QCM : Produit scalaire : notions et applications — 10 questions

Explication

Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls s’écrit comme le produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qui les sépare. Le sinus n’intervient pas dans cette définition.

Explication

Deux vecteurs colinéaires de sens contraires ont un angle de π, donc leur produit scalaire vaut l’opposé du produit de leurs normes. De même sens, il est au contraire positif.

Explication

On peut calculer un produit scalaire en remplaçant l’un des vecteurs par son projeté orthogonal sur l’autre direction. C’est précisément l’intérêt de la projection orthogonale quand l’angle n’est pas connu.

Explication

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Cela traduit une perpendicularité de leurs directions.

Explication

Le produit scalaire est linéaire par rapport à la somme : on peut distribuer un vecteur sur une addition. Les autres propositions ne donnent pas la bonne propriété algébrique.

Explication

On a bien l’identité (u+v)·(u−v)=‖u‖²−‖v‖². Les formules avec les carrés comportent, elles, un terme en 2u·v avec un signe dépendant de + ou −.

Explication

Dans une base orthonormée, le produit scalaire se calcule par la somme des produits des coordonnées correspondantes : xx'+yy'. Cette formule repose sur le caractère orthonormé de la base.

Explication

La norme au carré d’un vecteur dans une base orthonormée vaut la somme des carrés de ses coordonnées : ‖u‖²=x²+y². Les autres expressions ne donnent pas la bonne mesure de longueur.

Explication

Un point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si les vecteurs MA et MB sont orthogonaux, donc si leur produit scalaire est nul. C’est la caractérisation donnée pour ce cercle.

Explication

La formule d’Al Kashi s’écrit ici a²=b²+c²−2bc cos A, avec a opposé à l’angle A. Les autres propositions inversent l’angle ou le signe du terme en cosinus.