Mathématiques financières : intérêts et actualisation : fiche de révision
Intérêts simples et composés, capitalisation, actualisation, annuités et tableau d'amortissement d'emprunt : les formules de mathématiques financières avec des exemples recalculés pas à pas.
1Intérêts simples et intérêts composés
L'intérêt est le prix du temps : la rémunération d'un capital prêté ou placé. En intérêts simples, utilisés pour les opérations de moins d'un an, l'intérêt est proportionnel au capital, au taux et à la durée, et il ne produit pas lui-même d'intérêt : I = C × t × n / 360, avec n en jours et une année commerciale de 360 jours (n / 12 si la durée est en mois). Exemple : 10 000 € placés à 6 % pendant 90 jours rapportent 10 000 × 0,06 × 90 / 360 = 150 €, soit une valeur acquise de 10 150 €.
En intérêts composés, utilisés au-delà d'un an, les intérêts de chaque période s'ajoutent au capital et produisent à leur tour des intérêts : c'est la capitalisation. Valeur acquise : Cn = C0 × (1 + i)^n. Exemple : 10 000 € placés à 5 % pendant 3 ans donnent 10 000 × 1,05^3 = 10 000 × 1,157625 = 11 576,25 €, contre 11 500 € en intérêts simples. Le taux doit toujours correspondre à la période. Deux conversions existent : le taux proportionnel (taux annuel divisé par le nombre de périodes : 12 % par an donne 1 % par mois) et le taux équivalent, qui produit la même valeur acquise : (1 + taux annuel) = (1 + taux mensuel)^12, soit environ 0,949 % par mois pour 12 % par an.
2Capitalisation et actualisation
Capitaliser, c'est avancer dans le temps : on cherche ce que vaudra demain une somme disponible aujourd'hui. Actualiser, c'est l'opération inverse : on cherche ce que vaut aujourd'hui une somme qui ne sera perçue que plus tard. Valeur actuelle : C0 = Cn × (1 + i)^-n, ce qui revient à diviser par (1 + i)^n. Exemple : 10 000 € à recevoir dans 2 ans, actualisés à 5 %, valent aujourd'hui 10 000 / 1,1025 = 9 070,29 €. Autrement dit, placer 9 070,29 € à 5 % pendant 2 ans donne 10 000 €.
L'idée à retenir : un euro aujourd'hui vaut plus qu'un euro demain, parce qu'il peut être placé entre-temps. On ne peut donc comparer ou additionner des sommes que si elles sont ramenées à la même date. Plus le taux d'actualisation est élevé, ou plus l'échéance est lointaine, plus la valeur actuelle est faible. Ces deux mécanismes servent partout en finance : évaluation d'un placement, choix d'investissement (valeur actuelle nette), calcul des mensualités d'un emprunt.
3Annuités et tableau d'amortissement d'emprunt
Une suite d'annuités est une série de versements réguliers. Pour n annuités constantes a versées en fin de période au taux i : valeur acquise Vn = a × ((1 + i)^n - 1) / i ; valeur actuelle V0 = a × (1 - (1 + i)^-n) / i. Exemple : verser 1 000 € à la fin de chaque année pendant 3 ans à 5 % donne 1 000 × (1,157625 - 1) / 0,05 = 3 152,50 €. Pour un emprunt remboursé par annuités constantes, on en tire l'annuité : a = V0 × i / (1 - (1 + i)^-n). Chaque annuité = intérêts + amortissement du capital, et les intérêts se calculent sur le capital restant dû en début de période.
Exemple : emprunt de 10 000 € à 5 % sur 3 ans. Annuité = 10 000 × 0,05 / (1 - 1,05^-3) = 500 / 0,1361624 = 3 672,09 €. Année 1 : intérêts 500,00, amortissement 3 172,09, capital restant dû 6 827,91. Année 2 : intérêts 341,40, amortissement 3 330,69, capital restant dû 3 497,22. Année 3 : intérêts 174,86, amortissement 3 497,22 (au centime d'arrondi près), capital restant dû 0. Les intérêts diminuent, les amortissements augmentent en progression géométrique de raison (1 + i) : 3 172,09 × 1,05 = 3 330,69. Coût total du crédit : environ 1 016 €. Deux autres modalités : l'amortissement constant (3 333,33 € de capital par an, annuités décroissantes, 1 000 € d'intérêts au total) et le remboursement in fine (500 € d'intérêts par an, capital remboursé en une fois à la fin, 1 500 € d'intérêts au total).
4Pièges du partiel et méthode de révision
Les erreurs les plus fréquentes. Mélanger les unités : un taux annuel avec une durée en mois ou en jours sans conversion. Écrire le taux en pourcentage dans la formule (5 au lieu de 0,05). Confondre taux proportionnel et taux équivalent : le taux mensuel équivalent est toujours inférieur au taux proportionnel, puisque les intérêts sont capitalisés chaque mois. Confondre annuité et amortissement : l'annuité est le versement total, l'amortissement n'est que la part de capital remboursée. Calculer les intérêts sur le capital emprunté au lieu du capital restant dû. Oublier que les formules d'annuités supposent des versements en fin de période : si les versements ont lieu en début de période, chaque somme est placée une période de plus et le résultat est multiplié par (1 + i).
Méthode : trace un axe du temps pour chaque exercice, avec les dates et les flux, avant d'écrire la moindre formule. Contrôle ensuite ton tableau d'amortissement avec trois tests : le capital restant dû final est nul, la somme des amortissements est égale au capital emprunté, la somme des annuités est égale au capital plus le total des intérêts. Garde tes arrondis pour la fin et entraîne-toi sur ta calculatrice (touche puissance, exposants négatifs) jusqu'à refaire l'exemple de cette fiche sans erreur.
Définitions à connaître par cœur
Quiz : teste-toi sur mathématiques financières : intérêts et actualisation
9 questions corrigées. Réponds avant d'ouvrir la correction !
1. 12 000 € sont placés à 4 % l'an pendant 6 mois, à intérêts simples. Les intérêts s'élèvent à…
- A.480 €
- B.24 €
- C.240 €
- D.288 €
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Réponse : C. 240 €
I = 12 000 × 0,04 × 6 / 12 = 240 €.
2. 5 000 € placés à 10 % pendant 2 ans à intérêts composés donnent…
- A.6 050 €
- B.6 000 €
- C.5 500 €
- D.6 100 €
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Réponse : A. 6 050 €
5 000 × 1,10^2 = 5 000 × 1,21 = 6 050 €. En intérêts simples, on n'aurait que 6 000 €.
3. La valeur actuelle, au taux de 10 %, de 12 100 € à recevoir dans 2 ans est de…
- A.9 680 €
- B.11 000 €
- C.14 641 €
- D.10 000 €
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Réponse : D. 10 000 €
12 100 / 1,10^2 = 12 100 / 1,21 = 10 000 €.
4. Le taux mensuel proportionnel à un taux annuel de 6 % est de…
- A.0,06 %
- B.0,5 %
- C.0,487 %
- D.2 %
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Réponse : B. 0,5 %
Taux proportionnel = 6 % / 12 = 0,5 %. Le taux équivalent, lui, est légèrement inférieur (environ 0,487 %).
5. Dans un emprunt remboursé par annuités constantes, au fil du temps…
- A.les intérêts augmentent et les amortissements diminuent
- B.les intérêts et les amortissements restent constants
- C.les intérêts diminuent et les amortissements augmentent
- D.seuls les intérêts sont payés jusqu'à la dernière échéance
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Réponse : C. les intérêts diminuent et les amortissements augmentent
Les intérêts portent sur un capital restant dû de plus en plus faible ; l'annuité étant fixe, la part d'amortissement grandit.
6. Emprunt de 20 000 € à 4 %, annuité constante de 4 492,54 €. L'amortissement de la première année est de…
- A.3 692,54 €
- B.800,00 €
- C.4 492,54 €
- D.4 000,00 €
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Réponse : A. 3 692,54 €
Intérêts = 20 000 × 0,04 = 800 € ; amortissement = 4 492,54 - 800 = 3 692,54 €.
7. Comparé au taux mensuel proportionnel, le taux mensuel équivalent est…
- A.toujours supérieur
- B.identique
- C.supérieur ou inférieur selon la durée
- D.toujours inférieur
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Réponse : D. toujours inférieur
Comme les intérêts mensuels sont capitalisés, un taux un peu plus faible suffit pour atteindre le même taux annuel.
8. Dans un emprunt in fine, le capital est remboursé…
- A.par fractions égales à chaque échéance
- B.en totalité à la dernière échéance
- C.avant le paiement des intérêts
- D.par fractions croissantes à chaque échéance
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Réponse : B. en totalité à la dernière échéance
Seuls les intérêts sont versés à chaque échéance ; le capital, intact jusqu'au bout, est remboursé en une fois à la fin.
9. Verser 1 000 € à la fin de chaque année pendant 3 ans à 5 % donne une valeur acquise de…
- A.3 000,00 €
- B.3 310,13 €
- C.3 152,50 €
- D.3 472,88 €
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Réponse : C. 3 152,50 €
1 000 × (1,05^3 - 1) / 0,05 = 1 000 × 3,1525 = 3 152,50 € (soit 1 102,50 + 1 050 + 1 000).
Questions fréquentes
Quand utiliser les intérêts simples et quand les intérêts composés ?
Par convention, les intérêts simples s'appliquent aux opérations de moins d'un an (escompte, placement court, découvert) et les intérêts composés aux opérations de plus d'un an (emprunt, placement long, choix d'investissement). L'énoncé le précise en cas de doute.
Quelle est la différence entre capitalisation et actualisation ?
La capitalisation calcule la valeur future d'une somme d'aujourd'hui en la multipliant par (1 + i)^n. L'actualisation calcule la valeur d'aujourd'hui d'une somme future en la divisant par (1 + i)^n. Ce sont deux lectures de la même formule.
Comment construire un tableau d'amortissement d'emprunt ?
Ligne par ligne : intérêts = capital restant dû en début de période × taux ; amortissement = annuité - intérêts ; capital restant dû en fin de période = capital de début - amortissement. On recommence jusqu'à ce que le capital restant dû soit nul.
Quelle est la différence entre taux proportionnel et taux équivalent ?
Le taux proportionnel divise simplement le taux annuel par le nombre de périodes. Le taux équivalent tient compte de la capitalisation : il se calcule par (1 + taux annuel)^(1/12) - 1 pour un mois. Pour 12 % par an : 1 % en proportionnel, environ 0,949 % en équivalent.
Faut-il prendre 360 ou 365 jours pour les intérêts simples ?
L'usage commercial retient une année de 360 jours, et c'est la convention la plus fréquente dans les exercices. Certains calculs se font toutefois sur 365 jours : applique la convention indiquée par l'énoncé ou par ton enseignant.