Fiche de révision : Probabilités et décomptes en jeux de dés

📋 Plan du Cours

1. Probabilité de victoire entre deux dés
2. Détermination de la face inconnue d’un dé
3. Énoncé 6 : comparaison de deux dés
4. Énoncé et issues pour le chiffre des unités
5. Scratch : génération des nombres et événements

📖 1. Probabilité de victoire entre deux dés

🔑 Notions clés & Définitions

• Couples $(a_i,b_j)$ : En probabilité, un couple $(a_i,b_j)$ représente un résultat simultané des deux dés, et sert à compter les issues favorables.
• Valeur strictement supérieure : La victoire de A sur B correspond aux issues où la face de A est strictement plus grande que celle de B.

📝 Points essentiels

• Si chaque dé a 3 faces, il y a 9 couples $(a_i,b_j)$ équiprobables.
• La probabilité que A gagne vaut (nombre de couples avec $a_i>b_j$) divisé par 9.
• Sans les valeurs exactes des faces, on ne peut pas obtenir une valeur numérique de la probabilité.

💡 Astuce mémo

Gagne ⇔ $a_i>b_j$ : compte les couples, puis divise par le total.

📖 2. Détermination de la face inconnue d’un dé

🔑 Notions clés & Définitions

• Dé équilibré : Un dé équilibré est un dé dont les faces sont prises avec la même probabilité à chaque lancer.
• Somme des faces opposées : La somme des faces opposées est une constante, ce qui relie les valeurs connues à la valeur inconnue.

📝 Points essentiels

• Pour un dé équilibré, la somme des faces opposées est constante.
• Si A a 10 et 4 connues, alors la face inconnue $x$ vérifie $10+4+x=3\times S$ (avec $S$ la somme par paire).
• Le texte indique qu’avec les informations disponibles, on ne peut pas déterminer numériquement $x$ de façon certaine.

💡 Astuce mémo

Opposés : somme constante, donc $\text{connue}+\text{connue}+x=\text{constante}$.

📖 3. Énoncé 6 : comparaison de deux dés

🔑 Notions clés & Définitions

• Dé cubique équilibré : Un dé cubique équilibré a 3 faces, toutes équiprobables, et permet de comparer deux valeurs par lancer.
• Sommes des faces opposées égales : L’énoncé impose que la somme des faces opposées suive la même règle sur chaque dé, ce qui fixe la complétion des faces inconnues.

📝 Points essentiels

• A gagne si la valeur de son dé est strictement supérieure à celle de B.
• Les faces de A sont 10, 4 et une face inconnue, celles de B sont 8, 5 et une face inconnue.
• La méthode attendue est : compléter chaque dé avec la même somme opposée, puis compter les issues où $A>B$ et diviser par le total.

💡 Astuce mémo

Compléter d’abord, puis compter les cas $A>B$.

📖 4. Énoncé et issues pour le chiffre des unités

🔑 Notions clés & Définitions

• Chiffre des unités : Le chiffre des unités est la dernière position du nombre, déterminée par la valeur affectée à la variable Unité.
• Dizaine et Unité : Dans la construction du nombre, Dizaine fixe la partie des dizaines et Unité fixe le chiffre des unités.

📝 Points essentiels

• Pour que le chiffre des unités soit 3, il faut Unité = 3.
• Dizaine peut valoir n’importe quelle valeur de 1 à 6, ce qui donne 6 nombres possibles.
• Les issues sont : 13, 23, 33, 43, 53, 63.

💡 Astuce mémo

Unités = 3 ⇔ Unité = 3, puis Dizaine varie de 1 à 6.

📖 5. Scratch : génération des nombres et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement « unités = 3 » : L’événement « unités = 3 » regroupe toutes les sorties où la variable Unité vaut 3 dans la génération Scratch.
• Issues Scratch : Les issues sont les valeurs concrètes produites par le script, ici les nombres formés à partir de Dizaine et Unité.

📝 Points essentiels

• Le script génère Unité et Dizaine avec des nombres aléatoires, puis forme Nombre en regroupant Dizaine et Unité.
• Pour l’événement « unités = 3 », il faut que la valeur de Unité soit 3.
• Les issues correspondantes sont les nombres dont la dernière chiffre vaut 3 (avec Dizaine de 1 à 6).

💡 Astuce mémo

Événement = contrainte sur une variable (ici Unité), puis on liste les sorties compatibles.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre « supérieur » et « supérieur ou égal » : ici la victoire exige $a_i>b_j$.
2. Oublier que le total des couples vaut 9 quand chaque dé a 3 faces.
3. Croire que « unités = 3 » impose une valeur précise de Dizaine alors que Dizaine varie de 1 à 6.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer $P(A\text{ gagne})$ en comptant les couples $(a_i,b_j)$ tels que $a_i>b_j$, puis en divisant par 9.
2. Savoir utiliser la propriété « somme des faces opposées constante » pour écrire l’équation reliant la face inconnue aux faces connues.
3. Pour l’énoncé 6, savoir compléter les faces inconnues avec la même somme opposée, puis compter les issues où A>B.
4. Savoir lister toutes les issues correspondant à « chiffre des unités = 3 » : 13, 23, 33, 43, 53, 63.
5. Savoir relier l’événement « unités = 3 » à la variable Scratch Unité et en déduire les issues compatibles.