Fiche de révision : Introduction aux inégalités et lois en probabilité

📋 Plan du Cours

1. Transformation affine des variables aléatoires et calcul de l'espérance et variance
2. Somme de variables aléatoires indépendantes : espérance et variance
3. Somme et moyenne d'un échantillon de variables aléatoires identiquement distribuées
4. Inégalité de Markov pour les variables aléatoires positives
5. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et estimation des écarts à la moyenne
6. Inégalités de concentration appliquées à la moyenne d'un échantillon
7. Application des inégalités de concentration pour déterminer la taille d'échantillon
8. Loi des grands nombres et convergence en probabilité de la moyenne d'échantillon

📖 1. Transformation affine des variables aléatoires et calcul de l'espérance et variance

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformation affine : opération qui consiste à appliquer à une variable aléatoire X une fonction de la forme Y = aX + b, où a et b sont des réels. Elle modifie la variable en la multipliant par un coefficient a puis en lui ajoutant une constante b.

• Espérance d'une variable aléatoire transformée : valeur moyenne attendue de Y = aX + b, qui se calcule par E[Y] = a E[X] + b, en utilisant la linéarité de l'espérance.

• Variance d'une variable aléatoire transformée : mesure de la dispersion de Y = aX + b, qui se calcule par Var(Y) = a² Var(X), indiquant que la variance est affectée par le carré du coefficient multiplicatif a.

📝 Points essentiels

• Pour une variable aléatoire X et une transformation Y = aX + b avec a, b réels, l'espérance de Y est donnée par E[Y] = a E[X] + b. La linéarité de l'espérance permet de décomposer le calcul en fonction de E[X].

• La variance de Y = aX + b est égale à a² Var(X). La constante b n'influence pas la dispersion, seule la multiplication par a modifie la variance, et cette modification est proportionnelle au carré de a.

• L'espérance est une transformation linéaire : elle se comporte comme une somme pondérée, ce qui facilite son calcul dans le cas d'une transformation affine.

• La variance, en revanche, est affectée par le carré du coefficient multiplicatif : si X a une variance Var(X), alors pour Y = aX + b, la variance devient a² Var(X).

• Exemple : Si X suit une loi binomiale B(n, p), alors E[X] = np et Var(X) = np(1 - p). Pour Y = aX + b, on obtient E[Y] = a np + b et Var(Y) = a² np(1 - p), permettant de calculer facilement ces moments pour Y.

💡 À retenir

La transformation affine modifie l'espérance par une formule linéaire, mais la variance est affectée par le carré du coefficient multiplicatif, ce qui est essentiel pour prévoir la dispersion après transformation.

📖 2. Somme de variables aléatoires indépendantes : espérance et variance

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme : Var ( X)=12×0,25×(1−0,25)
• Espérance : Var ( X)=12×0,25×(1−0,25)

📝 Points essentiels

• L'espérance de la somme de deux variables aléatoires X et Y est égale à la somme de leurs espérances : E[X+Y] = E[X] + E[Y].
• L'indépendance entre deux événements A et B est caractérisée par l'égalité p(A∩B) = p(A) × p(B).
• On suppose que X et Y sont associées à deux expériences aléatoires dont les conditions de réalisation sont indépendantes.

💡 À retenir

L'indépendance entre variables aléatoires permet de calculer simplement l'espérance et la variance de leur somme en additionnant respectivement leurs espérances et leurs variances.

📖 3. Somme et moyenne d'un échantillon de variables aléatoires identiquement distribuées

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne d'un échantillon : La variable aléatoire obtenue en divisant la somme des variables aléatoires d'un échantillon par la taille de cet échantillon, représentant ainsi la moyenne arithmétique des observations.
• Échantillon de taille : Une liste ordonnée de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant la même loi que X, dont le nombre d'éléments est égal à n.

📝 Points essentiels

• La somme Sn = ∑ Xi a pour espérance E[Sn] = n E[X] et variance Var(Sn) = n Var(X).
• L'écart-type de la somme est σ(Sn) = √n σ(X) et celui de la moyenne est σ(Mn) = σ(X) / √n.

💡 À retenir

Maîtriser les propriétés de la somme et de la moyenne d'un échantillon i.i.d. permet d'analyser leur comportement statistique, notamment leur espérance, variance et écart-type.

📖 4. Inégalité de Markov pour les variables aléatoires positives

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété : Une propriété est une assertion ou un résultat mathématique qui établit une relation ou une caractéristique vérifiée par des variables aléatoires ou des opérations sur celles-ci.
• Inégalité de Markov : Une inégalité qui donne une borne supérieure sur la probabilité qu'une variable aléatoire positive ou nulle dépasse un certain seuil, en fonction de son espérance.
• Alors pour tout : A> 0, p (X≥a)≤ E [ X ] a .

📝 Points essentiels

• Une variable aléatoire est dite positive ou nulle si toutes ses valeurs sont supérieures ou égales à zéro.
• Cette inégalité fournit un majorant de la probabilité que la variable aléatoire dépasse un seuil donné.
• Par exemple, si une usine produit en moyenne 35 pièces par semaine, alors la probabilité qu'elle produise au moins 70 pièces est au plus 0,5.
• Alors pour tout a>0 , p(|X−E [M n ]|≥a)≤ Var (M n ) a2 .
• Alors pour tout réel a> 0, p (X≥a)≤ E [ X ] a .

💡 À retenir

L'inégalité de Markov permet d'obtenir une borne simple sur la probabilité qu'une variable aléatoire positive dépasse un seuil donné, en utilisant son espérance.

📖 5. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et estimation des écarts à la moyenne

🔑 Notions clés & Définitions

• Remarque : Observation soulignant qu'une inégalité fournit une borne supérieure pour une probabilité, sans garantir qu'elle soit la plus précise possible.
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : → Ici E[ X ]
• Cette inégalité : Loin d'être optimale : la probabilité est souvent bien inférieure au majorant obtenu.
• Donc l'inégalité : → Ici E[ X ]

📝 Points essentiels

• Pour une variable aléatoire X d'espérance E[X] et variance Var(X), pour tout a > 0, p(|X - E[X]| ≥ a) ≤ Var(X) / a²
• Cette inégalité permet de majorer la probabilité que X s'écarte de sa moyenne d'au moins a
• On en déduit que p(|X - E[X]| < a) ≥ 1 - Var(X) / a²
• Exemple : Pour un match de football avec moyenne 2,5 buts et variance 1,1, la probabilité que le nombre de buts soit ≤1 ou ≥4 est au plus 0,489
• Majorer la probabilité que le match suivant ne se termine pas avec deux ou trois buts.
• Exemple : Lors d'une saison de football, le nombre moyen de buts par match est de 2,5 avec une variance de 1,1.

💡 À retenir

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev fournit une borne explicite pour quantifier la dispersion d'une variable aléatoire autour de sa moyenne en fonction de sa variance.

📖 6. Inégalités de concentration appliquées à la moyenne d'un échantillon

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalité de concentration : → Ici E[ Xi ]=1 2 et Var ( X )
• Exemple : Soient X et Y deux v.a.

📝 Points essentiels

• L'inégalité de concentration est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à la moyenne Mn d'un échantillon i.i.d.
• Pour tout a > 0, p(|Mn - E[X]| ≥ a) ≤ Var(X) / (n a²)
• La variance de la moyenne diminue en 1/n, ce qui concentre la distribution autour de l'espérance
• Exemple : Pour 10 000 lancers d'une pièce équilibrée, la probabilité que la moyenne s'écarte de 0,01 de 0,5 est au plus 0,25
• Exemple : On effectue 10000 lancers successifs indépendants d'une pièce équilibrée, on appelle Xi les v.a.

💡 À retenir

Comprendre comment la moyenne d'un échantillon se concentre autour de l'espérance avec l'augmentation de la taille de l'échantillon.

📖 7. Application des inégalités de concentration pour déterminer la taille d'échantillon

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité suivie : La loi de probabilité qui décrit la distribution d'une variable aléatoire.

📝 Points essentiels

• Pour garantir que la probabilité que la moyenne d'un échantillon s'écarte de l'espérance de plus de a soit inférieure ou égale à α, il faut choisir n tel que n ≥ Var(X) / (a² α).
• Exemple : Pour que la probabilité que la moyenne s'écarte de 0,01 soit inférieure à 5 %, il faut au moins 50 000 lancers.
• La taille d'échantillon augmente rapidement quand la précision ou la confiance augmente.

💡 À retenir

Utiliser les inégalités de concentration permet de dimensionner un échantillon selon la précision et la confiance souhaitées, en choisissant n en fonction de la variance, de la précision a et du risque α.

📖 8. Loi des grands nombres et convergence en probabilité de la moyenne d'échantillon

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi des grands nombres : Un théorème qui affirme que, pour tout a > 0, la probabilité que la moyenne d'un échantillon i.i.d. s'écarte de l'espérance de plus de a tend vers zéro lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini.

📝 Points essentiels

• La loi des grands nombres affirme que pour tout a > 0, lim n→∞ p(|Mn - E[X]| ≥ a) = 0.
• Cela signifie que la moyenne d'un échantillon i.i.d. converge en probabilité vers l'espérance.
• La convergence est une conséquence des inégalités de concentration et de la diminution de la variance de Mn.
• L'inégalité de concentration fournit une borne sur la probabilité que la moyenne d'échantillon s'écarte de l'espérance, ce qui permet de contrôler la précision de l'estimation.

💡 À retenir

La moyenne d'un grand échantillon devient une estimation quasi certaine de l'espérance grâce à la convergence en probabilité, justifiée par la loi des grands nombres et les inégalités de concentration.

📊 Tableaux de Synthèse

Transformation affine vs. Moments

Variables indépendantes: espérance et variance

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre l'effet de la constante b sur la variance, qui n'est pas affectée.
2. Supposer que la variance est additive pour des variables dépendantes.
3. Oublier que la variance est affectée par le carré du coefficient a dans une transformation affine.
4. Sous-estimer l'importance de la taille d'échantillon dans la concentration.
5. Utiliser la loi des grands nombres sans vérifier l'indépendance ou l'identité de distribution.

✅ Checklist Examen

1. Vérifier la linéarité de la transformation affine.
2. Calculer l'espérance après transformation en utilisant E[Y] = a E[X] + b.
3. Calculer la variance après transformation en utilisant Var(Y) = a² Var(X).
4. Pour variables indépendantes, additionner les espérances.
5. Utiliser l'inégalité de Markov pour une borne supérieure sur P(X ≥ a).
6. Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour estimer la dispersion.
7. Appliquer l'inégalité de concentration pour la moyenne d'un échantillon.
8. Dimensionner l'échantillon selon la précision et la confiance souhaitées.
9. Appliquer la loi des grands nombres pour la convergence en probabilité.