Analyse vectorielle et champs en coordonnées

📋 Plan du Cours

1. Champs de vecteurs et champs scalaires
2. Lignes de champ et repères mobiles
3. Champs radial et champ central
4. Champs conservatifs et potentiels scalaires
5. Champs rotationnels et lemme de Poincaré
6. Champs incompressibles et divergence nulle
7. Potentiel vectoriel et invariance de jauge
8. Lemme de Poincaré II sur ensembles contractiles
9. Changement de repère en coordonnées cylindriques
10. Changement de repère en coordonnées sphériques
11. Gradient en coordonnées et interprétation géométrique
12. Circulation le long d’une courbe paramétrée

📖 1. Champs de vecteurs et champs scalaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ de vecteurs : Un champ de vecteurs sur D ⊂ R^n est une application qui associe à chaque point p de D un vecteur V(p) dans R^n.
• Gradient : Le gradient ∇f d’une fonction scalaire f est un champ de vecteurs qui associe à chaque point le vecteur des dérivées partielles de f.
• Champ scalaire : Un champ scalaire associe à chaque point d’un domaine une valeur réelle, typiquement une fonction f : D → R.
• Ligne de champ : Une ligne de champ (courbe intégrale) d’un champ de vecteurs V est une courbe γ telle que sa dérivée soit égale au vecteur du champ au point γ(t).

📝 Points essentiels