Fiche de révision : Signaux élémentaires et systèmes

📋 Plan du Cours

1. Modèles et objectifs d’étude
2. Structures et modes d’asservissement
3. Critères de performance et stabilité
4. Performances des systèmes asservis
5. Modélisation des systèmes
6. Impulsion de Dirac et échelon unité
7. Signaux élémentaires et composés
8. Modèles des systèmes asservis
9. Systèmes linéaires
10. Continuité et invariance des systèmes
11. Schémas-blocs causaux, éléments graphiques et construction
12. Gain pur et intégrateur
13. Modèles, réponse indicielle et identification du premier ordre
14. Modélisation des systèmes du second ordre
15. Moteur à courant continu
16. Modèle masse ressort amortisseur
17. Réponse indicielle et identification du second ordre
18. Systèmes linéaires d’ordre supérieur

📖 1. Modèles et objectifs d’étude

🔑 Notions clés & Définitions

• Système : Associe à un ou plusieurs signaux d’entrée physiques, fonctions du temps, un ou plusieurs signaux de sortie, eux aussi fonctions du temps.

📝 Points essentiels

📌 L’étude du comportement détermine la réponse à une entrée connue à partir d’un modèle, tandis que l’étude de la commande cherche l’entrée produisant une réponse attendue et que l’identification cherche à construire un modèle à partir d’entrées connues et des sorties mesurées.

📖 2. Structures et modes d’asservissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Boucle ouverte : Fonctionne lorsque la commande est exécutée sans contrôle de la manière dont elle a été réalisée.
• Boucle fermée : Lorsqu’une mesure de la sortie est comparée à la consigne afin d’agir sur le système en conséquence.

📝 Points essentiels

• En boucle fermée, la sortie est mesurée, comparée à la consigne pour calculer l’écart, puis cet écart devient l’entrée du processus et peut être corrigé par un correcteur placé dans la chaîne directe.

📌 Un régulateur asservi maintient généralement une consigne constante et lutte principalement contre les perturbations, tandis qu’un système suiveur traite une consigne évolutive et cherche principalement à la suivre.

💡 Astuce mémo

En boucle ouverte, aucune mesure de sortie ; en boucle fermée, la sortie revient pour être comparée à la consigne.

📖 3. Critères de performance et stabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité : La stabilité d’un système asservi signifie que, pour toute entrée bornée, sa sortie reste bornée.

📝 Points essentiels

• Les performances courantes sont : la stabilité, la précision, la rapidité, les dépassements ou l’amortissement, la sensibilité aux perturbations ou robustesse

📖 4. Performances des systèmes asservis

🔑 Notions clés & Définitions

• Temps de réponse à 5 % : Le temps nécessaire pour que la sortie entre dans une bande de ±5 % autour de sa valeur à convergence et n’en sorte plus.
• Erreur statique : La limite à convergence de l’erreur $\mu(t)$ pour une entrée en échelon d’amplitude $e_0$.
• Amortissement : Caractérisé par le rapport entre les amplitudes successives des oscillations de la sortie ; plus celles-ci s’atténuent rapidement, plus le système est amorti.
• Sensibilité aux perturbations : Ne converge pas vers la même valeur selon qu’une perturbation extérieure s’applique ou non.

📝 Points essentiels

📌 Un système est précis si son erreur statique est nulle ; dans le cas d’un système instable, la précision n’a pas de sens puisque la sortie ne converge pas.

📖 5. Modélisation des systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Modélisation : La conception d’un modèle théorique qui fournit une représentation d’un phénomène réel.

📝 Points essentiels

• La modélisation d’un système asservi consiste à isoler le système et fixer sa frontière, définir et modéliser ses entrées, le décomposer en sous-systèmes, établir un modèle de comportement pour chacun, simuler le système, puis analyser l’évolution de ses sorties.

💡 Astuce mémo

Isoler, définir les entrées, décomposer, modéliser, simuler, analyser.

📖 6. Impulsion de Dirac et échelon unité

🔑 Notions clés & Définitions

• Impulsion de Dirac : Modélise une excitation du système très brève au regard du temps d’observation, mais suffisamment significative pour produire des effets observables.
• Échelon unité : Modélise un signal qui passe rapidement de zéro à 1, puis reste constant à 1.

💡 Astuce mémo

Un créneau de plus en plus étroit et haut, dont l’aire reste égale à 1.

📖 7. Signaux élémentaires et composés

📝 Points essentiels

📐 Formule - La rampe unitaire est définie par $r(t)=0$ si $t<0$ et $r(t)=t$ si $t\geq 0$.

📐 Formule - Le sinus causal est défini par $sc(t)=0$ si $t<0$ et $sc(t)=\sin(\omega t)$ si $t\geq 0$ ; il peut aussi s’écrire $sc(t)=\sin(\omega t)u(t)$.

• Tout signal affine par morceaux peut être exprimé comme une somme de signaux élémentaires avec des fonctions échelon et rampe, éventuellement retardées.

📖 8. Modèles des systèmes asservis

📝 Points essentiels

• Pour simuler le comportement d’un système, il faut associer un modèle à chacun de ses constituants afin de traiter ensuite le modèle du système global.

📖 9. Systèmes linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Un système dont la fonction de description vérifie les principes de proportionnalité et de superposition.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un système stable linéaire, la caractéristique statique entrée-sortie est une droite passant par l’origine et vérifie $s_\infty=Ke_0$, où $K$ est sa pente.

📖 10. Continuité et invariance des systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Système continu : Un système dont les grandeurs physiques varient à chaque instant et sont caractérisées par des fonctions continues.
• Système invariant : Possède des caractéristiques qui ne varient pas au cours du temps.

📝 Points essentiels

• La numérisation d’un signal continu comporte un échantillonnage temporel, qui prélève sa valeur à chaque pas de temps, puis une quantification, qui la remplace par le pas de mesure le plus proche parmi les $N$ pas de l’intervalle.

📖 11. Schémas-blocs causaux, éléments graphiques et construction

🔑 Notions clés & Définitions

• Causalité : Dans un système causal, l’entrée précède nécessairement la sortie et les connexions sont orientées de la sortie d’un bloc vers l’entrée d’un autre.
• Bloc : Contient le nom d’un composant ou une fonction et possède une ou plusieurs entrées et sorties choisies parmi les grandeurs physiques du constituant.

📝 Points essentiels

• Les trois éléments graphiques principaux sont :

  • le bloc
  • le point de sommation
  • le point de prélèvement ou de jonction

• 🔄 La construction suit quatre étapes :

  1. Placer la grandeur de consigne à gauche et la grandeur étudiée à droite.
  2. Placer chaque sous-système dans un bloc et relier la sortie de chaque bloc à l’entrée du bloc suivant
  3. Construire l’opération du point de sommation avec les bonnes grandeurs physiques.
  4. Ajouter un point de prélèvement si une même grandeur est utilisée plusieurs fois.

💡 Astuce mémo

Les flèches entrantes sont les causes ; les flèches sortantes, les effets.

📖 12. Gain pur et intégrateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Gain pur : Un système est modélisé par un gain pur lorsque sa sortie est proportionnelle à son entrée selon $s(t)=Ke(t)$, où $K$ est le gain du système.
• Intégrateur : Un système est intégrateur lorsque sa sortie est l’intégrale de son entrée selon $s(t)=K_I\int_0^t e(\tau)\,d\tau$, où $K_I$ est une constante.

💡 Astuce mémo

Le gain pur transmet une proportion ; l’intégrateur accumule l’entrée au cours du temps.

📖 13. Modèles, réponse indicielle et identification du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Système du premier ordre : Un système d’entrée $e(t)$ et de sortie $s(t)$ est du premier ordre s’il est régi par $\tau\frac{ds(t)}{dt}+s(t)=Ke(t)$, où $\tau$ est sa constante de temps en secondes et $K$ son gain d’unité $[s]/[e]$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un système du premier ordre soumis à un échelon d’amplitude e₀, la réponse indicielle est $s(t)=Ke_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)u(t).$

• La réponse indicielle d’un système du premier ordre tend vers la valeur finale $s_\infty=Ke_0$ sans dépassement.

📐 Formule - Le temps de réponse à 5 % d’un système du premier ordre vaut $t_{5\%}=3\tau.$

📌 Une réponse convergente, de pente non nulle à l’origine et sans dépassement peut être modélisée par un système du premier ordre vérifiant $\tau\frac{ds(t)}{dt}+s(t)=Ke(t).$

• Les paramètres d’un modèle du premier ordre s’identifient à partir de la courbe mesurée selon les repères suivants.

📖 14. Modélisation des systèmes du second ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Système du second ordre : Est régi par une équation différentielle du second ordre à coefficients constants de la forme $\frac{1}{\omega_0^2}\frac{d^2s(t)}{dt^2}+\frac{2\xi}{\omega_0}\frac{ds(t)}{dt}+s(t)=Ke(t).$

📖 15. Moteur à courant continu

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le couple moteur est proportionnel au courant d’induit selon $C_m(t)=k_m i(t).$

📐 Formule - La tension induite est proportionnelle à la vitesse angulaire selon $E(t)=k_e\omega_m(t).$

📐 Formule - En combinant les équations électrique, mécanique et de couplage, le moteur à courant continu vérifie $LJ\frac{d^2\omega_m(t)}{dt^2}+(Lf+RJ)\frac{d\omega_m(t)}{dt}+(Rf+k_ek_m)\omega_m(t)=k_mu(t).$

📖 16. Modèle masse ressort amortisseur

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour la masse soumise à la force f(t), au ressort de force −ky(t) et à l’amortisseur de force −μẏ(t), la dynamique vérifie $m\ddot{y}(t)+\mu\dot{y}(t)+ky(t)=f(t).$

📐 Formule - La pulsation propre non amortie et le facteur d’amortissement du système masse-ressort-amortisseur sont $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\quad\text{et}\quad \xi=\frac{\mu}{2\sqrt{km}}.$.

📖 17. Réponse indicielle et identification du second ordre

📝 Points essentiels

📌 Pour un système du second ordre, ξ < 1 correspond à un régime pseudopériodique à pôles complexes conjugués, ξ = 1 à un régime apériodique critique à pôle réel double, et ξ > 1 à un régime apériodique à pôles réels distincts.

• Pour une réponse à un échelon d’amplitude e₀, la valeur finale est Ke₀ et la pente de la tangente à l’origine est nulle, quelle que soit la valeur de ξ.

📌 Une réponse indicielle convergente, à tangente d’origine de pente nulle et présentant un dépassement peut être modélisée par $\frac{1}{\omega_0^2}\frac{d^2s(t)}{dt^2}+\frac{2\xi}{\omega_0}\frac{ds(t)}{dt}+s(t)=Ke(t).$

• Les paramètres du modèle du second ordre s’identifient à partir de la réponse mesurée : le gain K se déduit de la valeur finale s∞ = Ke₀, le facteur ξ des dépassements en pourcentage et la pulsation propre ω₀ du temps de réponse à 5 %, de l’instant du premier dépassement ou de la pseudo-période.

💡 Astuce mémo

Sous-amorti : oscillations ; amortissement critique ou fort : régime apériodique.

📖 18. Systèmes linéaires d’ordre supérieur

🔑 Notions clés & Définitions

• Système d’ordre n : Un système linéaire continu invariant est d’ordre n lorsque son équation différentielle linéaire à coefficients constants s’écrit $a_n\frac{d^ns(t)}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}s(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_0s(t)=b_m\frac{d^me(t)}{dt^m}+b_{m-1}\frac{d^{m-1}e(t)}{dt^{m-1}}+\cdots+b_0e(t),$ où n est l’ordre du système.