Les vecteurs : opérations, colinéarité et parallélisme

📋 Plan du Cours

1. Produit d’un vecteur par un réel
2. Propriétés des vecteurs
3. Colinéarité des vecteurs
4. Vecteurs colinéaires et parallélisme
5. Déterminant de vecteurs

📖 1. Produit d’un vecteur par un réel

🔑 Notions clés & Définitions

Produit d’un vecteur par un réel : Opération consistant à multiplier un vecteur par un nombre réel, modifiant sa norme et éventuellement son sens, tout en conservant sa direction.

Norme du vecteur produit : La norme du vecteur obtenu en multipliant un vecteur par un réel est égale à la valeur absolue de ce réel multipliée par la norme du vecteur initial.

📝 Points essentiels

• Le vecteur $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$.
• Si $k > 0$, le vecteur $k\vec{u}$ a le même sens que $\vec{u}$.
• Si $k < 0$, le vecteur $k\vec{u}$ a le sens opposé à $\vec{u}$.
• La norme de $k\vec{u}$ est donnée par $\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|$.
• Si $k = 0$ ou si $\vec{u} = \vec{0}$, alors $k\vec{u} = \vec{0}$.
• Les coordonnées de $k\vec{u}$, si $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)$, sont $k\vec{u} = \left(\begin{array}{c} k \times x \\ k \times y \end{array}\right)$.

💡 À retenir

Multiplier un vecteur par un réel modifie sa norme en la multipliant par la valeur absolue de ce réel, tout en conservant ou inversant son sens selon que le scalaire est positif ou négatif. Les coordonnées du vecteur sont obtenues en multipliant chaque composante par ce scalaire.