Fiche de révision : Suites arithmétiques et graphiques

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques
2. Relation de récurrence
3. Formule explicite
4. Représentation graphique
5. Croissance et décroissance
6. Suites géométriques
7. Suites numériques diverses
8. Fonctions affines
9. Proportionnalité et accroissements
10. Tableaux croisés d’effectifs
11. Diagrammes en bâtons et circulaires

📖 1. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite numérique (un) telle que chaque terme est obtenu en ajoutant une constante appelée raison r au terme précédent, c’est-à-dire un+1 = un + r. (source : pages 2, 3, 4)

• Raison d’une suite arithmétique : Nombre réel r ajouté à chaque terme pour obtenir le suivant. Elle détermine la pente de la droite représentant la suite en graphique. (source : pages 3, 4, 20)

• Formule explicite d’une suite arithmétique : Expression directe du terme en fonction de n : un = u0 + n × r, où u0 est le premier terme. Elle permet de calculer n’importe quel terme sans connaître les précédents. (source : pages 4, 20)

• Relation de récurrence : Loi qui définit un+1 en fonction de un, ici un+1 = un + r, permettant de générer la suite à partir d’un premier terme donné. (source : pages 2, 3, 4, 20)

• Représentation graphique : La courbe d’une suite arithmétique est une droite dans un repère orthogonal, avec des points (n, un) alignés. La pente est donnée par la raison r. (source : pages 3, 5, 20)

• Sens de variation : La suite est croissante si r > 0, constante si r = 0, décroissante si r < 0. La représentation graphique est une droite qui monte, reste horizontale ou descend. (source : pages 3, 5, 20)

📝 Points essentiels

• La suite arithmétique est entièrement caractérisée par sa raison r et son premier terme u0.
• La formule explicite permet de calculer directement un terme en fonction de n, évitant la récursion.
• La représentation graphique d’une suite arithmétique est une droite, ce qui facilite la visualisation de son comportement.
• La croissance ou décroissance de la suite dépend du signe de r : positive pour une croissance, négative pour une décroissance.
• La relation de récurrence un+1 = un + r est une loi fondamentale pour générer la suite étape par étape, en partant d’un u0 connu.

💡 À retenir

Une suite arithmétique est une suite dont chaque terme s’obtient en ajoutant une constante appelée raison au terme précédent ; sa représentation graphique est une droite, et son comportement (croissant, décroissant, constant) dépend du signe de cette raison.

📖 2. Relation de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de récurrence : Une relation qui définit chaque terme d'une suite en fonction du terme précédent, généralement sous la forme un+1 = f(un). AUTEUR (date) : "La loi mathématique de relation de récurrence : un+1 = un + r" (exemple de suite arithmétique).
• Méthode de calcul d’un terme : Pour déterminer un terme à partir d’une relation de récurrence, on part du premier terme connu et on applique la relation de manière itérative ou en utilisant la formule explicite si elle est connue.
• Exemple de relation de récurrence : un+1 = 0,5 × un - 1, qui permet de générer la suite en partant d’un terme initial u0.
• Calcul d’un terme à partir de la relation : On remplace le terme précédent dans la relation pour obtenir le terme suivant, en répétant l’opération jusqu’au terme désiré.
• Relation de récurrence pour une suite arithmétique : un+1 = un + r, où r est la raison, permettant de générer la suite en ajoutant r à chaque terme successif.

📝 Points essentiels

• La relation de récurrence est une formule qui exprime un+1 en fonction de un, permettant de construire la suite terme à terme.
• La méthode de calcul consiste à partir d’un terme initial u0, puis à appliquer la relation pour obtenir u1, u2, etc.
• La relation un+1 = 0,5 × un - 1 est un exemple classique de relation de récurrence, illustrant une suite géométrique ou arithmétique selon la forme.
• La méthode de calcul peut aussi s’appuyer sur la formule explicite si elle est connue, mais la relation de récurrence est souvent utilisée pour générer la suite étape par étape.
• La relation de récurrence est fondamentale pour modéliser des phénomènes évolutifs ou pour définir des suites sans formule explicite.

💡 À retenir

La relation de récurrence permet de définir une suite en exprimant chaque terme à partir du précédent, facilitant ainsi sa génération étape par étape ou sa modélisation.

📖 3. Formule explicite

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite d'une suite : Expression directe permettant de calculer le terme $u_n$ en fonction de l'indice $n$ sans recourir à la relation de récurrence.
  Exemple : $u_n = 0,5 \times n - 1$ (d'après le contenu source).

• Utilisation de la formule explicite : Permet de déterminer rapidement un terme particulier $u_n$ en remplaçant simplement $n$ dans la formule, évitant ainsi le calcul par récurrence.

• Formule explicite d'une suite arithmétique :
  Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$, alors :
  $u_n = u_0 + n \times r$ (voir section 1, notions de suites arithmétiques).

• Expression directe : La formule explicite donne une relation immédiate entre le rang $n$ et la valeur du terme $u_n$, permettant un calcul simple et rapide.

• Exemple de formule explicite : $u_n = 0,5 \times n - 1$, qui permet de calculer $u_4$ en remplaçant $n=4$ :
  $u_4 = 0,5 \times 4 - 1 = 2 - 1 = 1$

📝 Points essentiels

• La formule explicite est une expression directe permettant de calculer un terme $u_n$ à partir de son rang $n$, sans passer par la relation de récurrence.
• Elle est particulièrement utile pour déterminer rapidement un terme spécifique ou pour modéliser une suite à partir d'une règle claire.
• Dans le cas d'une suite arithmétique, la formule explicite s'écrit : $u_n = u_0 + n \times r$, où $u_0$ est le premier terme et $r$ la raison.
• La formule explicite est dérivée de la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n + r$ en intégrant la progression.
• Exemple pratique : si $u_0 = 3$ et $r=7$, alors $u_n = 3 + n \times 7$.
• La formule explicite facilite le calcul de termes éloignés dans la suite, évitant une étape de calcul répétée.

💡 À retenir

La formule explicite d'une suite offre une expression immédiate pour calculer n'importe quel terme en fonction de son rang, simplifiant ainsi l'analyse et la modélisation des suites numériques.

📖 4. Représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique d’une fonction affine : La droite dans un repère orthogonal qui représente une fonction affine, permettant de visualiser la relation entre x et y.
• Coefficient directeur (a) : La pente de la droite, calculée par la formule (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁), qui indique l'inclinaison de la droite.
• Ordonnée à l’origine (b) : Le point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées, correspondant à la valeur de la fonction en 0.
• Interprétation graphique d’une suite arithmétique : La représentation par une droite où chaque point (n, un) est aligné, illustrant la progression régulière de la suite.
• Nuage de points : La représentation graphique de données statistiques, où chaque point correspond à une paire de valeurs (caractère 1, caractère 2), permettant d’observer une tendance ou une relation.

📝 Points essentiels

• La droite représentant une fonction affine est déterminée à partir de deux points, en calculant le coefficient directeur a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
• La valeur b, l’ordonnée à l’origine, se trouve en utilisant un point de la droite : b = y - a × x.
• La représentation graphique d’une suite arithmétique consiste en une droite où chaque point (n, un) est aligné, ce qui traduit la progression linéaire de la suite.
• La pente a indique si la suite est croissante (a > 0), décroissante (a < 0), ou constante (a = 0).
• La visualisation graphique permet d’interpréter rapidement la nature et la tendance d’une fonction affine ou d’une suite arithmétique.

💡 À retenir

La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère orthogonal permet de visualiser sa pente et son intercept, facilitant l’interprétation de la relation entre les variables. La suite arithmétique se traduit par une droite alignant ses points, dont la pente indique son sens de variation.

📖 5. Croissance et décroissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissance d'une suite arithmétique : Lorsqu'une suite (un) est arithmétique de raison r, elle est croissante si r > 0, c'est-à-dire que chaque terme est supérieur ou égal au précédent. Selon PERROUX (date), cela correspond à un sens de variation positif.

• Décroissance d'une suite arithmétique : La suite (un) est décroissante si r < 0, chaque terme étant inférieur ou égal au précédent. La variation est négative, conformément à PERROUX (date).

• Suite constante : Si r = 0, la suite (un) ne varie pas, tous ses termes étant identiques. La suite est dite constante, ce qui correspond à une variation nulle.

• Sens de variation d'une fonction affine : Selon le signe de a dans f(x) = ax + b, la fonction est croissante si a > 0, décroissante si a < 0, et constante si a = 0, conformément à PERROUX (date).

📝 Points essentiels

• La croissance ou décroissance d'une suite arithmétique dépend uniquement du signe de la raison r : r > 0 implique croissance, r < 0 implique décroissance, r = 0 implique constance (voir section 1, relation de récurrence).

• La représentation graphique d'une suite arithmétique est une droite. La suite est croissante si cette droite monte (a > 0), décroissante si elle descend (a < 0), et constante si elle est horizontale (a = 0).

• La variation d'une fonction affine f(x) = ax + b est directement liée au signe de a : croissante si a > 0, décroissante si a < 0, constante si a = 0.

💡 À retenir

Le signe de la raison r ou du coefficient a détermine le sens de variation d'une suite arithmétique ou d'une fonction affine : positif pour la croissance, négatif pour la décroissance, nul pour la constance.

📖 6. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite numérique (un) telle que chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre réel q, appelé la raison. (source : extrait)

• Raison d'une suite géométrique : Le nombre réel q multiplicateur, qui relie chaque terme au précédent par la relation un+1 = un × q. (source : extrait)

• Calcul d'un terme par récurrence : Pour une suite géométrique, si on connaît u0, on peut calculer un terme quelconque en utilisant la relation un = u0 × q^n. (source : extrait)

📝 Points essentiels

• La suite géométrique est définie par la relation de récurrence un+1 = un × q, où q est la raison. Elle peut aussi s'exprimer par la formule explicite :
  $un = u0 \times q^n$ avec u0 le premier terme de la suite.

• La raison q détermine le comportement de la suite :

  • Si |q| > 1, la suite diverge (croît ou décroît exponentiellement).
  • Si |q| < 1, la suite tend vers 0.
  • Si q = 1, la suite est constante.
  • Si q = -1, la suite oscille entre deux valeurs.

• Le calcul d’un terme particulier (par exemple u_n) à partir de u0 et q se fait par la formule :
  $u_n = u0 \times q^n$ ce qui permet de déterminer rapidement n’importe quel terme sans calculs successifs.

• La méthode par récurrence consiste à partir de u0 et à appliquer la relation pour obtenir les autres termes :
  $u_{n+1} = u_n \times q$

• Exemple : si u0 = 5 et q = 2, alors :
  $u4 = 5 \times 2^4 = 5 \times 16 = 80$

💡 À retenir

Une suite géométrique est entièrement déterminée par son premier terme et sa raison, et son développement peut s’effectuer rapidement grâce à la formule explicite $u_n = u0 \times q^n$.

📖 7. Suites numériques diverses

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres réels, éventuellement infinie, où chaque terme est associé à un indice n (souvent n ∈ N).
• Formule explicite : Expression directe de un en fonction de n, permettant de calculer un terme sans connaître les précédents, par exemple $u_n = 0,5 \times n - 1$.
• Relation de récurrence : Loi définissant chaque terme en fonction du précédent, par exemple $u_{n+1} = 2u_n + 1$ (voir section 2).
• Suite arithmétique : Suite où chaque terme est obtenu en ajoutant une raison r constante au terme précédent, $u_{n+1} = u_n + r$.
• Notations usuelles : La suite est notée $(u_n)$, avec n un indice naturel, et le terme général peut être exprimé par formule explicite ou relation de récurrence.

📝 Points essentiels

• Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels, souvent notée $(u_n)$, où n est un indice naturel. La formule explicite $u_n = 0,5 \times n - 1$ permet de calculer directement un terme en fonction de n, sans connaître les précédents.
• La relation de récurrence, comme $u_{n+1} = 2u_n + 1$, définit chaque terme à partir du précédent, facilitant le calcul itératif.
• La suite arithmétique est caractérisée par une raison r constante, et son expression explicite est $u_n = u_0 + n \times r$. La représentation graphique d’une suite arithmétique est une droite, avec un sens de variation dépendant du signe de r.
• La formule explicite et la relation de récurrence sont deux façons complémentaires de définir une suite. La formule explicite est utile pour un calcul direct, la récurrence pour un calcul itératif.
• La suite géométrique, non définie ici, est une autre famille importante, où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un facteur q.

💡 À retenir

Une suite numérique peut être définie par une formule explicite ou une relation de récurrence ; la suite arithmétique est une famille particulière où chaque terme s’obtient en ajoutant une constante au précédent, ce qui se traduit graphiquement par une droite.

📖 8. Fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction définie sur ℝ par f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels donnés. (Page 6)
• Coefficient directeur (a) : La pente de la droite représentative de la fonction affine, indiquant le taux de variation de la fonction. (Page 6, 13)
• Ordonnée à l'origine (b) : La valeur de f(0), c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées. (Page 6, 13)
• Proportionnalité des accroissements : Pour toute fonction affine f(x) = ax + b, le rapport (f(x) - f(y)) / (x - y) est égal à a, ce qui signifie que les accroissements de x et de f(x) sont proportionnels. (Page 6, 7)
• Différence entre fonction affine et fonction linéaire : La fonction linéaire est une fonction affine avec b = 0, c’est-à-dire f(x) = ax. La fonction affine peut avoir b ≠ 0. (Page 6)

📝 Points essentiels

• La fonction affine est représentée graphiquement par une droite dans un repère orthogonal, dont l’équation est y = ax + b.
• Le coefficient directeur a détermine le sens de variation :
  • a > 0 : fonction croissante
  • a = 0 : fonction constante
  • a < 0 : fonction décroissante
• La valeur b correspond à l’ordonnée à l’origine, c’est le point d’intersection avec l’axe des ordonnées.
• La propriété de proportionnalité des accroissements (f(x) - f(y)) / (x - y) = a permet de caractériser la pente de la droite.
• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite dont la pente est donnée par a, et qui coupe l’axe des ordonnées en b.
• La méthode pour déterminer une fonction affine à partir de deux points A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂) consiste à calculer le coefficient directeur a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) puis à utiliser un point pour trouver p (l’ordonnée à l’origine).
• La formule explicite pour une fonction affine est f(x) = ax + b, et la formule récurrente est uₙ₊₁ = uₙ + r, si la suite est arithmétique.

💡 À retenir

Une fonction affine est une droite dans un repère, caractérisée par sa pente (coefficient directeur) et son point d’intersection avec l’axe des ordonnées (ordonnée à l’origine). La proportionnalité des accroissements traduit cette relation linéaire entre x et f(x).

📖 9. Proportionnalité et accroissements

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportionnalité : Relation entre deux grandeurs où le rapport de leurs accroissements est constant, c’est-à-dire que deux grandeurs sont proportionnelles si leur rapport est une constante. (AUTEUR inconnu, principe fondamental en mathématiques)

• Accroissement : Différence entre deux valeurs successives d’une suite ou d’une fonction, notée généralement par Δ (delta). C’est la variation d’une grandeur entre deux points. (AUTEUR inconnu, notion fondamentale en analyse)

• Propriété des fonctions affines : Pour une fonction affine f(x) = ax + b, les accroissements de x et de f(x) sont proportionnels, c’est-à-dire que (f(x) - f(y)) / (x - y) = a, où a est le coefficient directeur. (Source : contenu pédagogique, référence implicite à la définition de la fonction affine)

• Utilisation des accroissements pour calculer le coefficient directeur : En utilisant deux points (x₁, y₁) et (x₂, y₂) d’une fonction affine, le coefficient directeur a se calcule par (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁). (AUTEUR inconnu, méthode classique en géométrie analytique)

📝 Points essentiels

• La proportionnalité implique que le rapport entre deux grandeurs est constant, ce qui se traduit graphiquement par une droite passant par l’origine pour une relation de proportionnalité stricte, ou par une droite affine en général.

• La notion d’accroissement est centrale pour analyser la variation d’une grandeur : si Δx > 0, alors Δf(x) = f(x + Δx) - f(x) est l’accroissement de la fonction ou de la suite sur cet intervalle.

• La propriété des fonctions affines montre que pour toute fonction affine f(x) = ax + b, la variation de f(x) entre deux points est proportionnelle à la variation de x, avec le coefficient de proportionnalité étant a.

• La formule (f(x) - f(y)) / (x - y) = a permet de déterminer le coefficient directeur à partir de deux points, ce qui est utile pour modéliser une situation de croissance ou décroissance linéaire.

💡 À retenir

L’accroissement d’une fonction affine est proportionnel au coefficient directeur, ce qui permet de relier directement la variation d’une grandeur à celle de son argument dans un contexte de proportionnalité.

📖 10. Tableaux croisés d’effectifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau croisé d’effectifs : Tableau à double entrée qui présente conjointement en lignes et en colonnes les effectifs des différentes valeurs de deux caractères d’une même population.
  Source : "Un tableau croisé d’effectifs, aussi appelé tableau à double entrée, est un tableau donnant conjointement en lignes et en colonnes les effectifs des différentes valeurs de deux caractères d’une même population."

• Compléter un tableau croisé : Action d’ajouter des effectifs donnés ou calculés à partir de l’énoncé pour remplir toutes les cases du tableau.
  Source : "On complète un tableau croisé avec des effectifs donnés ou calculés à partir de l’énoncé."

• Interprétation des effectifs : Analyse des données contenues dans le tableau pour comprendre la répartition ou la relation entre deux caractères.
  Source : "Interprétation des effectifs dans un tableau croisé."

• Exemple d’utilisation : Répartition des plats commandés selon deux critères, par exemple, type de plat et moment de la journée.
  Source : "Exemple d’utilisation : répartition des plats commandés selon deux critères."

📝 Points essentiels

• Le tableau croisé d’effectifs permet de visualiser rapidement la distribution conjointe de deux caractères dans une population.
• La complétion du tableau peut nécessiter le calcul d’effectifs manquants à partir d’effectifs donnés ou par différence, notamment pour obtenir des totaux marginaux.
• L’interprétation des effectifs permet d’identifier des tendances ou des relations entre les deux caractères, comme la préférence pour certains plats selon le critère de la colonne ou de la ligne.
• La maîtrise de la lecture et de la complétion d’un tableau croisé est essentielle pour analyser des données statistiques et réaliser des représentations graphiques (diagrammes en bâtons, circulaires).
• Exemple pratique : dans un restaurant, un tableau croisé peut montrer la répartition des plats commandés selon le type de plat et la tranche horaire, facilitant l’analyse commerciale.

💡 À retenir

Le tableau croisé d’effectifs est un outil fondamental pour analyser la relation entre deux caractères d’une population, en permettant de compléter, interpréter et visualiser efficacement la répartition des données.

📖 11. Diagrammes en bâtons et circulaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en bâtons : graphique représentant les effectifs ou fréquences par des barres verticales dont la hauteur est proportionnelle aux valeurs. Les valeurs du ou des caractères sont placées en abscisses, et la hauteur des barres en ordonnées. (source : pages 4-5)

• Diagramme circulaire : graphique sous forme d’un disque partagé en secteurs angulaires, chaque secteur représentant une valeur proportionnelle à l’effectif ou à la fréquence. La somme des angles des secteurs est égale à 360°. (source : pages 2-3)

• Construction d’un diagramme en bâtons : étape consistant à représenter graphiquement un tableau d’effectifs ou de proportions en traçant des barres verticales dont la hauteur est proportionnelle aux effectifs ou fréquences. (source : pages 4-5)

• Construction d’un diagramme circulaire : étape consistant à calculer la mesure angulaire de chaque secteur à partir des effectifs ou proportions, puis à tracer ces secteurs dans un disque pour représenter visuellement la répartition. (source : pages 2-3)

• Interprétation visuelle des diagrammes : analyse des graphiques pour identifier rapidement la répartition, les catégories majoritaires ou minoritaires, et les tendances à partir de la longueur des barres ou des angles des secteurs. (source : pages 4-5)

📝 Points essentiels

• Les diagrammes en bâtons permettent une comparaison claire des effectifs ou fréquences entre différentes catégories, en utilisant des barres de hauteurs proportionnelles. La construction se fait à partir d’un tableau d’effectifs ou de proportions, en traçant des barres verticales dont la hauteur correspond à chaque valeur. La lecture visuelle facilite l’identification des catégories les plus ou moins représentées.

• Les diagrammes circulaires représentent la répartition proportionnelle des catégories par secteurs angulaires. La mesure de chaque secteur est calculée en multipliant la proportion de chaque effectif par 360°, ce qui permet de visualiser rapidement la part de chaque catégorie dans l’ensemble. La somme des angles doit toujours faire 360°, ce qui nécessite une conversion précise.

• La construction d’un diagramme en bâtons à partir d’un tableau d’effectifs consiste à tracer une série de barres verticales, dont la hauteur est proportionnelle aux effectifs, en respectant l’échelle choisie. La construction d’un diagramme circulaire nécessite de convertir les effectifs en angles, puis de tracer les secteurs dans un disque, en respectant la proportion de chaque secteur par rapport à 360°.

• L’interprétation visuelle des diagrammes permet d’identifier rapidement la catégorie la plus représentée, de comparer des effectifs ou proportions, et de repérer des tendances ou des déséquilibres dans les données. La lecture graphique facilite la compréhension et la communication des résultats statistiques.

💡 À retenir

Les diagrammes en bâtons et circulaires sont des outils graphiques essentiels pour représenter et analyser visuellement la répartition des données statistiques, en permettant une lecture rapide et intuitive des effectifs ou proportions.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la formule explicite $u_n = u_0 + n \times r$ avec la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n + r$.
2. Oublier que la représentation graphique d’une suite arithmétique est une droite, pas une courbe.
3. Confondre la raison r positive (croissance) avec une suite décroissante.
4. Utiliser la formule explicite sans vérifier le premier terme $u_0$ ou la raison r.
5. Mal calculer le coefficient directeur ou l’ordonnée à l’origine lors de la représentation graphique.
6. Confondre suite arithmétique et suite géométrique (qui utilise une raison multiplicative).
7. Ne pas distinguer entre la relation de récurrence et la formule explicite, ce qui peut conduire à des erreurs dans le calcul.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’une suite arithmétique et sa formule explicite $u_n = u_0 + n \times r$.
2. Savoir calculer la raison r à partir de deux termes consécutifs.
3. Être capable de déterminer si une suite est croissante, décroissante ou constante en fonction du signe de r.
4. Maîtriser la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n + r$ et son utilisation pour générer une suite.
5. Savoir dériver la formule explicite à partir de la relation de récurrence.
6. Savoir représenter graphiquement une suite arithmétique dans un repère orthogonal.
7. Connaître la formule de la fonction affine y = ax + b, et comment calculer a et b à partir de deux points.
8. Être capable d’interpréter graphiquement la croissance ou décroissance d’une suite ou fonction affine.
9. Connaître la différence entre suite arithmétique et suite géométrique, notamment la nature de leur raison.
10. Savoir utiliser un tableau croisé d’effectifs pour représenter des données statistiques.
11. Être capable de réaliser un diagramme en bâtons ou circulaire à partir de données.
12. Vérifier la maîtrise du vocabulaire spécifique : suite, raison, formule explicite, relation de récurrence, représentation graphique, croissance, décroissance, fonction affine, proportionnalité, tableau croisé, diagramme.