Fiche de révision : Géométrie vectorielle dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées vecteurs plan
2. Bases du plan et coordonnées
3. Repères et coordonnées points
4. Norme d’un vecteur
5. Critère de colinéarité
6. Application parallélisme
7. Application alignement

📖 1. Coordonnées vecteurs plan

🔑 Notions clés & Définitions

Vecteur $\\overrightarrow{OM}$ :
Représentation vectorielle d’un point $M$ par rapport à l’origine $O$, notée $\\overrightarrow{OM}$. Elle indique la direction et la longueur du déplacement de $O$ à $M$.

Vecteurs colinéaires :
Deux vecteurs $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre, c’est-à-dire qu’il existe $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ tel que $\\vec{u} = \\lambda \\vec{v}$. Leur déterminant en coordonnées est nul : $xy' - x'y = 0$.

Vecteurs non colinéaires :
Deux vecteurs $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont non colinéaires si aucun réel $\\lambda$ ne vérifie $\\vec{u} = \\lambda \\vec{v}$. Leur déterminant en coordonnées est différent de zéro : $xy' - x'y \\neq 0$.

Expression d'un vecteur en fonction d'autres vecteurs :
Un vecteur $\\overrightarrow{OM}$ peut s’écrire comme une combinaison linéaire de vecteurs $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ : $\\overrightarrow{OM} = \\alpha \\vec{u} + \\beta \\vec{v}$, où $\\alpha, \\beta \\in \\mathbb{R}$.

Base de vecteurs :
Un couple de vecteurs $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ non colinéaires forme une base du plan. Toute autre vecteur du plan peut alors s’exprimer comme une combinaison linéaire unique de ces deux vecteurs.

📝 Points essentiels

Un vecteur peut être exprimé comme une combinaison linéaire de vecteurs de base.

• Si un vecteur est colinéaire à un seul vecteur, il peut s’écrire en fonction de celui-ci.
• Si deux vecteurs sont colinéaires, ils peuvent exprimer tout vecteur colinéaire à eux.
• Si deux vecteurs sont non colinéaires, ils permettent d’exprimer tout vecteur du plan.
• En choisissant un couple de vecteurs non nuls et non colinéaires, on obtient une base du plan.
• Cette base permet de décomposer tous les vecteurs du plan en fonction de ces deux vecteurs.
• La condition de colinéarité entre deux vecteurs $\\vec{u} = \\binom{x}{y}$ et $\\vec{v} = \\binom{x'}{y'}$ est donnée par le déterminant nul : $xy' - x'y = 0$.

💡 À retenir

Tout vecteur du plan peut être décomposé en fonction d’un couple de vecteurs non colinéaires, qui forme une base, permettant ainsi d’exprimer tout vecteur du plan comme une combinaison linéaire unique de ces deux vecteurs.

📖 2. Bases du plan et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de vecteurs : voir section 1

Coordonnées d'un vecteur dans une base : Les réels $x$ et $y$ tels que le vecteur $\\overrightarrow{u}$ s'exprime comme une combinaison linéaire unique des vecteurs de la base. Autrement dit, si la base est $(\\overrightarrow{i}; \\overrightarrow{j})$, alors $\\overrightarrow{u} = x \\overrightarrow{i} + y \\overrightarrow{j}$.

Décomposition unique d'un vecteur : Tout vecteur du plan peut s'écrire de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs d'une base. Cette unicité est essentielle pour définir précisément ses coordonnées.

Notation $\\overrightarrow{u}(x;y)$ : Représentation du vecteur $\\overrightarrow{u}$ par ses coordonnées $x$ et $y$ dans une base donnée, indiquant ses coefficients dans cette décomposition.

📝 Points essentiels

Une base est constituée de deux vecteurs non nuls et non colinéaires, ce qui assure qu'ils ne sont pas alignés. Cela garantit que tout vecteur du plan peut s'exprimer comme une combinaison linéaire unique de ces deux vecteurs.

Tout vecteur du plan s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base. Cette propriété permet d'associer à chaque vecteur ses coordonnées $x$ et $y$, qui sont précisément les coefficients dans cette décomposition.

Les coordonnées $x$ et $y$ représentent donc les coefficients dans la décomposition du vecteur par rapport à la base choisie, permettant une représentation précise et unique.

💡 À retenir

La notion de base vectorielle garantit une représentation unique des vecteurs par leurs coordonnées dans cette base, facilitant leur étude et leur manipulation dans le plan.

📖 3. Repères et coordonnées points

🔑 Notions clés & Définitions

Repère du plan : Un repère est constitué d'une origine et d'une base de vecteurs.
Origine du repère : Point fixe appelé $O$, servant de référence pour définir la position des autres points.
Coordonnées d’un point : Les coordonnées d’un point $M$ sont celles du vecteur $\\overrightarrow{OM}$ dans la base du repère.
Repère orthogonal : Un repère dont les vecteurs de base $\\overrightarrow{i}$ et $\\overrightarrow{j}$ ont des directions perpendiculaires.
Repère normé : Un repère dont les vecteurs de base ont une norme égale à 1.
Repère orthonormé : Un repère à la fois orthogonal et normé, c’est-à-dire dont les vecteurs de base sont perpendiculaires et de norme 1.

📝 Points essentiels

Un repère du plan est formé d’une origine et d’une base de vecteurs. La position d’un point $M$ dans ce repère est donnée par les coordonnées du vecteur $\\overrightarrow{OM}$ exprimé dans la base.
Les coordonnées d’un point $M$ sont donc celles du vecteur $\\overrightarrow{OM}$ dans la base du repère.
Un repère orthogonal possède des vecteurs de base $\\overrightarrow{i}$ et $\\overrightarrow{j}$ qui sont perpendiculaires.
Un repère normé a des vecteurs de base de norme 1, ce qui facilite la lecture des coordonnées.
Un repère orthonormé combine ces deux propriétés : il est orthogonal et ses vecteurs de base ont une norme de 1.

💡 À retenir

Un repère permet de définir la position d’un point dans le plan en combinant une origine fixe et une base de vecteurs. La nature du repère (orthogonal, normé ou orthonormé) influence la simplicité avec laquelle on peut déterminer et manipuler ces coordonnées.

📖 4. Norme d’un vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur $\\vec{u}(x; y)$ dans le plan est une mesure de sa longueur. Elle est définie par la formule $|\\vec{u}| = \\sqrt{x^2 + y^2}$.
Distance entre deux points : La distance entre deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ est la norme du vecteur $\\overrightarrow{AB}$ qui les relie. Elle se calcule avec la formule $\\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
Formule de la distance dans un repère orthonormé : Dans un repère $(O; \\vec{i}; \\vec{j})$, la distance entre deux points est donnée par cette formule, qui correspond à la norme du vecteur $\\overrightarrow{AB}$.
Calcul de la norme : Pour un vecteur $\\vec{u}(x; y)$, la norme est $\\sqrt{x^2 + y^2}$. Il est souvent plus simple de calculer d’abord le carré de la distance, puis d’en extraire la racine.

📝 Points essentiels

• La distance entre deux points $A$ et $B$ est la norme du vecteur $\\overrightarrow{AB}$.
• La formule de cette distance dans un repère orthonormé est $\\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
• La norme d’un vecteur $\\vec{u}(x; y)$ est $\\sqrt{x^2 + y^2}$.
• Pour simplifier les calculs, il est conseillé de calculer d’abord le carré de la distance, c’est-à-dire $(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$, puis de prendre la racine carrée pour obtenir la distance.
• L’ordre des points n’affecte pas la distance : $AB = BA$.

💡 À retenir

La distance entre deux points dans le plan est la norme du vecteur qui les relie, calculée par la racine de la somme des carrés des différences de leurs coordonnées. Dans un repère orthonormé, cette formule est simplifiée et facilite le calcul.

📖 5. Critère de colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

Colinéarité de vecteurs : Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire qu’il existe un réel k tel que $\\vec{u} = k \\vec{v}$. Cela implique que l’un peut être obtenu en multipliant l’autre par un scalaire.

Déterminant de deux vecteurs : Le nombre $xy' - x'y$ associé à deux vecteurs $\\vec{u} = (x, y)$ et $\\vec{v} = (x', y')$ s’appelle leur déterminant. Il est noté $\\det(\\vec{u}, \\vec{v})$.

Condition $xy' - x'y = 0$ : Ce déterminant est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.

Tableau de proportionnalité : La colinéarité se traduit par un tableau où les coordonnées des vecteurs sont en rapport constant, c’est-à-dire qu’il existe un réel k tel que $x = kx'$ et $y = ky'$.

Nombre déterminant $\\det(\\vec{u}, \\vec{v})$ : C’est une mesure algébrique de la colinéarité ; il permet de vérifier rapidement si deux vecteurs sont colinéaires en testant si ce nombre est nul.

📝 Points essentiels

Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont des multiples l’une de l’autre.
Ce qui se traduit par un tableau de proportionnalité entre leurs coordonnées :
$\\begin{cases} x = kx' \\ y = ky' \\end{cases}$ pour un certain réel $k$.

Le déterminant $xy' - x'y$ est une expression qui mesure cette proportionnalité.
Il est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
Ce nombre, appelé aussi nombre déterminant $\\det(\\vec{u}, \\vec{v})$, permet d’établir rapidement la colinéarité en vérifiant si $\\det(\\vec{u}, \\vec{v}) = 0$.

💡 À retenir

Le critère de colinéarité repose sur le calcul du déterminant : deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul, ce qui constitue un critère algébrique simple et efficace.

📖 6. Application parallélisme

🔑 Notions clés & Définitions

Vecteurs directeurs de droites :
Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul qui indique sa direction. Si une droite passe par un point $A$ et un point $B$, alors le vecteur $\\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de cette droite. Il est souvent noté $\\overrightarrow{u} = (x; y)$ si $\\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.

Parallélisme de droites :
Deux droites sont parallèles si elles ont la même direction, c’est-à-dire si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. La propriété fondamentale est :
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{CD}$ :
Ce sont des vecteurs définis par la différence de coordonnées de leurs points respectifs :
$\\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$ $\\overrightarrow{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C)$

Condition de parallélisme par colinéarité :
Deux vecteurs $\\overrightarrow{u} = (x; y)$ et $\\overrightarrow{v} = (x'; y')$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
$\\det(\\overrightarrow{u}, \\overrightarrow{v}) = x y' - y x' = 0$ Ce qui implique que $\\overrightarrow{u}$ et $\\overrightarrow{v}$ sont alignés, donc que les droites qu’ils définissent sont parallèles.

📝 Points essentiels

• Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
• Pour vérifier si deux vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, on calcule leur déterminant :
  $\\det(\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{CD}) = (x_B - x_A)(y_D - y_C) - (y_B - y_A)(x_D - x_C)$
• Si ce déterminant est nul, alors $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

💡 À retenir

La colinéarité des vecteurs directeurs est la clé pour établir le parallélisme entre deux droites : si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, alors ces droites sont parallèles. Le calcul du déterminant permet de vérifier cette colinéarité de manière simple et efficace.

📖 7. Application alignement

🔑 Notions clés & Définitions

Alignement de points : Trois points sont dits alignés si ils se trouvent sur une même droite. Cela implique que le vecteur reliant deux de ces points est colinéaire avec le vecteur reliant un autre point à l’un d’eux.

• Vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ : voir section 6

Condition d'alignement par colinéarité : Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Cela se traduit par le fait que ces vecteurs ont la même direction ou sont proportionnels.

Utilisation du déterminant pour l'alignement : La colinéarité de deux vecteurs $\\overrightarrow{u}$ et $\\overrightarrow{v}$ peut être vérifiée par le déterminant de leur matrice. Si ce déterminant est nul, alors $\\overrightarrow{u}$ et $\\overrightarrow{v}$ sont colinéaires, ce qui implique que les points correspondants sont alignés.

📝 Points essentiels

Trois points sont alignés si les vecteurs formés par ces points sont colinéaires. Concrètement, pour vérifier si A, B, C sont alignés, on calcule le déterminant des vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$. Si ce déterminant est nul, cela signifie que ces vecteurs sont colinéaires, et donc que les points A, B, C sont alignés.

L’alignement peut aussi se vérifier en utilisant le déterminant des vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{BC}$. La propriété fondamentale est que si ce déterminant est nul, alors ces deux vecteurs sont colinéaires, ce qui implique que les points A, B, C sont alignés, avec B étant un point commun.

💡 À retenir

L’alignement de trois points dans le plan se démontre efficacement en utilisant la colinéarité vectorielle, vérifiée par le calcul du déterminant. Un déterminant nul indique que les vecteurs formés par ces points sont colinéaires, confirmant ainsi leur alignement.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre vecteurs colinéaires et non colinéaires : deux vecteurs colinéaires ont un déterminant nul, sinon ils sont non colinéaires.
2. Oublier que la décomposition d’un vecteur en base est unique si la base est constituée de vecteurs non colinéaires.
3. Confondre norme d’un vecteur et distance entre deux points : la norme concerne un seul vecteur, la distance concerne deux points.
4. Utiliser la formule de distance sans vérifier que le repère est orthonormé, ce qui peut compliquer le calcul.
5. Confondre coordonnées d’un point et coordonnées d’un vecteur : dans un repère, elles sont liées mais distinctes conceptuellement.
6. Négliger que la condition de colinéarité s’exprime via le déterminant, pas seulement par proportionnalité des coordonnées.
7. Omettre que dans une base orthonormée, les coordonnées correspondent directement aux projections sur les axes.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’un vecteur $\\overrightarrow{OM}$ et sa représentation en coordonnées.
2. Savoir déterminer si deux vecteurs sont colinéaires en utilisant leur déterminant $xy' - x'y$.
3. Maîtriser l’expression d’un vecteur comme combinaison linéaire de deux autres vecteurs.
4. Comprendre qu’une base du plan est formée de deux vecteurs non colinéaires permettant une décomposition unique.
5. Savoir définir et calculer les coordonnées d’un vecteur dans une base donnée.
6. Connaître la formule de la norme d’un vecteur : $\\sqrt{x^2 + y^2}$.
7. Être capable de calculer la distance entre deux points à partir de leurs coordonnées.
8. Savoir ce qu’est un repère, ses types (orthogonal, normé, orthonormé), et leur impact sur les coordonnées.
9. Maîtriser la définition et l’utilisation des repères orthogonaux et orthonormés.
10. Connaître la formule pour vérifier la colinéarité via le déterminant.
11. Comprendre que tout vecteur du plan peut s’exprimer comme une combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires.
12. Identifier si un couple de vecteurs forme une base du plan en vérifiant leur déterminant.