Fiche de révision : Principes et caractéristiques des liaisons mécaniques

📋 Plan du Cours

1. Actions transmissibles et moments dans les liaisons mécaniques
2. Caractéristiques et torseurs des liaisons normalisées usuelles
3. Modélisation des actions mécaniques et principe fondamental de la statique
4. Principe des actions réciproques et transport des moments
5. Degré d’hyperstaticité des systèmes et classification des structures

📖 1. Actions transmissibles et moments dans les liaisons mécaniques

📝 Points essentiels

• Pour chaque liaison, on donne les actions transmissibles suivant les trois axes : Force (N) et Moment (Nm).
• Le bras de levier d est la distance partant du point A, perpendiculaire à la droite d’action de la force F.
• Si le bras de levier d est connu, la valeur du moment est égale au produit de la force par le bras de levier, agissant autour d’un axe passant par A et perpendiculaire au plan concerné.
• Le signe du moment peut être déterminé avec, entre autres, la règle de la main droite.
• Pour le signe, on pourra utiliser, entre autres, la règle de la main droite.
• Une liaison transmet des actions suivant trois axes : une Force (N) et un Moment (Nm).
• Le Moment (Nm) est défini comme l’effort en rotation appliqué à un axe.
• Pour une force F dont le bras de levier d est connu, la valeur du moment vaut le produit F·d.
• SASSI Statique 2 Caractéristiques d’une liaison Pour chaque liaison, on donnera
• Les actions transmissibles suivant les trois axes : Force (N) : Interaction entre deux objets ou systèmes.
• • Les actions transmissibles suivant les trois axes : Moment (Nm) : C’est l'effort en rotation appliqué à un axe.

💡 À retenir

À partir d’une force F et du bras de levier d (distance perpendiculaire à la droite d’action mesurée depuis A), on obtient le moment par le produit F·d, et son signe se détermine avec la règle de la main droite autour de l’axe considéré.

📖 2. Caractéristiques et torseurs des liaisons normalisées usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Torseur des actions mécaniques : Torseur associé aux actions mécaniques, donné avec des composantes de translation et de rotation pour une liaison normalisée.

📝 Points essentiels

• Pour la liaison encastrement, le torseur cinématique et le torseur des actions mécaniques sont donnés en tout point de l’espace.
• Liaison glissière de direction x : en tout point de l’espace, la translation selon X vaut 1 et les autres translations valent 0 ; la rotation autour de x vaut θx et les autres rotations sont nulles.
• Liaison pivot d’axe (A, x) : en tout point de l’axe de rotation, la translation selon X vaut 0 et la rotation autour de x vaut ωx ; les autres composantes de translation/rotation sont nulles.
• Liaison pivot glissant d’axe (A, x) : en tout point de l’axe de rotation, la translation selon X vaut 1 et la rotation autour de x vaut ωx, avec une composante de rotation supplémentaire θx.

💡 À retenir

Pour la liaison encastrement, le torseur cinématique et le torseur des actions mécaniques sont donnés en tout point de l’espace.

📖 3. Modélisation des actions mécaniques et principe fondamental de la statique

🔑 Notions clés & Définitions

• Bilan des forces : Étape de l’étude statique consistant à faire le bilan des forces qui s’exercent sur le système considéré.
• Principe Fondamental de la Statique (PFS) : Principe appliqué après les étapes précédentes de l’étude statique, permettant de traiter l’équilibre du système.

📝 Points essentiels

• Étapes de l’étude statique : tracer le graphe de structure (graphe de liaisons + actions mécaniques extérieures).
• Étapes de l’étude statique : isoler le système (ensemble de solides) à étudier.
• Étapes de l’étude statique : appliquer le Principe Fondamental de la statique (PFS).

💡 À retenir

L’étude statique se déroule en 4 étapes : tracer le graphe de structure, isoler le système, faire le bilan des forces, puis appliquer le PFS.

📖 4. Principe des actions réciproques et transport des moments

📝 Points essentiels

• Transport des moments : permet d’exprimer les efforts en un point à partir d’un autre point, avec la relation de Chasles.
• Principe des actions réciproques : pour un système (S) composé de deux solides (A) et (B) en contact et à l’équilibre, sous un chargement, au point I quelconque de l’espace.
• Principe des actions réciproques : les efforts en A et les efforts en I sont reliés par le transport des moments.
• Relation de Chasles : elle relie les efforts et moments transportés entre les points considérés (dans le cadre du transport des moments).
• Principe des actions réciproques : le point I est quelconque dans l’espace (hypothèse explicitement donnée).
• 𝑍 0 𝐴 B𝜔𝑥 0 𝜔𝑦 0 𝜔𝑧 0 𝐴 B Au centre de la liaison 16 Liaisons normalisées Translation Rotation X 0 1 Y 0 0 Z 0 1 Liaison Rotule à doigt de centre A: Torseur cinématique Torseur des actions mécaniques 𝑋 0 𝑌 𝑀 𝑍 0 𝐴 B𝜔𝑥 0 0 0 𝜔𝑧 0 𝐴 B Au centre de la liaison 17 Modélisation des actions mécaniques Etapes de l’étude statique :
  • Tracer le graphe de structure : graphe de liaisons + actions mécaniques extérieures
  • Isoler le système (ensemble de solides) à étudier
  • Faire le bilan des forces qui s’exercent sur le système considéré
  • Appliquer le Principe Fondamental de la statique (PFS) 18 Actions réciproques Principe : Soit un système (S) composé de deux solides (A) et (B) en contact et à l’équilibre sous un chargement et un point I quelconque de l’espace : 19 Transport des moments Principe : Efforts en A : et Relation de Chasles : Alors : 20 Système biarticulé à l’équilibre Principe : Si un solide ou un système de solides (s) biarticulé est à l’équilibre et qu’il n’est chargé qu’à ses deux articulations, seules deux possibilités existent pour assurer son équilibre, et les forces exercées par le reste du système sur (s) sont nécessairement colinéaires (droite reliant les deux articulations), de sens opposé et de norme égale.

💡 À retenir

À l’équilibre, les actions réciproques relient les efforts en deux points grâce au transport des moments. La relation de Chasles sert à relier les efforts et moments transportés entre ces points, avec I quelconque dans l’espace.

📖 5. Degré d’hyperstaticité des systèmes et classification des structures

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré d’hyperstaticité d’un système : Différence entre le nombre total de blocages générés par les liaisons du système et le nombre d’équations disponibles avec le PFS (en 3D : 6 équations).

📝 Points essentiels

• En 3D, le PFS fournit 6 équations : 3 traduisant la nullité des efforts suivant les 3 axes et 3 traduisant la nullité des moments autour des 3 axes, à comparer au nombre total de blocages générés par les liaisons.
• En 3D : 1 encastrement = 6 inconnues (3 moments et 3 forces) ; 1 appui simple = 1 inconnue (1 force) ; 1 articulation = 3 inconnues (3 forces).
• Dans l’exemple, d° = 10 − 6 = 4 : le système est hyperstatique de degré 4 et il manque quatre équations pour déterminer les efforts de liaison avec le PFS seul.

💡 À retenir

En 3D, le PFS fournit 6 équations : 3 traduisant la nullité des efforts suivant les 3 axes et 3 traduisant la nullité des moments autour des 3 axes, à comparer au nombre total de blocages générés par les liaisons.

🧩 Compléments de couverture

1. En 3D, le degré d’hyperstaticité est calculé dans l’exemple : d° = 10 − 6 = 4, et le système est dit hyperstatique de degré 4.
2. 1 2025/2026 SUP - LYON A. SASSI Statique 2 Caractéristiques d’une liaison Pour chaque liaison, on donnera Les actions transmissibles suivant les trois axes : Force (N) : Interaction.
3. 0 𝜗𝑦 𝜔𝑧 0 𝐴 B 0 𝐿 0 𝑀 𝑍 0 𝐴 B Torseur des actions mécaniques 12 Liaisons normalisées Liaison Sphère-Cylindre de centre A et d’axe (A,𝒙) : Torseur cinématique Au centre de la.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre bras de levier $d$ avec une distance quelconque : dans le résumé, $d$ est perpendiculaire à la droite d’action et mesuré depuis A.
2. Oublier que le moment est lié à une force via $M = F \cdot d$ et que le signe se détermine avec la règle de la main droite autour de l’axe considéré.
3. Penser qu’une liaison ne transmet qu’une force : le résumé insiste sur Force (N) et Moment (Nm) suivant trois axes.
4. Mélanger les deux “torseurs” pour l’encastrement : le résumé dit que torseur cinématique et torseur des actions mécaniques sont donnés en tout point de l’espace.
5. Se tromper sur les conditions “en tout point” vs “en tout point de l’axe” :
   • glissière : “en tout point de l’espace”
   • pivot / pivot glissant : “en tout point de l’axe de rotation”.
6. Confondre les paramètres $\theta_x$ et $\omega_x$ dans les liaisons :
   • glissière : rotation autour de x = $\theta_x$
   • pivot : rotation autour de x = $\omega_x$
   • pivot glissant : rotation autour de x = $\omega_x$ + composante supplémentaire $\theta_x$.
7. Pour l’hyperstaticité, confondre “nombre d’inconnues” avec “nombre d’équations du PFS” : le résumé définit le degré comme différence entre blocages générés et équations disponibles avec le PFS.

✅ Checklist Examen

1. Pour une liaison donnée, identifier les actions transmissibles : Force (N) et Moment (Nm), suivant trois axes.
2. Définir correctement le bras de levier $d$ : distance depuis A, perpendiculaire à la droite d’action.
3. Calculer un moment à partir d’une force connue : vérifier que $M = F \cdot d$.
4. Déterminer le signe du moment en utilisant la règle de la main droite autour de l’axe considéré.
5. Savoir ce qu’est un torseur des actions mécaniques (torseur associé aux actions mécaniques, avec composantes translation/rotation pour une liaison normalisée).
6. Pour l’encastrement, rappeler que torseur cinématique et torseur des actions mécaniques sont donnés en tout point de l’espace.
7. Pour la liaison glissière de direction x, vérifier : translation X = 1, autres translations = 0 ; rotation autour x