = 1/n : limite finie 0.
  • (𝑢") = n : limite infinie +∞.
  • (𝑢") = (−1)^n : divergence (oscillation sans limite).
  • (𝑢") = 𝑙𝑛(n) : limite infinie +∞, mais lentement.

📝 Points essentiels

• La limite finie 𝐿 d’une suite (𝑢") est caractérisée par la propriété que, à partir d’un certain rang, tous ses termes restent aussi proches de 𝐿 que l’on souhaite, conformément à la définition formelle (voir section 2).
• La divergence ne signifie pas nécessairement que la suite tend vers +∞ ou −∞ ; elle peut aussi osciller ou ne pas se rapprocher d’un point précis.
• La limite infinie (+∞ ou −∞) est une notion d’asymptote, indiquant que les termes deviennent arbitrairement grands ou petits.
• La suite (𝑢") = (−1)^n ne possède pas de limite finie ni infinie, elle est divergente.
• La convergence ou divergence d’une suite peut être déterminée par des méthodes de calcul ou de comparaison (voir section 3).

💡 À retenir

Une suite est dite convergente si ses termes se rapprochent d’une valeur finie, sinon elle est divergente, pouvant tendre vers l’infini ou osciller sans limite.

📖 4. Limite infinie

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie (+∞ ou -∞) :
  Selon Yvan Monka (voir source), une suite $(u_n)$ admet pour limite +∞ si, pour tout réel $A$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $u_n > A$. Autrement dit, les termes deviennent arbitrairement grands (positifs ou négatifs).
  Formellement, $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ si :
  $\forall A \in \mathbb{R}, \exists N \in \mathbb{N} : n \geq N \Rightarrow u_n > A$.

• Critère d’appartenance à un intervalle à partir d’un certain rang :
  La suite $(u_n)$ appartient à l’intervalle $\,]a; +\infty[$ à partir d’un rang $N$ si, pour tout $n \geq N$, $u_n > a$. Cela signifie que tous les termes après ce rang dépassent une certaine valeur $a$, ce qui caractérise une limite infinie positive.

• Algorithme pour déterminer un rang seuil pour limite infinie :
  En utilisant une procédure itérative, on calcule un rang $n$ à partir duquel tous les termes de la suite dépassent un nombre réel $A$. Par exemple, pour une suite croissante définie par $u_{n+1} = 4u_n$ avec $u_0 = 2$, on peut déterminer ce rang en augmentant $n$ jusqu’à ce que $u_n > A$.

• Exemples de suites à limite infinie :
  La suite $u_n = n^2$ a pour limite +∞, car elle devient arbitrairement grande lorsque $n$ augmente. De même, la suite $u_n = 10^{n}$ tend vers +∞. Ces suites illustrent que, selon leur croissance, elles peuvent avoir une limite infinie positive.

📖 5. Limite finie

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : La limite d'une suite (𝑢") est une valeur 𝐿 réelle si, pour tout intervalle ouvert contenant 𝐿, tous les termes de la suite à partir d’un certain rang appartiennent à cet intervalle. Autrement dit, pour tout 𝜀 > 0, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, |𝑢" − 𝐿| < 𝜀.
  (Source : Yvan Monka, 2023)

• Notion d’intervalle ouvert contenant la limite : Un intervalle ouvert (𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀) où 𝜀 > 0, qui contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang si la suite converge vers 𝐿. La suite est dite convergente vers 𝐿 si tous ces intervalles contiennent ses termes à partir d’un rang donné.
  (Source : Yvan Monka, 2023)

• Exemples de suites convergentes vers une limite finie : La suite 𝑢" = 1 + 1/𝑛 converge vers 1, car pour tout 𝜀 > 0, on peut choisir N tel que pour n ≥ N, |𝑢" − 1| < 𝜀. La suite 𝑢" = (−1)^𝑛 ne converge pas vers une limite finie, elle est divergente.
  (Source : Yvan Monka, 2023)

• Distinction entre limite finie et divergence : Une suite a une limite finie 𝐿 si, à partir d’un certain rang, ses termes restent arbitrairement proches de 𝐿. En revanche, une suite divergente n’admet pas de limite finie ; elle peut tendre vers +∞, −∞, ou osciller sans se rapprocher d’un réel.
  (Source : Yvan Monka, 2023)

📖 6. Opérations sur limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété de la somme : Si deux suites (𝑢") et (𝑣") ont des limites finies 𝐿 et 𝐿′ respectivement, alors la limite de leur somme est la somme des limites :
  $\lim_{n \to +\infty} (𝑢" + 𝑣") = 𝐿 + 𝐿′$
  (voir section 3)

• Propriété du produit : Si deux suites (𝑢") et (𝑣") ont des limites finies 𝐿 et 𝐿′, alors la limite de leur produit est le produit des limites :
  $\lim_{n \to +\infty} (𝑢" \times 𝑣") = 𝐿 \times 𝐿′$
  (voir section 3)

• Propriété du quotient : Si (𝑢") et (𝑣") ont des limites finies 𝐿 et 𝐿′ avec 𝐿′ ≠ 0, alors la limite de leur quotient est le quotient des limites :
  $\lim_{n \to +\infty} \frac{𝑢"}{𝑣"} = \frac{𝐿}{𝐿′}$
  (voir section 3)

• Règle des signes pour limites infinies : Lorsqu'une limite tend vers +∞ ou -∞, le signe du résultat dépend du signe des suites impliquées, notamment dans le produit ou le quotient (voir section 3).

• Limite de somme, produit et quotient selon les limites des suites : Ces propriétés permettent de calculer la limite d'une opération en utilisant les limites de chaque suite, sous réserve que celles-ci existent ou tendent vers +∞ ou -∞, en respectant les conditions de convergence ou divergence (voir section 3).

📝 Points essentiels

• La propriété de la somme est valable dès que les suites ont des limites finies, ou tendent vers +∞ ou -∞, en utilisant la limite de chaque terme séparément (voir section 3).
• La limite du produit est également valable dans le cas de limites infinies, en utilisant la règle des signes pour déterminer si le résultat est +∞ ou -∞.
• La limite du quotient nécessite que la limite du dénominateur soit différente de zéro, sinon la limite peut être une forme indéterminée ou infinie (voir section 3).
• Lorsqu'une limite tend vers +∞ ou -∞, il faut appliquer la règle des signes pour déterminer la nature du résultat dans le produit ou le quotient.

💡 À retenir

Les opérations sur limites (somme, produit, quotient) permettent de décomposer le calcul de limites complexes en utilisant celles des suites de base, à condition de respecter les conditions de convergence ou divergence. La règle des signes est essentielle pour déterminer le signe du résultat lorsque les limites tendent vers +∞ ou -∞.

📖 7. Formes indéterminées

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme indéterminée "∞ - ∞" : Expression où deux termes tendant vers l'infini sont soustraits, mais dont la limite ne peut pas être déterminée directement car la différence peut converger vers une valeur finie ou diverger (exemple : √𝑛 + 2 − √𝑛).
• Forme indéterminée "0 × ∞" : Produit d'une quantité tendant vers zéro par une autre tendant vers l'infini, rendant impossible la détermination immédiate de la limite sans manipulation supplémentaire.
• Forme indéterminée "∞/∞" : Quotient où le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers l'infini, nécessitant souvent une factorisation ou une expression conjuguée pour lever l'indétermination (exemple : (5𝑛²+4)/(4𝑛²+3𝑛)).
• Forme indéterminée "0/0" : Quotient où le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers zéro, ce qui oblige à utiliser des techniques comme la factorisation ou l'expression conjuguée pour déterminer la limite (exemple : lim "→ +∞" (√𝑛 + 2 − √𝑛)).
• Importance de reconnaître les formes indéterminées : Identifier ces formes permet de choisir la méthode appropriée pour lever l'indétermination, comme la factorisation, l'expression conjuguée ou la division par le monôme de plus haut degré (voir section 8).

📝 Points essentiels

• La reconnaissance des formes indéterminées est cruciale pour appliquer la bonne technique de calcul de limite.
• Les formes "∞ - ∞" et "0/0" apparaissent fréquemment dans les calculs de limites impliquant des suites ou des fonctions, et leur traitement nécessite des manipulations algébriques spécifiques.
• La méthode de levée d’indétermination par factorisation consiste à exprimer la différence ou le quotient sous une forme plus simple, souvent en utilisant l’expression conjuguée pour "∞ - ∞" ou "0/0" (exemples : lim "→ +∞" (√𝑛 + 2 − √𝑛)).
• La distinction entre ces formes permet d’éviter des conclusions erronées et d’assurer la validité du résultat.

💡 À retenir

Les formes indéterminées "∞ - ∞", "0 × ∞", "∞/∞" et "0/0" nécessitent des techniques spécifiques pour être levées, afin de déterminer la limite avec précision. Leur reconnaissance est essentielle pour appliquer la méthode adaptée et éviter des erreurs de calcul.

📖 8. Levée d’indétermination

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode de levée d’indétermination par factorisation : Technique consistant à factoriser le numérateur et le dénominateur d’une expression pour simplifier et lever une forme indéterminée, notamment du type "∞ − ∞" ou "0/0". Elle repose sur l’utilisation de la factorisation du monôme de plus haut degré pour simplifier l’expression (voir aussi "Utilisation de la factorisation du monôme de plus haut degré").

• Méthode de levée d’indétermination par expression conjuguée : Technique qui consiste à multiplier et diviser par l’expression conjuguée d’un terme pour transformer une forme indéterminée du type "∞ − ∞" ou "0/0" en une expression plus simple, permettant d’évaluer la limite (voir aussi "Exemples détaillés de levée d’indétermination").

• Exemples détaillés de levée d’indétermination : Cas concrets illustrant l’application des méthodes de factorisation ou d’expression conjuguée pour lever des indéterminations, tels que la limite de √(n+2) − √n ou (n − 3√n).

• Utilisation de la factorisation du monôme de plus haut degré : Approche spécifique où l’on divise numérateur et dénominateur par le monôme de degré maximal pour simplifier l’expression et déterminer la limite, notamment dans le cas de formes "∞/∞" ou "0/0".

• Techniques algébriques pour lever les indéterminations : Ensemble de méthodes, incluant la factorisation et l’expression conjuguée, permettant de transformer une expression pour en faciliter l’évaluation de limite, en évitant les formes indéterminées.

📝 Points essentiels

• La reconnaissance des formes indéterminées ("∞ − ∞", "0 × ∞", "∞/∞", "0/0") est cruciale pour choisir la méthode adaptée (voir aussi "Les quatre formes indéterminées à reconnaître").
• La méthode de factorisation consiste à exprimer la différence ou le quotient sous une forme factorisée, souvent en utilisant la différence de carrés ou de racines, pour simplifier l’expression et lever l’indétermination (ex : $n - 3\sqrt{n} = n^{1} - 3n^{1/2}$).
• La méthode de l’expression conjuguée est particulièrement efficace pour les expressions contenant des racines, en multipliant par la conjugée pour éliminer la racine du dénominateur ou du numérateur (ex : $\sqrt{n+2} - \sqrt{n}$).
• Ces techniques permettent de transformer des formes indéterminées en expressions dont la limite peut être directement évaluée ou simplifiée.
• La maîtrise de ces méthodes est essentielle pour résoudre efficacement les limites impliquant des expressions complexes ou indéterminées.

💡 À retenir

Les méthodes de levée d’indétermination, par factorisation ou expression conjuguée, sont indispensables pour transformer une expression indéterminée en une forme simple, permettant d’évaluer la limite avec précision.

📖 9. Limite de suites usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie (+∞) : La suite (𝑢") admet pour limite +∞ si, pour tout réel A, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, 𝑢" > A. Autrement dit, les termes deviennent aussi grands que l’on veut à partir d’un certain rang.
  Exemple : La suite 𝑢" = 𝑛& a pour limite +∞ (voir section 2).

• Limite finie (L) : La suite (𝑢") admet pour limite L si, pour tout intervalle ouvert contenant L, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, 𝑢" appartient à cet intervalle. La suite se resserre autour de L à partir d’un certain rang, ce qui implique sa convergence (voir section 2).

• Comportement asymptotique des suites usuelles : Analyse du comportement de suites telles que n, n², √n, 1/n, 1/n², 1/√n lorsque n tend vers l’infini, en utilisant des démonstrations par limite (voir section 2).

• Démonstration de la limite de 1/n vers 0 : En utilisant la définition, pour tout ε > 0, il existe N tel que pour n ≥ N, |1/n - 0| = 1/n < ε. Par exemple, si ε = 0.01, alors N = 100. Ainsi, lim n→+∞ 1/n = 0 (voir section 2).

• Exemples numériques illustrant les limites :

  • Limite de 𝑢" = 𝑛 : tend vers +∞.
  • Limite de 𝑢" = 1/𝑛 : tend vers 0.
  • Limite de √n : tend vers +∞.
  • Limite de 1/√n : tend vers 0.

📝 Points essentiels

• Les suites usuelles comme n, n², √n ont des comportements asymptotiques bien connus :

  • n → +∞, n² → +∞, √n → +∞.
  • 1/n → 0, 1/n² → 0, 1/√n → 0.
    Ces résultats se démontrent en utilisant la définition de limite infinie ou finie, notamment par la méthode de l’écrasement ou la factorisation (voir section 2).

• La limite de 1/n vers 0 est démontrée en montrant que pour tout ε > 0, il existe N tel que pour n ≥ N, 1/n < ε. Par exemple, pour ε = 0.001, N = 1000.

• La notion de comportement asymptotique permet d’établir la croissance ou la décroissance des suites, essentielle pour analyser leur convergence ou divergence.

• La reconnaissance des formes limites indéterminées (ex : 0/0, ∞/∞) est cruciale pour appliquer les méthodes de levée d’indétermination (voir section 2).

💡 À retenir

Les suites usuelles comme n, 1/n, √n ont des limites bien établies : elles tendent respectivement vers +∞ ou 0, et leur comportement asymptotique est fondamental pour comprendre la convergence ou divergence des suites.

📖 10. Méthodes de calcul de limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthodes générales de calcul de limites : Techniques permettant d’évaluer la limite d’une suite ou d’une fonction, notamment par manipulation algébrique, factorisation ou expression conjuguée, pour lever les formes indéterminées (voir section 8).

• Utilisation combinée des propriétés d’opérations : Application des propriétés fondamentales des limites (somme, produit, quotient) pour déduire la limite d’une expression complexe à partir des limites de ses composants (voir section 6).

• Levée d’indétermination : Processus consistant à transformer une expression présentant une forme indéterminée (ex : 0/0, ∞ - ∞) en une expression équivalente où la limite peut être directement calculée, par exemple par factorisation ou expression conjuguée (voir section 8).

• Exemples de calculs complexes de limites : Cas où la limite nécessite des techniques avancées, comme la factorisation, l’expression conjuguée ou la mise en évidence du monôme de plus haut degré, pour lever les indéterminations (voir partie 3).

• Stratégies pour choisir la méthode adaptée : Approche systématique pour déterminer la technique la plus efficace selon la forme de l’expression initiale, en privilégiant la factorisation, l’expression conjuguée ou l’analyse asymptotique (voir partie 3).

📝 Points essentiels

Les méthodes de calcul de limites reposent sur la manipulation algébrique et l’utilisation des propriétés des limites pour simplifier l’expression initiale. Lorsqu’une expression présente une forme indéterminée, il est nécessaire de la transformer pour pouvoir appliquer directement la propriété de limite. La levée d’indétermination est souvent réalisée par factorisation, expression conjuguée ou mise en évidence du monôme de plus haut degré, permettant de réduire l’expression à une forme connue ou directement calculable. La combinaison de ces techniques, en fonction de la forme de départ, constitue une stratégie efficace pour traiter des calculs complexes. La maîtrise de ces méthodes est essentielle pour analyser le comportement asymptotique des suites et fonctions, notamment dans le cadre de limites infinies ou finies. La sélection de la méthode dépend du type de forme indéterminée rencontrée, et une pratique régulière permet d’identifier rapidement la technique la plus appropriée.

💡 À retenir

Les techniques de levée d’indétermination, combinées à l’utilisation des propriétés des limites, permettent de simplifier et de calculer efficacement les limites complexes, en choisissant la méthode la plus adaptée à la forme initiale de l’expression.

📊 Tableaux de Synthèse