Que montre une table de vérité pour une proposition composée ?
Si la proposition est vraie ou fausse selon les valeurs de vérité des propositions élémentaires.
Comment est définie l'implication A ⇒ B ?
Par la proposition non A ou B.
Dans A ⇒ B, que représente A ?
Une condition suffisante pour B.
Dans A ⇒ B, que représente B ?
Une condition nécessaire pour A.
Comment s'exprime l'équivalence A ⇔ B ?
Par (A ⇒ B) et (B ⇒ A).
Quand l'équivalence A ⇔ B est-elle vraie ?
Lorsqu'A et B sont simultanément vraies ou fausses.
Quelle formule exprime la contraposition ?
A ⇒ B est équivalent à non B ⇒ non A.
Que signifie le quantificateur existentiel ∃x ∈ E, A(x) ?
Au moins un élément de E vérifie A(x).
Que signifie le quantificateur universel ∀x ∈ E, A(x) ?
Tous les éléments de E vérifient A(x).
Pourquoi ∃x ∀y A(x,y) et ∀y ∃x A(x,y) ne signifient pas la même chose ?
Parce que x peut dépendre de y dans la seconde proposition.
Quelle est la négation d’un énoncé universel ∀x A(x) ?
C’est ∃x ¬A(x).
Quelle est la négation d’un énoncé existentiel ∃x A(x) ?
C’est ∀x ¬A(x).
Comment démontre-t-on une proposition A directement ?
On établit une condition suffisante B puis on démontre B ⇒ A.
Quelle hypothèse fait-on pour démontrer une proposition par l’absurde ?
On suppose que la proposition A est fausse.
Que déduit-on de l'hypothèse qu'A est fausse en démonstration par l’absurde ?
On en déduit une contradiction.
Quelle implication est équivalente à P ⇒ Q ?
Sa contraposée ¬Q ⇒ ¬P est équivalente.
Que faut-il démontrer pour prouver une équivalence P ⇔ Q ?
Il faut démontrer séparément P ⇒ Q et Q ⇒ P.
Qu'affirme le principe de récurrence sur une partie A de N ?
A égale N si elle contient 0 et est stable par passage de n à n+1.
Quelles étapes sont nécessaires pour démontrer P(n) par récurrence simple ?
Établir P(n₀) puis P(n) implique P(n+1) pour tout n ≥ n₀.
Que suppose l'analyse dans une analyse-synthèse ?
Elle suppose le problème résolu et cherche des conditions nécessaires.
Que vérifie la synthèse dans une analyse-synthèse ?
Elle vérifie si les conditions nécessaires sont aussi suffisantes.
Qu'est-ce que la réunion A ∪ B d'ensembles A et B ?
L'ensemble des éléments appartenant à A ou à B, avec un « ou » inclusif.
Qu'est-ce que l'intersection A ∩ B d'ensembles A et B ?
L'ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B.
Qu'est-ce que le complémentaire E \ A d'un ensemble A dans E ?
L'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à A.
Quand dit-on qu'un ensemble A est inclus dans un ensemble B ?
Lorsque tout élément de A est un élément de B.
Quelle est la formule de De Morgan pour le complémentaire de l'intersection ?
Le complémentaire de A ∩ B est égal à complémentaire A ∪ complémentaire B.
Quelle est la formule de De Morgan pour le complémentaire de la réunion ?
Le complémentaire de A ∪ B est égal à complémentaire A ∩ complémentaire B.
Quelles conditions définissent une partition (Xᵢ)ᵢ∈I de E ?
Sa réunion est E, les ensembles distincts sont disjoints, et aucun Xᵢ n’est vide.
Qu'est-ce qu'une application f : E → F ?
Une application associe à chaque x de E un unique élément f(x) de F.
Comment se définit la composition g∘f de f : E → F et g : F → G ?
Par g∘f(x) = g(f(x)).
Que vaut la fonction caractéristique 1_A d'un sous-ensemble A de E ?
Elle vaut 1 sur A et 0 sur E A.
Quelles conditions définissent une application injective ?
Deux images égales impliquent l'égalité des antécédents.
Quelles conditions définissent une application surjective ?
Tout élément du codomaine possède un antécédent.
Quelle formule donne le nombre d'applications de E dans F si E et F sont finis ?
Card(F^E) = (Card F)^{Card E}.
Quelle est la formule du nombre de p-combinaisons d'un ensemble de cardinal n ?
C'est binom{n}{p} = n! / (p!(n-p)!) pour 0 ≤ p ≤ n.
Quelles propriétés caractérisent une relation d'équivalence ?
Elle est réflexive, symétrique et transitive.
Comment exploiter un schéma logique de la forme A⇒(B⇒C) ?
On part de l’hypothèse B et on utilise A pour établir C.
Qu'est-ce qu'une implication A⇒B en logique ?
C'est une proposition pouvant être vraie ou fausse indépendamment de A et B.
Quelle est la première étape pour démontrer une propriété par récurrence simple ?
Démontrer l’initialisation.
Quelle étape suit l'initialisation dans une démonstration par récurrence simple ?
Établir que P(n) implique P(n+1) pour tout n≥n₀.
Comment prouver que deux ensembles A et B sont égaux ?
Il faut montrer qu'A est inclus dans B et B est inclus dans A.
Quelle propriété la fonction caractéristique transforme-t-elle en calcul algébrique ?
Elle transforme les opérations ensemblistes en calculs algébriques.
Quelle est la formule de la fonction caractéristique de l'intersection de A et B ?
C'est le produit des fonctions caractéristiques : 𝟙_{A∩B} = 𝟙_A × 𝟙_B.
Quelle est la formule de la fonction caractéristique de l'union de A et B ?
C'est 𝟙_{A∪B} = 𝟙_A + 𝟙_B − 𝟙_A × 𝟙_B.
Comment se définit la différence symétrique de deux ensembles A et B ?
C'est (A 5 B) 7 (B 5 A).
Quelle est la formule d'inclusion-exclusion pour deux ensembles finis A et B ?
Card(A∩B) + Card(A∪B) = Card(A) + Card(B).
Que peut-on dire du cardinal de deux ensembles finis en bijection ?
Ils ont le même cardinal.
Quelles propriétés sont équivalentes pour une application entre deux ensembles finis de même cardinal ?
L'injectivité, la surjectivité et la bijectivité.
Que compte le coefficient binomial \(\binom{n}{p}\) ?
Les parties de cardinal p d'un ensemble de cardinal n.
Quelle relation vérifie le coefficient binomial \(\binom{n}{p}\) ?
\(\binom{n}{p} + \binom{n}{p-1} = \binom{n+1}{p}\).
Quelle formule donne le coefficient binomial \(\binom{n}{p}\) pour \(0<p<n\) ?
\(\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}\).
Quelle est la formule de la somme des carrés de 0 à n ?
La somme des carrés est 9sum_{k=0}^{n}k^2=9frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Quelle est la formule de la somme des cubes de 0 a0e0 n ?
La somme des cubes est 9sum_{k=0}^{n}k^3=9left(9frac{n(n+1)}{2}9right)^2.
Quelle formule relie la somme des coefficients binomiaux e0 e0 n ?
La somme 9sum_{k=p}^{n}9binom{k}{p}=9binom{n+1}{p+1} pour n>pa0e0 0.
Comment est de9finie la suite de Fibonacci ?
Par F_0=0, F_1=1 et F_{n+2}=F_{n+1}+F_n pour tout n naturel.
Combien de parties a un ensemble de cardinal n ?
Il a 2^n parties.
Quelle somme de coefficients binomiaux égale 2^n ?
La somme de k=0 à n de C(n,k) égale 2^n.
Quelle formule exprime la convolution des coefficients binomiaux ?
La somme de k=0 à n de C(p,k)C(q,n-k) égale C(p+q,n).
Comment calcule-t-on le nombre de partitions d’un ensemble de cardinal np en sous-ensembles de cardinal p ?
C'est (np)! divisé par (p!)^n fois n!.
Que fait la formule du crible pour une famille de p ensembles ?
Elle alterne les sommes des cardinalités des intersections de 1 à p ensembles.
Quel signe accompagne les intersections de r ensembles dans la formule du crible ?
Le signe est (-1)^{r+1}.
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1. Quel énoncé décrit correctement le rôle d’une table de vérité ?
2. Quelle expression est logiquement équivalente à l’implication A ⇒ B ?
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