Fiche de révision : Principes fondamentaux de la statique mécanique

📋 Plan du Cours

1. Actions transmissibles dans une liaison : forces et moments
2. Liaisons normalisées : caractéristiques cinématiques et mécaniques des 11 types usuels
3. Étapes de la modélisation des actions mécaniques en statique
4. Actions réciproques et transport des moments en statique
5. Équilibre d’un système biarticulé et colinéarité des forces aux articulations
6. Degré d’hyperstaticité d’un système en 3D et 2D : définition, conséquences et exemples de torseurs

📖 1. Actions transmissibles dans une liaison : forces et moments

🔑 Notions clés & Définitions

• Règle de la main droite : Règle utilisée pour déterminer le signe du moment.

📝 Points essentiels

• Si le bras de levier d est connu (distance perpendiculaire à la droite d’action de la force), la valeur du moment est égale au produit de la force par le bras de levier.
• Le moment agit autour d’un axe passant par le point A et perpendiculaire au plan concerné.

💡 À retenir

Pour analyser une liaison, on décompose l’action en une force (N) et un moment (Nm), puis on relie la valeur du moment au produit F×d lorsque le bras de levier d est connu, en déterminant le signe avec la règle de la main droite.

📖 2. Liaisons normalisées : caractéristiques cinématiques et mécaniques des 11 types usuels

🔑 Notions clés & Définitions

• Torseur des actions mécaniques : Torseur associé à la liaison qui exprime les actions transmissibles en translation et en rotation (en tout point de l’espace ou en tout point de l’axe/du plan selon le cas).

📝 Points essentiels

• Pour une liaison normalisée, les actions transmissibles sont données suivant les trois axes sous forme de composantes de force (N) et de composantes de moment (Nm).

💡 À retenir

Pour chaque liaison normalisée, le torseur cinématique indique ce qui est autorisé ou bloqué en translation et en rotation (en tout point de l’espace ou de l’axe/du plan), tandis que le torseur des actions mécaniques donne les actions transmissibles en composantes de force (N) et de moment (Nm) suivant les trois axes.

📖 3. Étapes de la modélisation des actions mécaniques en statique

🔑 Notions clés & Définitions

💡 À retenir

Pour modéliser un problème réel en statique, on construit le graphe de structure (liaisons + actions mécaniques extérieures), on isole le système, on dresse le bilan des forces, puis on applique le PFS.

📖 4. Actions réciproques et transport des moments en statique

🔑 Notions clés & Définitions

• Transport des moments : Notion de transport utilisée dans l’étude statique pour relier des moments entre deux points, notamment pour exprimer les moments au point A à partir d’actions définies ailleurs.

📝 Points essentiels

• Principe du transport des moments : les efforts en A sont reliés aux efforts au point I par une relation de transport.
• Le transport des moments permet d’exprimer les moments au point A à partir des efforts définis ailleurs (notamment au point I).

💡 À retenir

Les actions réciproques relient les actions entre deux solides en contact à l’équilibre, au point I quelconque de l’espace. Le transport des moments sert à relier les moments entre points pour exprimer ceux au point A à partir d’actions définies ailleurs.

📖 5. Équilibre d’un système biarticulé et colinéarité des forces aux articulations

📝 Points essentiels

• Si un solide (ou un système de solides) biarticulé est à l’équilibre et n’est chargé qu’à ses deux articulations, seules deux possibilités existent pour assurer son équilibre.
• Dans ce cas, les forces exercées par le reste du système sur (s) sont nécessairement colinéaires, portées par la droite reliant les deux articulations.
• Les forces aux articulations sont de sens opposé et de norme égale.
• Les deux possibilités d’équilibre sont : le solide est « tendu » ou « comprimé ».
• Principe : si un solide (ou système de solides) biarticulé est à l’équilibre et n’est chargé qu’à ses deux articulations, alors les forces exercées par le reste du système sur ce solide sont nécessairement colinéaires.

💡 À retenir

Pour un système biarticulé chargé uniquement à ses deux articulations, l’équilibre impose des forces colinéaires portées par la droite reliant les articulations, de sens opposés et de même norme, correspondant à un état « tendu » ou « comprimé ».

📖 6. Degré d’hyperstaticité d’un système en 3D et 2D : définition, conséquences et exemples de torseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré d’hyperstaticité d’un système : Grandeur notée d° obtenue en comparant le nombre total de blocages générés par les liaisons au nombre d’équations du PFS en 3D (6) ou en 2D (3), avec d° = nombre total de blocages − 6 en 3D.
• Mécanisme : Structure pour laquelle d° < 0, pour laquelle l’équilibre est impossible.

📝 Points essentiels

• En 3D, le PFS fournit 6 équations : 3 traduisant la nullité des efforts suivant les 3 axes et 3 traduisant la nullité des moments autour des 3 axes.
• En 3D, le degré d’hyperstaticité se calcule par d° = nombre total de blocages − 6.
• Exemple en 3D : 1 encastrement correspond à 6 inconnues (3 moments et 3 forces).
• Exemple en 3D : 1 appui simple correspond à 1 inconnue (1 force).
• Exemple en 3D : 1 articulation correspond à 3 inconnues (3 forces).
• Des méthodes existent (hors cadre de ce cours).

💡 À retenir

En 3D, le PFS fournit 6 équations : 3 traduisant la nullité des efforts suivant les 3 axes et 3 traduisant la nullité des moments autour des 3 axes.

🧩 Compléments de couverture

1. Le moment peut être calculé comme « le produit de cette force par le bras de levier », lorsque le bras de levier d est connu.
2. Le moment est associé à un axe « passant par A et perpendiculaire au plan concerné ».
3. Liaison pivot d’axe (A, x) : le torseur cinématique est donné « En tout point de l’axe de rotation » avec une rotation autorisée autour de x (rotation « 𝜔x ») et des translations nulles (X 0, Y 0, Z 0).
4. Liaison hélicoïdale d’axe (A, x) : le pas p intervient via « Avec 𝐿 = 𝑝 2𝜋 𝑋 » et « p c’est le pas de vis (à droite +p et à gauche -p ».
5. Liaison sphère-cylindre de centre A et d’axe (A, x) : au « centre de la liaison », le torseur cinématique comporte « X 1 1 Y 0 1 Z 0 1 » et des rotations « 𝜔𝑥 𝜗𝑥 𝜔𝑦 0 𝜔𝑧 0 ».
6. SASSI Statique 2 Caractéristiques d’une liaison Pour chaque liaison, on donnera Les actions transmissibles suivant les trois axes : Force (N) : Interaction entre deux objets ou systèmes.

📊 Tableaux de Synthèse

Actions transmissibles : force vs moment

Hyperstaticité : 3D vs équations du PFS

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre le bras de levier d avec une distance quelconque : le moment vaut F×d seulement lorsque le bras de levier d est connu (distance perpendiculaire à la droite d’action de la force).
2. Oublier que le signe du moment se détermine avec la règle de la main droite.
3. Penser que le moment agit autour d’un axe quelconque : il agit autour d’un axe passant par A et perpendiculaire au plan concerné.
4. Confondre torseur cinématique et torseur des actions mécaniques : le premier indique ce qui est autorisé/bloqué, le second donne les actions transmissibles (forces et moments) suivant les trois axes.
5. Croire qu’un système biarticulé à l’équilibre chargé uniquement à ses deux articulations peut avoir des forces non colinéaires : elles sont nécessairement colinéaires, portées par la droite reliant les deux articulations.
6. Inverser les caractéristiques des forces aux articulations : elles sont de sens opposé et de norme égale.
7. Se tromper sur le PFS en 3D : il fournit 6 équations (3 efforts + 3 moments), pas seulement 3.

✅ Checklist Examen

1. Construire le graphe de structure (liaisons + actions mécaniques extérieures).
2. Isoler le système étudié.
3. Dresser le bilan des forces.
4. Appliquer le PFS.
5. Décomposer l’action dans une liaison en une force (N) et un moment (Nm).
6. Si le bras de levier d est connu, calculer le moment par le produit F×d.
7. Déterminer le signe du moment avec la règle de la main droite.
8. Vérifier que le moment est associé à un axe passant par A et perpendiculaire au plan concerné.
9. Pour une liaison normalisée, distinguer torseur cinématique (autorisé/bloqué) et torseur des actions mécaniques (composantes N et Nm suivant les trois axes).
10. Pour un système biarticulé à l’équilibre chargé uniquement à ses deux articulations, vérifier la colinéarité des forces portées par la droite reliant les articulations, de sens opposé et de même norme.
11. En 3D, utiliser 6 équations du PFS : 3 nullité des efforts suivant les 3 axes et 3 nullité des moments autour des 3 axes.
12. Calculer le degré d’hyperstaticité en 3D par d° = nombre total de blocages − 6 (et en 2D par d° = nombre total de blocages − 3).