Flashcards : Structure et décomposition des polynômes (27 cartes)

Somme finie de termes avec coefficients dans un corps.

Espace d'étude des polynômes à coefficients dans K.

Plus grand indice n avec a_n ≠ 0, -∞ si P=0.

Un seul coefficient, par exemple 5.

aX^n avec a dans K, n en N.

Pair si $a_{2n+1}=0$, impair si $a_{2n}=0$.

Même suite de coefficients.

P=Q×R + S avec deg(S)<deg(Q).

R dans la division euclidienne.

Deg(S)<deg(Q), unique pour P,Q.

P(α)=0.

Max m tel que (X−α)^m divise P.

Produit de $(X−α_i)^{m_i}$ avec α_i dans K.

P et sa dérivée s’annulent en ce point.

Tout polynôme se décompose entièrement en facteurs linéaires.

Facteurs linéaires et quadratiques irréductibles.

Viète : somme et produit des racines liés aux coefficients.

Lorsque leur PGCD n’est pas unitaire.

Non décomposable en facteurs non unitaires.

Totalement factorisé en (X−α_i).

Suite presque nulle, somme finie de termes.

Polynômes à coefficients dans corps $K$.

Plus grand indice $k$ avec $a_k eq 0$.

Coefficient purement constant $a_0$.

Pair: $a_{2n+1}=0$, Impair: $a_{2n}=0$.

Racines liées aux facteurs de décomposition.

Indivisibles dans $K[X]$, sauf par units.