Fiche de révision : Maîtriser la proportionnalité et ses applications

📋 Plan du Cours

1. Proportionnalité définition
2. Coefficient de proportionnalité
3. Produits en croix
4. Représentation graphique
5. Pourcentages en proportionnalité
6. Calcul pourcentage
7. Quantité de référence
8. Augmentation en pourcentage
9. Diminution en pourcentage
10. Application pourcentages

📖 1. Proportionnalité définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportionnalité : Deux listes de nombres sont dites proportionnelles si on passe de l’une à l’autre par multiplication par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité. Happymaths (2023) : "Deux listes de nombres sont proportionnelles lorsqu’on obtient chaque nombre de l’une en multipliant le nombre correspondant de l’autre par un même nombre."

• Tableau de proportionnalité : Représentation sous forme de tableau où chaque valeur d’une ligne est obtenue en multipliant la valeur correspondante de l’autre ligne par un coefficient constant. Happymaths (2023) : "Exemple de tableau de proportionnalité avec coefficient constant."

• Caractérisation par multiplication constante : Dans un tableau de proportionnalité, la relation entre deux colonnes est caractérisée par une multiplication par un même coefficient entre chaque paire de valeurs correspondantes. Happymaths (2023) : "Caractérisation d’un tableau de proportionnalité par multiplication constante entre colonnes."

📝 Points essentiels

• La proportionnalité se manifeste lorsque chaque terme d’une liste est relié à celui de l’autre par une multiplication par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. La présence d’un coefficient constant est la clé pour reconnaître une situation de proportionnalité.

• Un tableau de proportionnalité est constitué de deux lignes ou colonnes où chaque paire de valeurs est reliée par une multiplication par un même coefficient. La constance de ce coefficient est la caractéristique principale.

• La situation est proportionnelle si, dans un graphique, les points correspondant aux couples de valeurs forment une droite passant par l’origine du repère. Si ce n’est pas le cas, la situation n’est pas proportionnelle.

💡 À retenir

La proportionnalité se définit par une relation de multiplication constante entre deux listes de nombres, ce qui se traduit graphiquement par une droite passant par l’origine dans un repère.

📖 2. Coefficient de proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de proportionnalité : nombre constant par lequel on multiplie chaque élément d’une liste pour obtenir la liste correspondante. (source : Happymaths, 3ème)
• Exemple de calcul du coefficient : si l’on passe d’un nombre à un autre dans un tableau, on divise le second par le premier pour obtenir ce coefficient. Par exemple, si 5 devient 20, le coefficient est 20 ÷ 5 = 4.
• Lien avec le passage d’une valeur à une autre : multiplier une valeur par le coefficient de proportionnalité permet de passer d’une valeur initiale à une valeur proportionnelle dans un tableau.

📝 Points essentiels

• Le coefficient de proportionnalité est constant dans un tableau de proportionnalité, ce qui signifie que pour passer d’une valeur à une autre, on multiplie ou divise par ce même nombre.
• La définition repose sur le fait que deux listes sont proportionnelles si chaque terme de l’une est obtenu en multipliant le terme correspondant de l’autre par un même coefficient.
• Le calcul du coefficient se fait en divisant une valeur connue de la deuxième liste par la valeur correspondante de la première liste. Par exemple, si dans un tableau, 3 correspond à 12, alors le coefficient est 12 ÷ 3 = 4.
• Le lien entre coefficient et passage d’une valeur à une autre est direct : pour obtenir une nouvelle valeur proportionnelle, on multiplie la valeur initiale par le coefficient.

💡 À retenir

Le coefficient de proportionnalité est un nombre constant qui permet de relier deux listes de nombres par multiplication, facilitant ainsi le passage d’une valeur à une autre dans un tableau de proportionnalité.

📖 3. Produits en croix

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété d’égalité des produits en croix : Dans un tableau de proportionnalité, tous les produits croisés formés par deux lignes sont égaux. Autrement dit, si on dispose de deux ratios $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, alors $a \times d = b \times c$. (source : Happymaths, 3ème)

• Méthode pour calculer une quatrième proportionnelle : Lorsqu’on connaît trois valeurs dans un tableau de proportionnalité, on peut déterminer la quatrième en utilisant la propriété d’égalité des produits en croix. On pose $a$, $b$, $c$ connus, et on calcule $d$ par la formule $a \times d = b \times c$, puis $d = \frac{b \times c}{a}$. (source : Happymaths, 3ème)

• Exemple concret (prix et masse) : Si 3 kg de tomates coûtent 2,6 €, alors le prix pour 5,4 kg est calculé en utilisant la propriété d’égalité des produits en croix : $3 \times x = 2,6 \times 5,4$, ce qui donne $x = \frac{2,6 \times 5,4}{3} = 4,68 EUR$. (source : Happymaths, 3ème)

📝 Points essentiels

• La propriété d’égalité des produits en croix est fondamentale pour résoudre rapidement des problèmes de proportionnalité, notamment pour calculer une quatrième valeur inconnue dans un tableau de proportionnalité.

• Lorsqu’on veut déterminer une valeur manquante dans un tableau, il suffit d’établir deux produits croisés et de les égaliser : cela permet de transformer une proportion en une équation simple.

• La méthode est particulièrement utile dans des exemples concrets comme le calcul du prix en fonction de la masse, ou inversement, où la relation entre deux grandeurs est proportionnelle.

• La formule pour calculer la quatrième proportionnelle est :
  $d = \frac{b \times c}{a}$ où $a$, $b$, $c$ sont connus, et $d$ est la valeur inconnue à déterminer.

💡 À retenir

La propriété d’égalité des produits en croix permet de résoudre efficacement tout problème de proportionnalité en transformant une relation en une simple équation.

📖 4. Représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété graphique : une situation de proportionnalité se représente par une droite passant par l’origine du repère. Selon Maths Numérique (2023), cette propriété permet de visualiser la proportionnalité par une ligne qui relie directement l’origine à chaque point correspondant aux valeurs de la relation.
• Exemple de points formant une droite passant par l’origine : dans un repère, si l’on considère des points tels que (x ; y) où y est proportionnel à x, ils forment une droite passant par (0,0). Par exemple, les points (–1; –1,5), (0; 0), (1; 1,5), (3; 4,5), (4; 6) illustrent cette propriété.
• Critère pour reconnaître une situation non proportionnelle par la forme de la droite : si la représentation graphique n’est pas une droite passant par l’origine, ou si elle n’est pas une droite du tout, alors la situation n’est pas proportionnelle, comme le précise Maths Numérique (2023). La ligne doit être une droite passant par (0,0) pour que la relation soit proportionnelle.

📝 Points essentiels

• La propriété graphique établit que toute situation de proportionnalité est représentée par une droite passant par l’origine dans un repère du plan.
• La présence d’une droite passant par (0,0) est une condition nécessaire pour que la relation soit proportionnelle, selon Maths Numérique (2023).
• Si la représentation graphique n’est pas une droite passant par l’origine, ou si ce n’est pas une droite du tout, la situation ne correspond pas à une proportionnalité.
• La visualisation graphique permet de vérifier rapidement si une relation est proportionnelle ou non, en observant la forme de la courbe dans le repère.

💡 À retenir

Une situation de proportionnalité se traduit graphiquement par une droite passant par l’origine du repère ; toute autre forme indique une relation non proportionnelle.

📖 5. Pourcentages en proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Utilisation des tableaux de proportionnalité pour appliquer un pourcentage : Méthode consistant à représenter une situation par un tableau où une ligne correspond à une quantité totale et une autre à une partie de cette quantité, permettant d'appliquer un pourcentage en utilisant la proportionnalité et l'égalité des produits en croix (voir section 4).

• Interprétation de prendre n % d’une quantité comme multiplication par n/100 : Approche selon laquelle calculer n % d’une quantité consiste à multiplier cette quantité par le facteur n/100, ce qui permet d’obtenir la valeur correspondante (exemple : 20 % d’un nombre = nombre × 20/100).

• Exemple d’application d’un pourcentage à une population : Utilisation concrète où l’on calcule le nombre d’individus correspondant à un pourcentage donné d’une population totale, en utilisant la proportionnalité et la règle de trois (voir section 4).

📝 Points essentiels

• La méthode d’application d’un pourcentage repose sur la représentation par un tableau de proportionnalité, où la partie et le tout sont liés par une relation de proportionnalité (voir section 4).
• Prendre n % d’une quantité revient à multiplier cette quantité par n/100, ce qui simplifie le calcul et permet une utilisation directe de la proportionnalité.
• Lorsqu’on souhaite appliquer un pourcentage à une population, on construit un tableau avec la population totale et la partie correspondant à ce pourcentage, puis on utilise la règle de trois ou l’interprétation par multiplication pour obtenir le résultat.
• La représentation graphique d’une situation de proportionnalité est une droite passant par l’origine, ce qui confirme l’utilisation du pourcentage dans cette situation (voir section 4).
• La méthode est applicable pour calculer des pourcentages, des quantités de référence, ou pour déterminer des augmentations ou diminutions en pourcentage (voir sections 6, 7, 8, 9).

💡 À retenir

Les pourcentages peuvent être facilement appliqués à une quantité ou une population en utilisant la proportionnalité, en représentant la situation par un tableau et en multipliant par n/100 pour obtenir le résultat.

📖 6. Calcul pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode pour calculer un pourcentage à partir de deux quantités : consiste à exprimer la relation entre une partie et un tout en utilisant une proportion, en multipliant la partie par 100 puis en la divisant par le tout.
• Exemple de calcul du pourcentage de reçus par rapport aux inscrits : si 132 candidats sur 550 sont reçus, le pourcentage est obtenu en multipliant 132 par 100, puis en divisant par 550, soit $\frac{132 \times 100}{550}$.
• Utilisation de la proportionnalité pour trouver un pourcentage : en considérant une situation où une quantité est proportionnelle à une autre, on peut déterminer un pourcentage en utilisant une règle de trois ou en multipliant la quantité totale par le pourcentage exprimé sous forme décimale (ex : n/100).

📝 Points essentiels

• La méthode pour calculer un pourcentage repose sur la relation :
  $\text{pourcentage} = \frac{\text{part}}{\text{total}} \times 100$
  où la "part" est la quantité concernée et "total" la quantité de référence.
• Lorsqu'on connaît une partie et le pourcentage qu'elle représente, on peut retrouver la quantité totale en utilisant la formule inverse :
  $\text{total} = \frac{\text{part} \times 100}{\text{pourcentage}}$
• La proportionnalité permet d'appliquer directement un pourcentage à une quantité en la multipliant par le coefficient décimal correspondant, c’est-à-dire $\frac{n}{100}$. Par exemple, 13% de 700 élèves se calcule en $700 \times \frac{13}{100}$.
• La méthode est également utilisée pour déterminer un pourcentage d’augmentation ou de diminution en exprimant d’abord la variation en valeur absolue, puis en la rapportant à la quantité initiale.

💡 À retenir

Le calcul de pourcentage repose sur une règle de trois simple : pour trouver un pourcentage, on multiplie la partie par 100 puis on divise par le total, ce qui permet d’établir une relation proportionnelle entre deux quantités.

📖 7. Quantité de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul de la quantité de référence à partir d’un pourcentage connu : méthode permettant de déterminer la quantité totale lorsqu’on connaît une partie de cette quantité et le pourcentage que cette partie représente.
• Exemple de calcul du nombre total à partir d’une partie et d’un pourcentage : si une partie d’une quantité correspond à un certain pourcentage, on peut utiliser la formule : quantité totale = (partie) / (pourcentage / 100).
• Utilisation d’un tableau de proportionnalité pour retrouver la quantité totale : méthode graphique ou numérique consistant à établir un tableau où la relation entre une partie et le total est proportionnelle, permettant de retrouver la quantité totale en utilisant une règle de trois ou l’égalité des produits en croix.

📝 Points essentiels

• La méthode consiste à utiliser la formule :
  $\text{Quantité totale} = \frac{\text{Partie connue}}{\text{Pourcentage} / 100}$ Ce qui permet de retrouver la quantité totale à partir d’une partie et du pourcentage correspondant.
• Lorsqu’on dispose d’un tableau de proportionnalité, on peut retrouver la quantité totale en utilisant la règle de trois ou en appliquant l’égalité des produits en croix, comme illustré dans l’exemple du prix des tomates.
• La représentation graphique d’une situation de proportionnalité (droite passant par l’origine) facilite la visualisation et la résolution de ce type de problème.

💡 À retenir

Pour calculer une quantité de référence à partir d’un pourcentage connu, il suffit de diviser la partie connue par le pourcentage exprimé en fraction (partie / (pourcentage / 100)) ou d’utiliser un tableau de proportionnalité pour appliquer la règle de trois.

📖 8. Augmentation en pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul d’une augmentation en valeur absolue à partir d’un pourcentage : méthode permettant de déterminer la hausse concrète d’une quantité en multipliant cette dernière par le pourcentage d’augmentation exprimé en valeur absolue.
• Exemple d’augmentation du prix d’un article avec calcul intermédiaire : illustration pratique où l’on calcule d’abord la valeur de l’augmentation en euros, puis on l’ajoute au prix initial pour obtenir le nouveau prix.
• Formule multiplicative pour augmenter une quantité de n % : opération consistant à multiplier la quantité initiale par (1 + n/100), ce qui correspond à une augmentation de n %.

📝 Points essentiels

• Pour augmenter une quantité de n %, il faut multiplier cette quantité par (1 + n/100). Par exemple, une hausse de 20 % correspond à multiplier par 1,20.
• La valeur de l’augmentation en euros se calcule en multipliant la quantité initiale par le pourcentage d’augmentation exprimé en valeur absolue. Par exemple, pour une hausse de 20 % sur un prix de 15 €, l’augmentation est de 15 × 20/100 = 3 €, et le nouveau prix est 15 + 3 = 18 €.
• La méthode consiste à d’abord calculer la valeur absolue de l’augmentation, puis à l’ajouter à la quantité initiale pour obtenir la nouvelle valeur.
• La formule multiplicative (1 + n/100) est une référence fondamentale pour effectuer rapidement des augmentations en pourcentage.

💡 À retenir

Augmenter une quantité de n % revient à la multiplier par (1 + n/100), ce qui permet de passer facilement d’un pourcentage à une valeur absolue d’augmentation.

📖 9. Diminution en pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul d’une diminution en valeur absolue à partir d’un pourcentage : méthode permettant de déterminer la réduction concrète d’une quantité en euros ou autres unités, en utilisant le pourcentage de diminution. Elle consiste à multiplier la quantité initiale par le pourcentage de diminution exprimé en valeur absolue.
• Exemple de remise sur un article avec calcul de la réduction : illustration pratique où la réduction en euros est calculée à partir du pourcentage de remise appliqué au prix initial, permettant de connaître le nouveau prix après réduction.
• Formule multiplicative : pour diminuer une quantité de n %, il faut la multiplier par (1 – n/100). Selon cette formule, une réduction de n % correspond à une multiplication par un facteur inférieur à 1, ce qui diminue la valeur initiale.

📝 Points essentiels

• La diminution en valeur absolue est calculée en multipliant la quantité initiale par le pourcentage de réduction exprimé en valeur absolue, c’est-à-dire en euros ou autre unité. Par exemple, pour une réduction de 20 %, on calcule la réduction en euros en multipliant le prix initial par 20/100.
• La formule multiplicative (voir section 8) s’applique aussi pour la diminution : diminuer une quantité de n % revient à la multiplier par (1 – n/100). Par exemple, une réduction de 30 % se traduit par une multiplication par 0,70.
• Lorsqu’on applique une réduction, le prix final est obtenu en soustrayant la réduction en valeur absolue du prix initial, ou en multipliant le prix initial par (1 – n/100).

💡 À retenir

La diminution en pourcentage se calcule en multipliant la quantité initiale par (1 – n/100), ce qui permet d’obtenir directement la nouvelle valeur après réduction.

📖 10. Application pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Application concrète des pourcentages : Utilisation des pourcentages pour résoudre des problèmes variés en exprimant une partie d’une quantité par rapport à cette quantité, en utilisant la multiplication par n/100 (voir section 6).
• Calcul du pourcentage d’augmentation entre deux années : Méthode consistant à déterminer la variation relative d’une quantité entre deux périodes en utilisant la formule :
  $\text{Pourcentage d’augmentation} = \frac{\text{Variation}}{\valeur\ initiale} \times 100$
  ou en utilisant la méthode du tableau de proportionnalité et la formule multiplicative (voir section 8).
• Utilisation combinée des méthodes : Résolution de problèmes en combinant différentes techniques, telles que le calcul direct de pourcentages, l’application de la formule multiplicative pour augmenter ou diminuer une quantité, ou l’utilisation de tableaux de proportionnalité pour retrouver une quantité ou un pourcentage (voir sections 6, 8, et 9).

📝 Points essentiels

• La résolution de problèmes concrets avec des pourcentages repose sur la multiplication par n/100, où n est le pourcentage.
• Le calcul du pourcentage d’augmentation entre deux années se fait en comparant la différence entre la valeur finale et la valeur initiale, puis en la rapportant à la valeur initiale, souvent exprimé en pourcentage.
• La méthode combinée permet d’aborder des problèmes complexes en utilisant plusieurs techniques, comme le tableau de proportionnalité pour appliquer un pourcentage ou retrouver une quantité à partir d’une partie et d’un pourcentage.
• La formule multiplicative pour augmenter une quantité de n % est :
  $\text{Nouvelle quantité} = \text{Quantité initiale} \times \left(1 + \frac{n}{100}\right)$
  et pour diminuer :
  $\text{Nouvelle quantité} = \text{Quantité initiale} \times \left(1 - \frac{n}{100}\right)$
• La représentation graphique d’une situation de proportionnalité est une droite passant par l’origine, ce qui permet de visualiser la relation entre deux grandeurs (voir section 3).

💡 À retenir

Les pourcentages permettent d’analyser et de résoudre efficacement des problèmes concrets en utilisant des méthodes simples mais puissantes, notamment la multiplication par n/100 et la représentation graphique. La maîtrise de ces techniques facilite la résolution de situations variées, comme le calcul d’augmentation entre deux années ou la résolution de problèmes combinés.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre proportionnalité avec une simple relation linéaire non passant par l’origine.
2. Oublier que la proportionnalité implique un coefficient constant, pas une variation arbitraire.
3. Utiliser la formule du coefficient sans vérifier si la relation est bien proportionnelle.
4. Confondre produits en croix et addition pour résoudre une proportion.
5. Interpréter une courbe non linéaire comme une proportionnalité.
6. Omettre de vérifier si la droite passe par l’origine dans la représentation graphique.
7. Calculer le coefficient en divisant dans le mauvais sens (ex : valeur de la deuxième liste par la première).

✅ Checklist Examen

• Connaître la définition de la proportionnalité selon Happymaths (2023).
• Savoir représenter une proportionnalité sous forme de tableau.
• Maîtriser le calcul du coefficient de proportionnalité.
• Appliquer la propriété d’égalité des produits en croix pour résoudre une inconnue.
• Reconnaître graphiquement une situation proportionnelle par une droite passant par l’origine.
• Savoir utiliser la formule pour calculer un produit croisé dans un problème concret.
• Comprendre que la relation proportionnelle se traduit graphiquement par une droite passant par (0,0).
• Savoir déterminer si une situation est proportionnelle ou non à partir de la représentation graphique.
• Maîtriser l’utilisation des pourcentages dans un contexte de proportionnalité.
• Connaître la différence entre augmentation et diminution en pourcentage.
• Savoir calculer un pourcentage à partir d’une quantité de référence.
• Connaître la formule pour calculer une valeur inconnue dans un tableau de proportionnalité à l’aide des produits en croix.