Principe du raisonnement par récurrence
Preuve qu’une propriété est vraie pour tous les entiers à partir d’un rang initial.
Méthode de démonstration par récurrence
Vérifier initialisation puis hérédité pour conclure.
Exemple de récurrence sur une suite
Prouver une formule ou une propriété pour tous n via étape initiale et hérédité.
Inégalité de Bernoulli — rôle
Établir une borne pour (1+a)^n quand a>0.
Rôle de l’initialisation en récurrence
Vérifier la propriété au rang de départ pour enclencher la preuve.
Limite infinie — suite divergente ?
Oui, si les termes deviennent arbitrairement grands.
Limite finie — suite convergente ?
Oui, si les termes se rapprochent d’un nombre L.
Opérations sur limites — forme indéterminée
Requiert factorisation ou expression conjuguée pour lever l’indétermination.
Lever une indétermination — méthode
Factoriser ou multiplier par l’expression conjuguée.
Initialisation en récurrence — importance
Vérifier la propriété au rang initial pour garantir la suite.
Limite d’une suite — définition
Valeur approchée vers laquelle la suite tend quand n→+∞.
Limites des suites usuelles — exemple
n^α→+∞, 1/n→0, (-1)^n divergence.
Forme indéterminée — exemple
0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0×∞.
Lever une indétermination — technique
Factoriser par le monôme de plus haut degré.
Expression conjuguée — rôle
Simplifier une différence de racines en produit pour lever l’indétermination.
Récurrence — étape clé
Initialisation et hérédité pour prouver la propriété.
Limite infinie — définition
Les termes dépassent tout réel à partir d’un rang.
Limite finie — définition
Les termes restent proches d’un nombre L.
Opérations sur limites — précautions
Vérifier qu’elles ne sont pas formes indéterminées.
Forme indéterminée — traitement
Factoriser ou utiliser l’expression conjuguée.
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1. Quel énoncé correspond le mieux au principe du raisonnement par récurrence ?
2. Dans l’image des dominos, que représente l’hérédité ?
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