Fiche de révision : Principes des vecteurs aléatoires et lois gaussiennes

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs aléatoires
2. Lois de probabilité
3. Fonction de densité
4. Fonction de répartition
5. Vecteurs aléatoires gaussiens
6. Matrice de covariance
7. Indépendance vecteurs
8. Transformations gaussiennes
9. Indépendance et covariance

📖 1. Vecteurs aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur aléatoire (définition) : Un vecteur aléatoire $X = (X_1, \ldots, X_p) \in \mathbb{R}^p$ est un vecteur dont chaque composante $X_i$ est une variable aléatoire réelle. La fonction de répartition conjointe $F_X(t_1, \ldots, t_p)$ est définie par $F_X(t_1, \ldots, t_p) = P[X_1 \leq t_1, \ldots, X_p \leq t_p]$. Lèbre (UPVM) (date) : modélise le comportement simultané de plusieurs variables continues.

• Fonction de répartition conjointe : La probabilité que chaque composante $X_i$ soit inférieure ou égale à un seuil $t_i$, pour tout $i$, exprimée par $F_X(t_1, \ldots, t_p)$. Elle caractérise la loi du vecteur aléatoire.

• Densité d’un vecteur aléatoire continu : Si $X$ admet une densité $f_X$ par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^p$, alors $F_X(t) = \int_{-\infty}^{t_1} \cdots \int_{-\infty}^{t_p} f_X(u_1, \ldots, u_p) du_1 \cdots du_p$. La densité est reliée à la fonction de répartition par dérivation partielle : $f_X(t) = \frac{\partial^p}{\partial t_1 \cdots \partial t_p} F_X(t)$. Lèbre (UPVM) (date).

• Exemple : Modélisation simultanée de plusieurs variables continues, telles que revenu, consommation, temps dédié à diverses activités, permettant d’étudier leurs dépendances et comportements conjoints.

📝 Points essentiels

• La fonction de répartition conjointe $F_X$ est une fonction croissante, continue en chaque point, et limite à 1 lorsque tous les $t_i \to +\infty$.

• La densité $f_X$ d’un vecteur continu est non négative et intégrale égale à 1 sur $\mathbb{R}^p$. Elle permet de calculer la probabilité d’un événement par intégration.

• La densité marginale de $X_i$ est obtenue par intégration de $f_X$ sur toutes les autres variables : $f_{X_i}(t_i) = \int_{-\infty}^{+\infty} \cdots \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t_1, \ldots, t_{i-1}, t_i, t_{i+1}, \ldots, t_p) dt_1 \cdots dt_{i-1} dt_{i+1} \cdots dt_p$.

• La connaissance des lois marginales ne suffit pas à déterminer la loi conjointe, sauf cas particulier (ex : indépendance).

• La modélisation conjointe permet d’étudier la dépendance entre variables, essentielle en statistique multivariée.

💡 À retenir

Un vecteur aléatoire est une collection de variables aléatoires réelles dont la loi conjointe, caractérisée par une fonction de répartition et éventuellement une densité, permet d’étudier leur comportement simultané et leurs dépendances.

📖 2. Lois de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de densité (fX) : Fonction non négative définie sur ℝ^p telle que l'intégrale sur ℝ^p est égale à 1, permettant de décrire la loi d'une variable ou vecteur aléatoire continue. (S. Lèbre, UPVM) : "Toute densité de probabilité fX vérifie, pour tout t ∈ ℝ^p, fX(t) ≥ 0 et ∫ℝ^p fX(t) dt = 1."

• Fonction de répartition (FX) : Fonction définie par FX(t) = P[X₁ ≤ t₁, ..., Xp ≤ tp], qui donne la probabilité que le vecteur X prenne une valeur inférieure ou égale à t dans chaque composante. (S. Lèbre, UPVM) : "La fonction de répartition FX est définie pour tout t par FX(t) = P[X₁ ≤ t₁, ..., Xp ≤ tp]."

• Loi continue : Loi d'une variable ou vecteur aléatoire dont la fonction de répartition est continue et admet une densité fX. La loi est entièrement caractérisée par cette densité. (S. Lèbre, UPVM) : "Dans le cas où X est continu, FX(t) = ∫{-∞}^{t₁} ... ∫{-∞}^{tp} fX(u₁, ..., u_p) du₁ ... du_p."

• Propriétés fondamentales des densités : La densité fX est positive ou nulle partout, et son intégrale sur ℝ^p est égale à 1. (S. Lèbre, UPVM) : "fX(t) ≥ 0 et ∫ℝ^p fX(t) dt = 1."

• Lien entre densité marginale et conjointe : La densité marginale de certaines composantes d’un vecteur X s’obtient par intégration de la densité conjointe sur les autres variables. (S. Lèbre, UPVM) : "f˜X(˜t) = ∫ℝ^{p−k} fX(t₁, ..., t_k, u_{k+1}, ..., u_p) du_{k+1} ... du_p."

📝 Points essentiels

• La loi d'une variable ou vecteur aléatoire continue peut être entièrement décrite par sa fonction de densité fX, qui doit respecter la positivité et l’intégrale unitaire. La fonction de répartition FX, définie comme la probabilité que X prenne une valeur inférieure ou égale à t, est reliée à la densité par dérivation partielle : si X est continue, alors fX(t) = ∂^p FX(t) / ∂t₁ ... ∂t_p.

• La densité marginale d’un sous-vecteur ˜X est obtenue par intégration de la densité conjointe sur les autres variables. La connaissance des lois marginales ne suffit pas à déterminer la loi conjointe, sauf dans certains cas (ex. vecteurs gaussiens).

• La fonction de densité doit être positive ou nulle, et son intégrale sur tout ℝ^p doit être égale à 1, ce qui garantit qu’elle définit une loi de probabilité valide.

• La fonction de répartition FX est croissante, continue (pour une loi continue) et limite à 0 en −∞ et 1 en +∞.

• La densité marginale de Xk est donnée par fXk(t) = ∫ℝ^{p−1} fX(t, u_{2}, ..., u_{p}) du_{2} ... du_{p}.

• La covariance Cov(Xk, Xl) mesure la dépendance linéaire entre deux composantes, mais une covariance nulle n’implique pas toujours l’indépendance sauf dans le cas des vecteurs gaussiens (voir section 8).

💡 À retenir

Une loi de probabilité pour une variable ou vecteur continu est entièrement caractérisée par sa densité, qui doit être positive et intégrer à 1, et par sa fonction de répartition, qui donne la probabilité que la variable prenne une valeur inférieure ou égale à un seuil. La densité marginale s’obtient par intégration de la densité conjointe, mais cette dernière ne se déduit pas uniquement des marges sauf dans le cas particulier des vecteurs gaussiens.

📖 3. Fonction de densité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de densité $f_X$ (source : "la densité d’un vecteur aléatoire continu") : Fonction $f_X : \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}_+$ telle que pour un vecteur aléatoire continu $X$, la probabilité que $X$ prenne une valeur dans un ensemble mesurable $A$ est donnée par $\mathbb{P}(X \in A) = \int_A f_X(t) dt$. Elle est positive et intégrable sur $\mathbb{R}^p$.

• Propriété de non-négativité (source : "Proposition") : $f_X(t) \geq 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}^p$.

• Normalisation (source : "Proposition") : $\int_{\mathbb{R}^p} f_X(t) dt = 1$, assurant que la densité représente une probabilité totale.

• Densité marginale (source : "f ˜X") : La densité d'une sous-ensemble de composantes $\tilde{X} = (X_1, \ldots, X_k)$ est obtenue par intégration de la densité conjointe sur les variables non considérées :
  $f_{\tilde{X}}(\tilde{t}) = \int_{\mathbb{R}^{p-k}} f_X(t_1, \ldots, t_k, u_{k+1}, \ldots, u_p) du_{k+1} \ldots du_p.$

• Lien entre densité et fonction de répartition (source : "fX(t) = \partial^p / \partial t_1 \ldots \partial t_p FX(t)") : La densité $f_X$ est la dérivée partielle de la fonction de répartition $FX$ :
  $f_X(t) = \frac{\partial^p}{\partial t_1 \ldots \partial t_p} FX(t),$ sous réserve de régularité.

📝 Points essentiels

• La fonction de densité $f_X$ doit être positive et intégrable sur $\mathbb{R}^p$, avec une intégrale totale égale à 1, ce qui garantit qu’elle représente une probabilité (source : "Proposition").
• La densité marginale d’un sous-ensemble de variables est obtenue par intégration de la densité conjointe sur les autres variables (source : "f ˜X").
• La densité est reliée à la fonction de répartition par dérivation : $f_X(t) = \frac{\partial^p}{\partial t_1 \ldots \partial t_p} FX(t)$ (source : "fX(t) = \partial^p / \partial t_1 \ldots \partial t_p FX(t)").
• La connaissance des lois marginales ne suffit pas à déterminer la loi conjointe, sauf dans certains cas (source : "Remarque").

💡 À retenir

La fonction de densité d’un vecteur aléatoire continu est une fonction positive intégrable dont la dérivée partielle de la fonction de répartition permet de la retrouver, et elle permet de calculer facilement les probabilités sur des sous-ensembles.

📖 4. Fonction de répartition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de répartition FX (pour un vecteur aléatoire X = (X₁, ..., Xₚ)) : La fonction de répartition FX est définie pour tout t = (t₁, ..., tₚ) par
  $FX(t₁, ..., tₚ) = P[X₁ ≤ t₁, ..., Xₚ ≤ tₚ]$ Elle donne la probabilité que chaque composante du vecteur X soit inférieure ou égale à la composante correspondante de t.

• Expression de FX en termes de densité : Si X est un vecteur continu, alors
  $FX(t) = \int_{-\infty}^{t_1} \cdots \int_{-\infty}^{t_p} f_X(u_1, ..., u_p) du_1 \cdots du_p$ où $f_X$ est la densité de X. La fonction de répartition est donc une intégrale de la densité sur un hyper-rectangle.

• Lien entre fonction de répartition et densité (voir section 1) : La densité $f_X(t)$ peut être retrouvée par dérivation partielle de FX,
  $f_X(t) = \frac{\partial^p}{\partial t_1 \cdots \partial t_p} FX(t)$ ce qui nécessite que FX soit dérivable.

• Propriétés de FX (voir section 1) :

  • FX est croissante dans chaque variable.
  • FX est continue et limite à 0 lorsque $t \to -\infty$ et à 1 lorsque $t \to +\infty$.
  • FX est une fonction de distribution multivariée, caractéristique de la loi conjointe de X.

📝 Points essentiels

• La fonction de répartition FX est une fonction multivariée qui généralise la fonction de répartition univariée, permettant de modéliser la probabilité conjointe de plusieurs variables aléatoires continues.

• La relation entre FX et la densité $f_X$ est fondamentale : FX s'obtient par intégration de $f_X$ sur un hyper-rectangle, et inversement, $f_X$ est la dérivée p-ième de FX (dérivation partielle).

• La propriété de limite : $\lim_{t \to -\infty} FX(t) = 0$ et $\lim_{t \to +\infty} FX(t) = 1$.

• La fonction FX est croissante dans chaque composante, ce qui garantit que la probabilité ne diminue pas lorsque l'on augmente les seuils.

• La connaissance de FX permet de déterminer la loi conjointe de X, mais la connaissance de FX seule ne suffit pas à retrouver la densité si FX n'est pas dérivable.

💡 À retenir

La fonction de répartition FX d’un vecteur aléatoire est la probabilité conjointe que chaque composante soit inférieure ou égale à un seuil donné, et elle relie directement la densité par dérivation, permettant d’étudier la loi de X dans sa globalité.

📖 5. Vecteurs aléatoires gaussiens

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur gaussien : Un vecteur aléatoire $X = (X_1, \ldots, X_p)$ est dit gaussien si toute combinaison linéaire $u^T X$ (avec $u \in \mathbb{R}^p$) suit une loi normale. Selon Lèbre (date non précisée), cela signifie que $\forall u \in \mathbb{R}^p, u^T X \sim N(\mu_u, \sigma_u^2)$.

• Densité d’un vecteur gaussien : Si $X \sim N(m, \Sigma)$ avec $\Sigma$ inversible, sa densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^p$ est donnée par : $f_X(x) = \frac{1}{(2\pi)^{p/2} \det(\Sigma)^{1/2}} \exp \left( -\frac{1}{2}(x - m)^T \Sigma^{-1} (x - m) \right)$ (d’après Lèbre).

• Condition d’existence de la densité : La densité d’un vecteur gaussien $X \sim N(m, \Sigma)$ existe si et seulement si la matrice de covariance $\Sigma$ est inversible. (Lèbre).

📝 Points essentiels

• La définition d’un vecteur gaussien repose sur la propriété que toute combinaison linéaire de ses composantes est une variable normale, ce qui implique que le vecteur entier est entièrement caractérisé par sa moyenne $m$ et sa matrice de covariance $\Sigma$ (Lèbre).

• La densité d’un vecteur gaussien est explicitement donnée si et seulement si $\Sigma$ est inversible. La formule implique la moyenne $m$ et la matrice de covariance $\Sigma$, avec le terme \ $\det(\Sigma)$ qui doit être non nul.

• La transformation linéaire d’un vecteur gaussien $X \sim N(m, \Sigma)$, par une matrice $A$ et un vecteur $b$, donne un vecteur gaussien $AX + b \sim N(Am + b, A \Sigma A^T)$ (Lèbre).

• La transformation $\Sigma^{-1/2}(X - m)$ suit une loi normale centrée réduite $N(0, I_p)$, ce qui permet de "centrer et réduire" un vecteur gaussien (Lèbre).

• Pour un vecteur gaussien, l’indépendance entre ses composantes est équivalente à la diagonale de la matrice de covariance $\Sigma$. En particulier, deux composantes sont indépendantes si et seulement si leur covariance est nulle (Lèbre).

💡 À retenir

Un vecteur gaussien est entièrement caractérisé par sa moyenne et sa matrice de covariance, et toute combinaison linéaire de ses composantes suit une loi normale. La densité existe si et seulement si la matrice de covariance est inversible.

📖 6. Matrice de covariance

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice de covariance Σ = Cov(X) : matrice p×p qui mesure la dispersion et la dépendance entre les composantes d’un vecteur aléatoire X = (X₁, ..., Xₚ).
• Structure de Σ : la diagonale contient les variances Var(Xₖ), hors diagonale, les covariances Cov(Xₖ, Xₗ) pour k ≠ l.
• Propriété : Σ est une matrice symétrique semi-définie positive, ce qui implique que pour tout vecteur u, uᵗΣu ≥ 0.
• Théorème : La transformation linéaire d’un vecteur aléatoire X par une matrice A modifie la covariance selon la formule :
  $\text{si } Y = AX, \quad \text{alors } \text{Cov}(Y) = A \Sigma A^{\top}$
  (voir Lèbre (UPVM)).

📝 Points essentiels

• La matrice de covariance Σ est toujours symétrique et semi-définie positive (Théorème 1).
• La diagonale de Σ représente la variance de chaque composante, ce qui indique la dispersion individuelle (voir Lèbre (UPVM)).
• La propriété de semi-définie positive signifie que pour tout vecteur u, uᵗΣu ≥ 0, ce qui garantit que la variance d’une combinaison linéaire de X est positive ou nulle.
• Lorsqu’on applique une transformation linéaire A à X, la covariance de Y = AX devient AΣAᵗ, ce qui montre comment la dispersion est modifiée par la transformation (voir Lèbre (UPVM)).

💡 À retenir

La matrice de covariance Σ est une matrice symétrique semi-définie positive qui quantifie la dispersion et la dépendance entre les composantes d’un vecteur aléatoire, et sa transformation par une matrice A suit la formule AΣAᵗ.

📖 7. Indépendance vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance entre deux vecteurs aléatoires : Deux vecteurs aléatoires $X = (X_1, \ldots, X_p)$ et $Y = (Y_1, \ldots, Y_q)$ sont indépendants si, pour tout $A \subseteq \mathbb{R}^p$ et $B \subseteq \mathbb{R}^q$,
  $P[(X, Y) \in A \times B] = P[X \in A] \times P[Y \in B].$ Lèbre (UPVM) : cette indépendance est caractérisée par la factorisation de la densité conjointe,
  $f_{X,Y}(t_1, \ldots, t_p, t_{p+1}, \ldots, t_{p+q}) = f_X(t_1, \ldots, t_p) \times f_Y(t_{p+1}, \ldots, t_{p+q}),$ pour tout $t$.

• Indépendance et densités : La condition de factorisation des densités $f_{X,Y}(t) = f_X(t_1, \ldots, t_p) \times f_Y(t_{p+1}, \ldots, t_{p+q})$ est une caractérisation de l’indépendance (Lèbre, UPVM).
  Point essentiel : cette factorisation est nécessaire et suffisante pour l’indépendance.

• Conséquence de l’indépendance : covariance nulle : Si deux vecteurs $X$ et $Y$ sont indépendants, alors leur covariance est nulle,
  $\operatorname{Cov}(X_i, Y_j) = 0 \quad \forall i, j,$ mais la réciproque n’est pas toujours vraie en général (sauf pour vecteurs gaussiens).

• Indépendance dans le cas des vecteurs gaussiens : Lèbre (UPVM) : Pour un vecteur gaussien, l’indépendance est équivalente à la covariance nulle, c’est-à-dire que si $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$, alors $X$ et $Y$ sont indépendants.

📝 Points essentiels

• La définition formelle de l’indépendance entre deux vecteurs aléatoires repose sur la probabilité conjointe : $P[(X, Y) \in A \times B] = P[X \in A] P[Y \in B]$.
• La caractérisation par la densité conjointe implique que la densité de $(X, Y)$ doit se factoriser en produit des densités marginales :
  $f_{X,Y}(t) = f_X(t_1, \ldots, t_p) \times f_Y(t_{p+1}, \ldots, t_{p+q}).$
• La propriété que l’indépendance implique covariance nulle est toujours vraie, mais la réciproque n’est pas en général vraie sauf dans le cas particulier des vecteurs gaussiens.
• Pour un vecteur gaussien, Lèbre (UPVM) : l’indépendance est équivalente à la covariance nulle, ce qui simplifie la vérification de l’indépendance.

💡 À retenir

L’indépendance entre deux vecteurs aléatoires se caractérise par la factorisation de leur densité conjointe en produit de leurs densités marginales. Dans le cas des vecteurs gaussiens, cette indépendance est équivalente à la covariance nulle.

📖 8. Transformations gaussiennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformation linéaire d’un vecteur gaussien : Si $X$ est un vecteur gaussien de moyenne $m$ et covariance $\Sigma$, alors pour toute matrice réelle $A$ de dimension $q \times p$ et tout vecteur $b \in \mathbb{R}^q$, le vecteur $AX + b$ est également gaussien, avec moyenne $Am + b$ et covariance $A\Sigma A^T$ (S. Lèbre, 2023).

• Vecteur gaussien centré et réduit : La transformation $\Sigma^{-1/2}(X - m)$ d’un vecteur gaussien $X \sim N(m, \Sigma)$ suit une loi normale centrée réduite, c’est-à-dire $N(0, I_p)$, où $I_p$ est la matrice identité de dimension $p$ (S. Lèbre, 2023).

• Propriétés spécifiques des transformations gaussiennes : Toute transformation linéaire d’un vecteur gaussien reste gaussienne. La transformation $\Sigma^{-1/2}(X - m)$ permet de standardiser $X$, facilitant l’analyse et la comparaison (S. Lèbre, 2023).

📝 Points essentiels

• La transformation $AX + b$ d’un vecteur gaussien conserve la loi normale, avec une moyenne modifiée par $A$ et $b$, et une covariance transformée par $A\Sigma A^T$ (S. Lèbre, 2023).

• La transformation $\Sigma^{-1/2}(X - m)$ est appelée transformation centrée et réduite, car elle donne un vecteur gaussien de moyenne nulle et de covariance identité, ce qui simplifie l’étude des propriétés du vecteur initial (S. Lèbre, 2023).

• La matrice $\Sigma^{-1/2}$ est la racine carrée inverse de la matrice de covariance $\Sigma$, qui existe si et seulement si $\Sigma$ est inversible, garantissant la densité du vecteur transformé (S. Lèbre, 2023).

• La propriété essentielle : toute combinaison linéaire d’un vecteur gaussien est gaussienne, ce qui permet de caractériser la loi gaussienne par ses transformations linéaires (S. Lèbre, 2023).

💡 À retenir

Les transformations linéaires d’un vecteur gaussien produisent toujours un vecteur gaussien, et la standardisation par $\Sigma^{-1/2}$ permet d’obtenir une loi normale centrée réduite, facilitant l’analyse statistique.

📖 9. Indépendance et covariance

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur gaussien : Lèbre (UPVM) (date) : vecteur aléatoire X ∈ Rp tel que toute combinaison linéaire u>X est une variable normale, c’est-à-dire N(μu, σ²u).
• Indépendance de vecteurs gaussiens : Lèbre (UPVM) (date) : deux vecteurs X et Y sont indépendants si et seulement si leur matrice de covariance Σ est diagonale.
• Covariance nulle (pour vecteurs gaussiens) : Lèbre (UPVM) (date) : si Cov(Xk, Xl) = 0 pour k ≠ l, alors Xk et Xl sont indépendants, ce qui n’est pas vrai en général pour d’autres types de vecteurs.

📝 Points essentiels

• Pour un vecteur gaussien, l’indépendance entre deux composantes Xk et Xl est équivalente à Cov(Xk, Xl) = 0 (Théorème).
• La matrice de covariance Σ d’un vecteur gaussien est diagonale si et seulement si ses composantes sont indépendantes (Théorème).
• En dehors des vecteurs gaussiens, Cov(Xk, Xl) = 0 n’implique pas nécessairement l’indépendance (rappel général).
• La densité d’un vecteur gaussien X ∼ N(m, Σ) existe si et seulement si Σ est inversible (Théorème 3).
• La transformation linéaire d’un vecteur gaussien : AX + b est gaussien avec moyenne Am + b et covariance AΣAᵗ (Corollaire 1).
• La propriété que les composantes d’un vecteur gaussien soient indépendantes est équivalente à la matrice de covariance étant diagonale (Théorème).

💡 À retenir

Pour un vecteur gaussien, l’indépendance entre deux composantes est équivalente à leur covariance nulle, ce qui n’est pas le cas en général. La diagonale de la matrice de covariance caractérise l’indépendance dans ce cas particulier.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre densité et fonction de répartition : la densité est la dérivée de la répartition pour une loi continue.
2. Supposer que la connaissance des marges suffit pour connaître la loi conjointe : sauf vecteurs gaussiens, ce n’est pas vrai.
3. Confondre indépendance et covariance nulle : pour vecteurs gaussiens, covariance nulle implique indépendance, sinon pas.
4. Ignorer que la densité doit être positive partout et intégrale à 1.
5. Croire qu’une densité marginale détermine la densité conjointe : ce n’est vrai que dans certains cas spécifiques.
6. Confondre vecteurs gaussiens et vecteurs avec covariance nulle : seul le cas gaussien garantit l’indépendance.
7. Oublier que une transformation affine d’un vecteur gaussien reste gaussienne, mais pas forcément indépendante.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition précise d’un vecteur aléatoire et sa fonction de répartition conjointe, selon Lèbre (UPVM).
2. Maîtriser la relation entre densité et fonction de répartition, notamment $f_X(t) = \frac{\partial^p FX(t)}{\partial t_1 \ldots \partial t_p}$.
3. Savoir calculer une densité marginale par intégration de la densité conjointe.
4. Connaître la propriété que la densité doit être positive et intégrale à 1.
5. Savoir que la loi d’un vecteur gaussien est entièrement caractérisée par sa moyenne $\mu$ et sa matrice de covariance $\Sigma$.
6. Comprendre la différence entre indépendance et covariance nulle, en particulier dans le cas des vecteurs gaussiens.
7. Savoir que la transformation affine d’un vecteur gaussien reste gaussienne.
8. Connaître la définition et la propriété de la matrice de covariance.
9. Être capable d’identifier un faux-ami ou une erreur courante dans l’interprétation des lois de probabilité.
10. Maîtriser la distinction entre loi continue et loi discrète, notamment en termes de densité et de fonction de répartition.
11. Savoir que la covariance ne suffit pas à garantir l’indépendance sauf pour vecteurs gaussiens.
12. Vérifier la maîtrise du vocabulaire spécifique : vecteur aléatoire, densité, fonction de répartition, covariance, indépendance, vecteur gaussien.