Polynôme — définition ?
Somme finie de termes avec coefficients dans un corps.
Polynôme — définition?
Suite presque nulle, somme finie de termes.
Ensemble K[X] — rôle ?
Espace d'étude des polynômes à coefficients dans K.
Ensemble $K[X]$ — définition?
Polynômes à coefficients dans corps $K$.
Degré d’un P — définition ?
Plus grand indice n avec a_n ≠ 0, -∞ si P=0.
Degré d’un polynôme — principe?
Plus grand indice $k$ avec $a_k eq 0$.
Polynôme constant — exemple ?
Un seul coefficient, par exemple 5.
Polynôme constant — forme?
Coefficient purement constant $a_0$.
Monôme — forme ?
aX^n avec a dans K, n en N.
Polynôme pair/impair — différence?
Pair: $a_{2n+1}=0$, Impair: $a_{2n}=0$.
Polynôme pair/impair — différence ?
Pair si a_{2n+1}=0, impair si a_{2n}=0.
Relation racines & coefficients?
Racines liées aux facteurs de décomposition.
Égalité de deux P — quand ?
Même suite de coefficients.
Polynômes premiers — définition?
Indivisibles dans $K[X]$, sauf par units.
Division euclidienne — opération ?
P=Q×R + S avec deg(S)<deg(Q).
Quotient — définition ?
R dans la division euclidienne.
Reste — propriété ?
Deg(S)<deg(Q), unique pour P,Q.
Racine d’un P — condition ?
P(α)=0.
Multiplicité d’une racine — comment ?
Max m tel que (X−α)^m divise P.
Polynôme scindé — exemple ?
Produit de (X−α_i)^{m_i} avec α_i dans K.
Racine multiple — caractéristique ?
P et sa dérivée s’annulent en ce point.
Racines dans C — théorème ?
Tout polynôme se décompose entièrement en facteurs linéaires.
Décomposition dans R — particularités ?
Facteurs linéaires et quadratiques irréductibles.
Relation racines-coefficients — formule ?
Viète : somme et produit des racines liés aux coefficients.
Racines communes — quand ?
Lorsque leur PGCD n’est pas unitaire.
Polynôme irréductible — définition ?
Non décomposable en facteurs non unitaires.
Polynôme scindé dans C[X] — caractéristique ?
Totalement factorisé en (X−α_i).
Testez vos connaissances avec un QCM de 10 questions sur Structure et décomposition des polynômes.
1. Qu'est-ce qu'un polynôme dans l'ensemble K[X] ?
2. Quelle est la définition précise d'un polynôme dans l'ensemble $K[X]$ ?
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