Fiche de révision : Statistiques descriptives

📋 Plan du Cours

1. Objectifs et validité des études
2. Types de variables
3. Échelles de mesure
4. Organisation et représentation des données
5. Notations et sommes
6. Mesures de tendance centrale
7. Mesures de dispersion
8. Comparaison des dispersions
9. Données à deux variables

📖 1. Objectifs et validité des études

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillon : Un ensemble de personnes issues de la population étudiée et sélectionnées de manière à être représentatives de cette population.
• Validité externe : Désigne la capacité d’un échantillon à fournir de bonnes estimations des caractéristiques de la population dont il est issu.
• Validité interne : Repose notamment sur la répartition aléatoire des individus dans les groupes afin de s’assurer que l’étude mesure bien ce qu’elle cherche à mesurer.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple du cours sur la gestion du stress, les étudiants ayant suivi le cours obtiennent une moyenne de 8,1/20 contre 8/20 pour ceux qui ne l’ont pas suivi, et les statistiques servent à déterminer si cet écart traduit réellement un effet dans la population.

💡 Astuce mémo

Échantillon représentatif, groupes aléatoires

📖 2. Types de variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable : Une propriété d’un objet ou d’un événement pouvant prendre plusieurs valeurs appelées modalités, généralement notées x1, x2

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Une variable qualitative catégorise les objets ou les événements, alors qu’une variable quantitative résulte d’une mesure comme la taille, le poids ou une note à un test.

📌 Une variable discrète possède un nombre limité de modalités, tandis qu’une variable continue peut présenter potentiellement une infinité de modalités entre sa valeur minimale et sa valeur maximale.

📌 Une variable indépendante est manipulée ou choisie par l’expérimentateur, tandis qu’une variable dépendante correspond à la réponse non contrôlée directement par l’expérimentateur.

Compléments

• La luminance d’un stimulus visuel, avec les modalités 5, 10 et 15 cd/m², constitue un exemple de variable indépendante manipulée par l’expérimentateur.

💡 Astuce mémo

Qualitative décrit, quantitative mesure

📖 3. Échelles de mesure

🔑 Notions clés & Définitions

• Échelle nominale : Associe des étiquettes à des modalités qualitatives qui ne sont pas ordonnées entre elles, comme le sexe dans une étude des capacités d’attention.
• Échelle ordinale : Mesure une variable qualitative dont les modalités sont hiérarchisées selon un critère, comme les niveaux pas anxieux, peu anxieux, anxieux et très anxieux.
• Échelle d’intervalle : Permet de quantifier les distances entre les modalités d’une variable quantitative, sans autoriser l’interprétation des rapports à partir d’un zéro absolu.
• Échelle de rapport : Une échelle quantitative possédant un zéro absolu qui marque l’absence de ce qui est mesuré et permet d’interpréter les rapports entre valeurs.

💡 Astuce mémo

Nominale, ordinale, intervalle, rapport

📖 4. Organisation et représentation des données

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif cumulé : L’effectif cumulé d’une modalité indique le nombre d’individus présentant une valeur inférieure ou égale à cette modalité.
• Centre de classe : Le centre d’une classe est la moyenne de sa borne inférieure et de sa borne supérieure.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — La fréquence f d’une modalité est égale à son effectif n divisé par l’effectif total N, soit f = n/N, et elle est toujours comprise entre 0 et 1.

🔄 Processus — Lorsque les données sont recueillies, il faut d’abord les récupérer puis les dépouiller en comptant le nombre de personnes correspondant à chaque modalité avant de les représenter.

📌 Un diagramme en bâtons représente généralement les modalités discrètes avec des hauteurs proportionnelles aux effectifs ou aux fréquences, tandis qu’un histogramme regroupe des valeurs en classes et rend proportionnelles les surfaces des rectangles.

Compléments

📐 Formule — L’étendue E d’une série est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur, comme dans l’exemple 121 − 39 = 82.

📐 Formule — La fréquence cumulée est égale au nombre d’effectifs cumulés divisé par l’effectif total, soit fréquence cumulée = effectif cumulé/N.

💡 Astuce mémo

Trier, compter, représenter

📖 5. Notations et sommes

📝 Points essentiels

📐 Formule — La notation Σ indique qu’il faut additionner les valeurs d’une variable dont les indices vont de 1 à N, ainsi que dans Σxi = x1 + x2 + … + xN.

📌 Une variable est généralement notée par une lettre majuscule comme X ou Y, tandis qu’une valeur ou modalité est notée par la même lettre en minuscule avec un indice, comme xi.

💡 Astuce mémo

Majuscule pour X, minuscule pour xi

📖 6. Mesures de tendance centrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode : La modalité dont l’effectif est le plus élevé ; si deux modalités ont les effectifs les plus élevés et sont égaux, la distribution est bimodale.
• Médiane : La valeur telle qu’au plus 50 % des observations lui sont strictement inférieures et au plus 50 % lui sont strictement supérieures.
• Quartiles : Trois valeurs qui partagent les données en quatre classes d’effectifs égaux, chaque classe représentant 25 % de l’effectif total, et le deuxième quartile correspond à la médiane.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — La moyenne arithmétique d’une variable quantitative est μX = (n1x1 + n2x2 + … + nixi + … + nNxN)/N, où N est l’effectif total.

📌 Le mode et la médiane ne sont pas affectés par les valeurs extrêmes, tandis que la moyenne y est très sensible ; en revanche, la moyenne permet les opérations algébriques et la moyenne de moyennes, contrairement à la médiane.

Compléments

📌 Les déciles sont neuf valeurs qui partagent les données en dix classes de 10 %, tandis que les percentiles sont 99 valeurs qui les partagent en cent classes de 1 % ; le cinquième décile et le cinquantième percentile sont la médiane.

💡 Astuce mémo

Mode, médiane, moyenne

📖 7. Mesures de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Étendue : L’étendue est la distance entre la plus grande et la plus petite valeur observée, mais elle décrit imparfaitement la dispersion globale car elle ignore les valeurs intermédiaires et dépend de la taille de l’échantillon.
• Écart interquartile : L’écart interquartile est la différence q3 − q1 entre le troisième et le premier quartile ; plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la médiane.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — La variance σ²X est la moyenne des carrés des écarts entre chaque observation et la moyenne, soit σ²X = Σ(xi − μX)²/N.

📐 Formule — L’écart-type σX est la racine carrée de la variance, soit σX = √σ²X, et s’exprime dans la même unité que les données et leur moyenne.

Compléments

• Pour les temps de réponse de l’exemple, la moyenne est de 2,66 secondes, la variance est de 0,504 seconde² et l’écart-type est de 0,254 seconde.

💡 Astuce mémo

Étendue, variance, écart-type

📖 8. Comparaison des dispersions

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de variation : Un indicateur de dispersion égal à l’écart-type divisé par la moyenne et permet de comparer des dispersions issues d’échelles différentes.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Deux distributions peuvent avoir la même moyenne tout en présentant des dispersions différentes, comme les méthodes A et B qui ont toutes deux une moyenne de 5 mais une étendue respective de 2 et 7.

Compléments

🔄 Processus — Pour représenter les écarts-types avec un polygone, on trace de part et d’autre de chaque moyenne un segment dont la longueur correspond à la moitié de l’écart-type, tandis qu’avec un histogramme la longueur du segment vertical est proportionnelle à l’écart-type.

• Dans l’exemple des deux tests de mémoire, le premier a une moyenne de 15 et un écart-type de 3,5, le second une moyenne de 75 et un écart-type de 10,5 ; leurs coefficients de variation sont tous deux égaux à 0,7.

💡 Astuce mémo

Comparer l’écart-type à la moyenne

📖 9. Données à deux variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne marginale : De X ou de Y est la moyenne de cette variable calculée indépendamment de l’autre variable quantitative.
• Variance marginale : De X ou de Y est la variance de cette variable calculée indépendamment de l’autre variable quantitative.

📝 Points essentiels

• Dans l’étude de la vitesse perçue Y d’une ligne en mouvement en fonction de son orientation X, les chercheurs peuvent calculer séparément la moyenne et la variance marginales de chacune des deux variables.

📊 Tableaux de synthèse

Échelles de mesure

Indicateurs de tendance centrale

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Une différence de moyennes observée ne prouve pas à elle seule l’efficacité du dispositif.
2. Une variable est la propriété étudiée, tandis qu’une modalité est l’une de ses valeurs.
3. Des catégories nominales ne possèdent pas de hiérarchie.
4. L’effectif est un nombre de sujets, tandis que la fréquence est une proportion.
5. Xi désigne la variable dans son ensemble, alors que xi désigne une valeur particulière.
6. Le mode n’est pas nécessairement une moyenne ni une valeur centrale.
7. L’écart interquartile ne prend pas en compte toutes les valeurs de la distribution.