Polynôme — définition ?
Expression finie en X avec coefficients dans K.
Anneau K[X] — rôle ?
Espace algébrique avec addition et multiplication.
Polynômes irréductibles — dans K[X] ?
Indivisible en facteurs non unitaires.
Factorisation unique — dans K[X] ?
Décomposition en facteurs irréductibles, à l’ordre près.
Racines — définition ?
Valeurs annulant le polynôme.
Multiplicité — d’une racine ?
Puissance maximale de (X - a) divisant P.
Division euclidienne — mécanisme ?
P = BQ + R avec deg(R)<deg(B).
Polynômes scindés — dans C[X] ?
Facteur en produits de (X - α_i).
Racines simples — caractéristique ?
P(a)=0 et P′(a)≠0.
Polynômes degré 2 — formule ?
x = (-b ± √Δ)/(2a), Δ=b²-4ac.
Polynômes degré 3 — résolution ?
Formule de Cardan, dépendant du discriminant.
Degré ≥ 4 — résolution explicite ?
Non, en général, pas de formule radicielle.
Application polynomiale — rôle ?
Associe à chaque x dans K la valeur P(x).
Racine — lien avec eP ?
a racine si eP(a)=0.
Racines multiples — caractéristique ?
P(a)=0 et P′(a)=0, avec multiplicité >1.
Polynôme scindé — définition ?
Produit de facteurs linéaires (X - α_i).
Racine simple — critère via dérivée ?
P(a)=0 et P′(a)≠0.
Polynômes irréductibles dans R[X] — degré 2 ?
Irréductible si discriminant < 0.
Polynômes de degré 2 — nature racines ?
Réelles distinctes, double ou complexes.
Polynômes de degré 3 — discriminant ?
Détermine la nature et la nombre de racines.
Teste tes connaissances avec un QCM de 10 questions sur Structure et factorisation des polynômes.
1. En quoi la notion de racine et celle de multiplicité diffèrent-elles ou se ressemblent-elles ?
2. Selon le contenu, quel est le statut des polynômes de degré 1 dans C[X] ?
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