QCM : Principes de dénombrement et lois binomiales — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la conséquence de l'application du principe additif et du principe multiplicatif dans le dénombrement ?

Le principe additif s’applique uniquement dans les expériences indépendantes, alors que le principe multiplicatif concerne uniquement les ensembles disjoints.
Le principe additif augmente le total en additionnant les résultats d’ensembles disjoints, tandis que le principe multiplicatif permet de calculer le nombre total de résultats dans une succession d’expériences.
Le principe additif réduit le nombre total en regroupant les résultats similaires, alors que le principe multiplicatif divise le total par le nombre de résultats possibles.
Le principe additif permet de compter le nombre total de résultats dans une expérience successive, tandis que le principe multiplicatif additionne les résultats d’ensembles disjoints.

Le principe additif augmente le total en additionnant les résultats d’ensembles disjoints, tandis que le principe multiplicatif permet de calculer le nombre total de résultats dans une succession d’expériences.

Explication

L’application du principe additif consiste à additionner le nombre d’éléments dans des ensembles disjoints, ce qui augmente le total. Le principe multiplicatif permet de calculer le nombre total de résultats possibles dans une suite d’expériences indépendantes en multipliant le nombre de résultats possibles à chaque étape. La réponse 1 reflète précisément cette relation de cause à effet.

2. Quel principe s'applique lorsque l'on souhaite additionner le nombre d'éléments de deux ensembles disjoints ?

Principe multiplicatif
Principe additif
Principe combinatoire
Principe de permutation

Principe additif

Explication

Le principe additif permet d'additionner la taille de deux ensembles disjoints. Les autres principes ne concernent pas l'addition de tailles d'ensembles distincts.

3. Comment appliquer le dénombrement des k-uplets pour déterminer le nombre total de séquences possibles de 4 lettres choisies parmi un alphabet de 10 lettres, si la répétition est autorisée ?

En utilisant la formule 10^4, car chaque position peut être remplie par n’importe quelle des 10 lettres indépendamment.
En utilisant la formule 4^10, parce que le nombre de séquences dépend du nombre d’éléments et de la longueur.
En utilisant la formule 10 × 9 × 8 × 7, car il s’agit du nombre d’arrangements de 4 lettres sans répétition.
En utilisant la formule 10! / (10-4)!, car cela correspond au nombre d’arrangements possibles de 4 lettres distinctes.

En utilisant la formule 10^4, car chaque position peut être remplie par n’importe quelle des 10 lettres indépendamment.

Explication

La formule pour le nombre total de k-uplets d’un ensemble de n éléments, avec répétition autorisée, est n^k. Ici, n=10 et k=4, donc le nombre de séquences possibles est 10^4.

4. Quelle est la formule du nombre total de k-uplets possibles d’un ensemble de n éléments, avec répétition autorisée ?

n! / (n-k)!
n^k
(n!)/(k!(n-k)!)
2^n

n^k

Explication

Le nombre de k-uplets avec répétition autorisée est n^k, car chaque position peut être remplie par n éléments, indépendamment des autres.

5. Qui a introduit la notion de coefficients binomiaux, essentiels pour calculer la loi binomiale, et en quelle année ?

Isaac Newton, 1687
Blaise Pascal, 1654
Pierre-Simon Laplace, 1812
Carl Friedrich Gauss, 1809

Isaac Newton, 1687

Explication

Isaac Newton a développé la formule du binôme de Newton, avec ses coefficients binomiaux, en 1687. Pascal a également étudié ces coefficients, mais Newton est souvent crédité pour leur développement.

6. Quelle est la valeur du nombre de parties d’un ensemble à n éléments, et que représentent-elles ?

2^n, représentant toutes les combinaisons d’éléments
n!, représentant toutes les permutations possibles
n^2, représentant toutes les paires possibles
n/2, représentant la moitié des éléments de l’ensemble

2^n, représentant toutes les combinaisons d’éléments

Explication

Le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est 2^n, car chaque élément peut soit être inclus soit exclu, ce qui correspond à toutes les combinaisons possibles.

7. Quelle formule donne le nombre d’arrangements de k éléments parmi n, où l’ordre compte ?

n! / (n-k)!
n^k
(n!)/(k!(n-k)!)
2^n

n! / (n-k)!

Explication

Le nombre d’arrangements de k éléments parmi n, en tenant compte de l’ordre, est donné par la permutation n! / (n−k)!.

8. Comment appelle-t-on l’ensemble constitué des listes ordonnées de k éléments issus d’un même ensemble E, et comment se note-t-il ?

k-uplets, notés E_k
Permutations, notées P_k
Combinaisons, notées C_k
Cartesian products, notés E×k

k-uplets, notés E_k

Explication

L’ensemble des listes ordonnées de k éléments de E est appelé k-uplets, notés E_k, et leur nombre est n^k si E a n éléments.

Révisez avec les flashcards

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Principe additif — définition ?

Additionne le nombre d’éléments d’ensembles disjoints.

Principe additif — définition?

Additionne les tailles d’ensembles disjoints.

Dénombrement des k-uplets — formule ?

n^k, avec n le nombre d’éléments de E.

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