Analyse et résolution d'équations logarithmiques

📋 Plan du Cours

1. Dérivée ln u
2. Signe de (ln u)'
3. Exemple dérivée ln (3x-5)
4. Limite ln(1+h)/h
5. Dérivée h(x) = ln(e^x + 1)
6. Étude de ln u(x) > 0
7. Résolution ln u(x) = ln v(x)
8. Résolution ln u(x) < v(x)
9. Étude de (ln x)^n et (ln x)^p
10. Changement de variable X = ln u(x)
11. Résolution (ln x)^2 - 2(ln x)^2 - 5 ln x + 6 = 0
12. Logarithme de base a (log_a)

📖 1. Dérivée ln u

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée de ln u : Si u est une fonction positive sur un intervalle I, alors la dérivée de ln u est donnée par (ln u)' = u'/u.
• Condition de positivité de u : La formule (ln u)' n'est valable que si u(x) > 0 pour tout x dans l'intervalle considéré.
• Signe de (ln u)' : Le signe de la dérivée de ln u est celui de u' (x), car u(x) > 0.
• Exemple de dérivée : Pour u(x) = 3x - 5, on a (ln (3x-5))' = 3/(3x-5), valable sur l'intervalle ]5/3 ; +∞[.
• Application : Limite fondamentale utilisant ln : lim_{h→0} (ln(1+h))/h = 1, avec l'approximation ln(1+h) ≈ h pour h proche de 0.