Géométrie dans l'espace: distances et plans

1. 📌 L'essentiel

• La distance entre deux points A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB) :
  AB = √[(xB - x)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²]
• Vérification d’un triangle rectangle :
  • Par Pythore : si $AB^2 + BC^2 = AC^2$
  • Par produit scalaire : si $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$
• Calcul de l’angle θ entre deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ :
  θ = arccos( ( $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$) / (‖$\overrightarrow{u}$‖ × ‖$\overrightarrow{v}$‖) )
• Équation d’un plan passant par un point $M_0(x_0, y_0, z_0)$ avec vecteur normal $\overrightarrow{n} = (a, b, c)$ :
  a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
  ou forme cartésienne :
  ax + by + cz + d = 0 (avec d calculé par substitution)
• Orthogonalité :
  • Droite et plan : vecteur directeur ⊥ vecteur normal (produit scalaire nul)
  • Deux plans : vecteurs normaux orthogonaux (produit scalaire nul)
• Distance point-plan :
  d = |ax_0 + by_0 + cz_0 + d| / √(a² + b² + c²)
• Distance point-droite : calcul via produit vectoriel pour la projection orthogonale
• La section d’un volume par un plan : points d’intersection avec arêtes, prolongements