Fiche de révision : Suites réelles

📋 Plan du Cours

1. Définition et modes de représentation
2. Bornitude et variations
3. Suites arithmétiques
4. Suites géométriques
5. Suites arithmético-géométriques
6. Récurrences linéaires d'ordre deux
7. Convergence et divergence
8. Opérations et formes indéterminées
9. Théorèmes de convergence
10. Suites adjacentes

📖 1. Définition et modes de représentation

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite réelle : Application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$, qui associe à chaque entier n le terme $u_n=u(n)$.

★ À maîtriser

📌 Une suite peut être définie explicitement par $u_n=f(n)$, récursivement à partir d'un ou plusieurs termes précédents, ou implicitement comme l'unique solution d'une équation dépendant de n.

Compléments

📌 Une récurrence simple utilise $u_0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$, une récurrence double utilise $u_0,u_1$ et $u_{n+2}=f(u_n,u_{n+1})$, tandis qu'une récurrence forte utilise tous les termes précédents dans $u_{n+1}=f_n(u_0,\ldots,u_n)$.

💡 Astuce mémo

Explicite : on calcule directement ; récursive : on construit terme après terme ; implicite : on résout une équation.

📖 2. Bornitude et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite bornée : Lorsqu'il existe des réels m et M tels que, pour tout n, $m\leq u_n\leq M$.

📝 Points essentiels

• Pour étudier les variations d'une suite, on peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$, comparer le quotient $u_{n+1}/u_n$ lorsque les termes sont non nuls et de signe connu, étudier la fonction f si $u_n=f(n)$, ou utiliser une récurrence.

💡 Astuce mémo

Différence et quotient donnent le sens de variation, mais le quotient inverse le raisonnement pour les termes négatifs.

📖 3. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite telle qu'il existe une raison r vérifiant $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout n.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de raison r, le terme général vérifie $u_n=u_m+(n-m)r$ pour $m\leq n$, notamment $u_n=u_0+nr$.

Compléments

📐 Formule — La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique vérifie $\sum_{k=m}^{n}u_k=(n-m+1)\frac{u_m+u_n}{2}$.

💡 Astuce mémo

Une suite arithmétique avance à pas constants de raison r.

📖 4. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite telle qu'il existe une raison q vérifiant $u_{n+1}=q u_n$ pour tout n.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite géométrique de raison q, le terme général vérifie $u_n=u_mq^{n-m}$ pour $m\leq n$, notamment $u_n=u_0q^n$.

Compléments

📐 Formule — Pour q différent de 1, la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique vérifie $\sum_{k=m}^{n}u_k=u_m\frac{1-q^{n-m+1}}{1-q}$.

💡 Astuce mémo

Une suite géométrique multiplie chaque terme par le même facteur q.

📖 5. Suites arithmético-géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmético-géométrique : Une suite qui vérifie $u_{n+1}=qu_n+r$ avec q différent de 1 et r différent de 0.

📝 Points essentiels

• Pour expliciter une suite arithmético-géométrique, on détermine le point fixe ℓ vérifiant $\ell=q\ell+r$, on pose $v_n=u_n-\ell$, puis on exprime v comme une suite géométrique avant de retrouver u.

💡 Astuce mémo

Point fixe ℓ, translation vn = un − ℓ, puis suite géométrique.

📖 6. Récurrences linéaires d'ordre deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Récurrence linéaire d'ordre 2 : Une suite qui vérifie $a u_{n+2}+b u_{n+1}+c u_n=0$ avec a différent de 0.

📝 Points essentiels

• Pour expliciter une récurrence linéaire d'ordre 2, on résout l'équation caractéristique $ar^2+br+c=0$, puis on détermine les constantes avec $u_0$ et $u_1$.

📌 Si $\Delta=b^2-4ac>0$, alors $u_n=\alpha\lambda_1^n+\beta\lambda_2^n$ ; si $\Delta=0$, alors $u_n=(\alpha+\beta n)\lambda^n$ ; le cas $\Delta<0$ n'est pas au programme.

💡 Astuce mémo

Deux racines distinctes donnent deux puissances ; une racine double ajoute le facteur n.

📖 7. Convergence et divergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : Si, pour tout intervalle ouvert contenant ℓ, tous ses termes appartiennent à cet intervalle à partir d'un certain rang.
• Divergence vers l'infini : Si elle dépasse tout réel à partir d'un certain rang, et vers $-\infty$ si elle devient inférieure à tout réel à partir d'un certain rang.

★ À maîtriser

📌 Une suite convergente est bornée et sa limite est unique, mais une suite bornée n'est pas nécessairement convergente.

Compléments

📌 La suite $((-1)^n)$ est bornée entre -1 et 1, mais elle n'admet pas de limite car ses sous-suites d'indices pairs et impairs convergent respectivement vers 1 et -1.

💡 Astuce mémo

Convergence vers une valeur réelle ; divergence vers ±∞ ou absence totale de limite.

📖 8. Opérations et formes indéterminées

★ À maîtriser

• Les quatre formes indéterminées principales sont $+\infty-\infty$, $0\times\infty$, $0/0$ et $\infty/\infty$.

📌 Si $u_n\to\ell$ et si f tend vers $\ell'$ lorsque son argument tend vers ℓ, alors $f(u_n)\to\ell'$ lorsque tous les termes de la suite appartiennent au domaine de f.

📐 Formule — Pour $\alpha>0$, $\beta>0$ et $q>1$, les croissances comparées donnent $\frac{\ln(n)^\beta}{n^\alpha}\to0$, $\frac{n^\alpha}{q^n}\to0$ et $\frac{q^n}{n!}\to0$.

Compléments

• Les formes $+\infty^0$ et $1^{+\infty}$ sont des formes indéterminées cachées qui doivent être transformées avant d'être étudiées.

💡 Astuce mémo

Les quatre formes à repérer : ∞−∞, 0×∞, 0/0 et ∞/∞.

📖 9. Théorèmes de convergence

📝 Points essentiels

📌 Si, à partir d'un certain rang, $u_n\leq v_n$ et si $u_n\to+\infty$, alors $v_n\to+\infty$ ; de même, si $v_n\to-\infty$, alors $u_n\to-\infty$.

📌 Si deux suites encadrantes vérifient $v_n\leq u_n\leq w_n$ à partir d'un certain rang et convergent toutes deux vers ℓ, alors $u_n\to\ell$.

📌 Une suite croissante majorée converge vers une limite réelle, tandis qu'une suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$.

📌 Une suite décroissante minorée converge vers une limite réelle, tandis qu'une suite décroissante non minorée diverge vers $-\infty$.

📌 Si $u_{n+1}=f(u_n)$, si f est continue sur un intervalle fermé contenant les termes et si la suite converge vers ℓ, alors ℓ est un point fixe vérifiant $\ell=f(\ell)$.

💡 Astuce mémo

Monotonie + bornitude → convergence ; encadrement par deux limites égales → même limite.

📖 10. Suites adjacentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites adjacentes : Si l'une est croissante, l'autre décroissante, et si $u_n-v_n\to0$.

★ À maîtriser

📌 Deux suites adjacentes convergent toutes deux vers une même limite réelle ℓ.

Compléments

📌 Si la suite croissante est notée $u_n$ et la suite décroissante $v_n$, alors leur limite commune vérifie $u_n\leq\ell\leq v_n$ pour tout n.

💡 Astuce mémo

Deux suites, l’une montante et l’autre descendante, resserrent un même nombre.

📊 Tableaux de synthèse

Types de suites usuelles