Variables Aléatoires Continues et Lois Essentielles

1. 📌 L'essentiel

• Variable aléatoire continue : application mesurable X : Ω → R, avec préimages dans A.
• Loi d’une variable : PX(B) = P(X⁻¹(B)), image de la probabilité.
• Fonction departition FX(x) = P(X ≤ x) : croissante, limite 0 à -∞, 1 à +∞, continue à droite.
• Loi uniforme U([a, b]) : densité f(x) = 1/(b−a) Ia,b, E = (a + b)/2, = (b−a)²/12.
• Loi exponentielle E(λ) : densité f(x) = λ e^{−λx} I[0,+∞), E = 1/λ, V = 1/λ².
• Loi normale N(μ, σ²) : densité f(x) = (1/σ√2π) e^{−(x−μ)²/2σ²}, E = μ, V = σ².
• Loi normale standard N(0,1) : densité ϕ(x), fonction de répartition Φ(x).
• Moments : E(X^m) = ∫ x^m fX(x) dx, existence selon l’intégrabilité.
• Variance : V(X) = E((X−E(X))²) ≥ 0, écarts-types σ(X) = √V(X).
• Indépendance : X et Y si P(X ∈ B, Y ∈ B′) = P(X ∈ B) P(Y ∈ B′).
• Transformation affine : si X ∼ N(μ, σ²), alors aX + b ∼ N(aμ + b, (aσ)²).

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