Propriétés des matrices diagonalisables

1. 📌 L'essentiel

• La famille de vecteurs propres associés à valeurs propres distinctes est toujours libre.
• La propriété du polynôme caractéristique est invariante par conjugaison (semblabilité).
• Si β ∈ Sp(A²) et β = α², alors au moins une des valeurs α ou −α appartient à Sp(A).
• La relation factorielle : A² − α²I = (A − αI)(A + αI).
• La démonstration de’indépendance linéaire utilise la récurrence.
• La similarité ne modifie pas le polynôme caractéristique ni les valeurs propres.

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Vecteurs propres — vecteur u tel que A·u = λ·u.
• Valeurs propres — scalaires λ tels que (A − λI)·u = 0 pour un vecteur non nul u.
• Polynôme caractéristique — χA(X) = det(A − XI), caractérise les valeurs propres.
• Matrices semblables — A et B sont semblables si B = P⁻¹·A·P, invariance du polynôme caractéristique.
• Relation A² et valeurs propres — si β ∈ Sp(A²), alors β = α² pour un α ∈ ℂ.