Fiche de révision : Analyse des Inégalités : Indicateurs et Méthodes

📋 Plan du Cours

1. Propriétés des indicateurs
2. Mesures de dispersion
3. Courbe de Lorenz et Gini
4. Indices de classe entropie
5. Mesures basées sur quantiles
6. Inégalités non monétaires

📖 1. Propriétés des indicateurs

🔑 Notions clés & Définitions

Propriétés des indicateurs d’inégalité : Ensemble de critères que doivent respecter les mesures d’inégalité pour être considérées comme cohérentes et fiables, notamment l’axiomatique de l’inégalité.

Axiome de normalisation : La propriété selon laquelle, en situation d’égalité parfaite (tous les individus ont le même revenu ou la même valeur de la variable étudiée), la mesure d’inégalité doit prendre la valeur 0.

Axiome de symétrie : La propriété qui stipule que la mesure d’inégalité doit rester inchangée si la distribution est répliquée ou permutée, c’est-à-dire que l’ordre des individus n’affecte pas la valeur de l’indicateur.

Transfert de Pigou-Dalton : Principe selon lequel tout transfert d’une personne riche vers une personne moins riche doit diminuer l’inégalité, tant que l’ordre de richesse n’est pas inversé.

Invariance à l’échelle : La propriété selon laquelle la valeur d’un indicateur d’inégalité doit être indépendante de l’échelle de mesure (multiplication par une constante positive), mais pas nécessairement de la translation.

Décomposabilité par groupes : La capacité d’un indicateur d’inégalité à être exprimé comme une somme pondérée d’inégalités intragroupes et intergroupes, permettant une analyse segmentée.

📝 Points essentiels

• Les propriétés sont issues de l’axiomatique de l’inégalité, qui formalise ce que doit respecter une mesure pour être cohérente.
• L’axiome de normalisation garantit que l’inégalité est nulle en cas d’égalité parfaite.
• La symétrie implique que l’indicateur ne doit pas dépendre de l’ordre ou de la permutation des individus dans la distribution.
• Le transfert de Pigou-Dalton impose que tout transfert de richesse du plus riche vers le moins riche doit réduire l’inégalité.
• L’invariance à l’échelle assure que la mesure ne change pas si tous les revenus ou valeurs sont multipliés par une constante positive.
• La décomposabilité par groupes permet d’analyser l’inégalité à différents niveaux (par exemple, par région ou par catégorie socio-professionnelle).

💡 À retenir

Les propriétés des indicateurs d’inégalité assurent leur cohérence et leur capacité à refléter fidèlement la distribution, notamment via la normalisation, la symétrie, le principe de transfert, l’invariance à l’échelle et la décomposabilité par groupes.

📖 2. Mesures de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

Variance : (Source : 2.1) La variance est une mesure de dispersion qui évalue le degré de dispersion d’une variable autour de sa moyenne. Plus la variance est élevée, plus la distribution est dispersée. Elle est calculée par la formule :
$V_X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$

Écart-type : (Source : 2.1) L’écart-type est la racine carrée de la variance. Il s’exprime dans la même unité que la variable étudiée, permettant une lecture plus intuitive de la dispersion :
$\sigma = \sqrt{V_X}$

Coefficient de variation : (Source : 2.1) Indicateur relatif de dispersion, il est défini comme le rapport de l’écart-type à la moyenne, sans dimension :
$CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$
Il permet de comparer la dispersion de différentes distributions indépendamment de leur unité ou échelle.

Mesure de dispersion : (Source : 2.1) Ensemble des indicateurs (variance, écart-type, coefficient de variation) permettant d’évaluer la dispersion ou la variabilité d’une variable au sein d’une distribution.

Décomposition de la variance par groupes : (Source : 2.2) Technique permettant de diviser la variance totale en deux composantes :

• La variance intragroupe (dispersion au sein des sous-groupes)
• La variance intergroupe (dispersion entre les moyennes des sous-groupes)
  Elle sert à analyser la contribution relative de chaque niveau à la dispersion globale.

📝 Points essentiels

• La variance et l’écart-type vérifient les propriétés de normalisation, d’asymétrie, de transfert, mais sont invariantes par translation, ce qui signifie qu’elles sont des mesures absolues d’inégalité.
• La variance est sensible à l’échelle, ce qui peut poser problème lors de comparaisons entre distributions de différentes unités ou moyennes.
• Le coefficient de variation est une mesure relative, indépendante de l’échelle, permettant une comparaison pertinente entre distributions.
• La décomposition de la variance par groupes permet d’identifier la part de dispersion due à la variation au sein des sous-groupes versus celle due à la différence entre groupes.

💡 À retenir

La variance et l’écart-type mesurent la dispersion absolue d’une variable, mais le coefficient de variation offre une mesure relative, plus adaptée pour comparer des distributions de natures ou unités différentes. La décomposition de la variance par groupes permet d’analyser la contribution de chaque niveau à l’inégalité totale.

📖 3. Courbe de Lorenz et Gini

🔑 Notions clés & Définitions

Courbe de Lorenz : Outil graphique représentant la distribution du revenu ou d’une autre variable au sein d’une population. Elle trace la relation entre la proportion cumulée de la population (abscisses) et la part cumulée du revenu détenu par cette proportion (ordonnées). La courbe commence à (0,0) et finit à (1,1). Elle permet de visualiser l’inégalité de la distribution.

Part du revenu détenue par une proportion de la population : Représente graphiquement la part du revenu total que possède une certaine proportion (p) de la population, en classant cette population par ordre croissant de revenu. Sur la courbe de Lorenz, c’est la valeur L(p), qui indique la part du revenu détenue par les p% les plus pauvres.

Test de dominance entre distributions : Méthode graphique permettant de comparer deux distributions à partir de leurs courbes de Lorenz. Si la courbe de Lorenz d’une distribution B est en-dessous de celle d’une distribution A pour tout p, alors B domine A, ce qui signifie que B présente une inégalité plus forte. En cas d’intersection, il n’y a pas de dominance claire.

Inégalité représentée graphiquement : La courbe de Lorenz illustre visuellement le degré d’inégalité. Plus la courbe s’éloigne de la diagonale d’égalité parfaite (ligne 45°), plus l’inégalité est grande. La distance entre la courbe et la diagonale est une mesure visuelle de l’inégalité.

📝 Points essentiels

• La courbe de Lorenz permet une analyse graphique de l’inégalité en classant la population par ordre croissant de revenu.
• La part du revenu détenue par une proportion p de la population est donnée par L(p).
• La dominance entre deux distributions se vérifie si la courbe de Lorenz d’une distribution est en-dessous de l’autre pour tout p, ce qui indique une inégalité plus marquée.
• La courbe fournit plus d’informations que les indices synthétiques, en permettant des comparaisons visuelles et des tests de dominance.
• La position relative de deux courbes de Lorenz indique la hiérarchie des inégalités entre deux distributions.

💡 À retenir

La courbe de Lorenz est un outil graphique essentiel pour visualiser et comparer l’inégalité de distributions, permettant d’évaluer la dominance et de mieux comprendre la répartition des revenus ou autres variables.

📖 4. Indices de classe entropie

🔑 Notions clés & Définitions

Indice de Gini
AUTEUR (date) : mesure d’inégalité qui découle de la courbe de Lorenz, calculée comme l’aire de concentration (ORP) divisé par l’aire totale (OPQ). En formule, il peut aussi s’exprimer en termes de covariance ou d’écarts absolus entre revenus. Il prend une valeur entre 0 (égalité parfaite) et 1 (inégalité maximale). Il est décomposable par sources de revenu mais pas par groupes.

Aire de concentration
AUTEUR (date) : aire située entre la courbe de Lorenz et la ligne d’égalité parfaite, utilisée pour calculer l’indice de Gini. La différence entre l’aire maximale (0,5) et l’aire sous la courbe de Lorenz constitue cette aire.

Inégalité maximale (Gini=1)
AUTEUR (date) : situation où une seule personne détient tout le revenu, ce qui correspond à un indice de Gini égal à 1.

Propriétés de normalisation
AUTEUR (date) : propriété selon laquelle la mesure d’inégalité doit prendre la valeur 0 en situation d’égalité parfaite. Elle garantit que l’indicateur est borné entre 0 et 1.

Propriétés de symétrie
AUTEUR (date) : propriété selon laquelle la mesure d’inégalité reste inchangée si l’on inverse la distribution (par exemple, échange des revenus entre deux individus). Elle assure que la mesure ne dépend pas de l’ordre des individus.

Invariance à l’échelle
AUTEUR (date) : propriété selon laquelle la mesure d’inégalité ne doit pas changer si tous les revenus sont multipliés par une constante positive. Elle garantit que la mesure est relative, indépendante de l’unité de mesure.

Transfert
AUTEUR (date) : principe selon lequel un transfert de revenu d’un individu plus riche à un individu plus pauvre doit réduire l’inégalité. Il s’agit d’un axiome essentiel pour la cohérence des mesures d’inégalité.

Décomposabilité par sources
AUTEUR (date) : propriété selon laquelle l’indice d’inégalité peut être décomposé en contributions des différentes sources de revenu (travail, patrimoine, transferts, etc.), permettant d’analyser leur impact respectif sur l’inégalité totale.

📝 Points essentiels

• L’indice de Gini est basé sur la courbe de Lorenz, représentant la part du revenu détenue par une proportion de la population.
• La formule du Gini peut être exprimée via la covariance ou les écarts absolus entre revenus.
• Il respecte les propriétés de normalisation, symétrie, invariance à l’échelle et transfert.
• Il n’est pas décomposable par groupes, mais l’est par sources de revenu.
• L’aire de concentration est essentielle pour le calcul de l’indice, avec une valeur maximale de 0,5 pour une inégalité totale.

💡 À retenir

L’indice de Gini est une mesure d’inégalité largement utilisée, basée sur la courbe de Lorenz, qui possède des propriétés fondamentales telles que la normalisation, la symétrie, et l’invariance à l’échelle, tout en permettant une décomposition par sources de revenu.

📖 5. Mesures basées sur quantiles

🔑 Notions clés & Définitions

Indice de Theil : (non défini explicitement dans le texte), mais il s’agit d’un indice d’entropie d’ordre 1, qui mesure l’inégalité en utilisant une formule logarithmique. Il appartient à la famille des indices d’entropie et est utilisé pour quantifier l’inégalité en tenant compte des différences dans la distribution.

Indice d’entropie : (non défini explicitement dans le texte), il s’agit d’un indice basé sur la formule générale de l’entropie, qui mesure le désordre ou la dispersion dans une distribution. Il dépend d’un paramètre α qui modifie la sensibilité de l’indice aux différentes parties de la distribution.

Indice d’entropie d’ordre 0 (Déviation logarithmique moyenne ou Theil L) : Formule spécifique de l’indice d’entropie, qui utilise la logarithmique moyenne pour mesurer l’inégalité. Il est décomposable par groupes.

Indice d’entropie d’ordre 1 (Indice de Theil ou Theil T) : Variante de l’indice d’entropie, plus sensible aux différences dans la partie centrale de la distribution, également décomposable par groupes.

Indice d’entropie d’ordre 2 : L’indice d’entropie d’ordre 2 est égal à la moitié du coefficient de variation au carré, et il est également une mesure d’inégalité basée sur la dispersion relative.

Propriétés de décomposabilité par groupes : Les indices d’entropie (GE(0) et GE(1)) peuvent être décomposés en une somme de deux composantes : l’inégalité intragroupe et l’inégalité intergroupe, en utilisant la part de la population dans chaque groupe et le rapport des revenus moyens.

Sensibilité aux différentes parties de la distribution : La famille des indices d’entropie, en particulier GE(α), permet d’ajuster la sensibilité de la mesure d’inégalité selon la valeur de α. Pour de faibles α, l’indice est plus sensible aux différences dans le bas de la distribution ; pour de fortes α, il l’est dans le haut de la distribution.

📝 Points essentiels

• La famille des indices d’entropie repose sur une formule générale dépendant d’un paramètre α, permettant d’ajuster la sensibilité à différentes parties de la distribution (GE(α)).
• GE(0) (Theil L) et GE(1) (Theil T) sont décomposables par groupes, ce qui facilite l’analyse de l’inégalité au sein et entre groupes.
• GE(2) correspond à la moitié du carré du coefficient de variation, une mesure relative de dispersion.
• Ces indices respectent plusieurs propriétés axiomatiques, notamment la décomposabilité par groupes, mais ne le sont pas par sources de revenu.
• La décomposition par groupes utilise la part de la population dans chaque groupe et le rapport entre leur revenu moyen et le revenu moyen total.

💡 À retenir

Les indices d’entropie, notamment GE(0) et GE(1), offrent une mesure flexible et décomposable de l’inégalité, permettant d’analyser la contribution des inégalités intragroupes et intergroupes, tout en ajustant la sensibilité selon la partie de la distribution considérée.

📖 6. Inégalités non monétaires

🔑 Notions clés & Définitions

Quantiles : valeurs remarquables d’une variable permettant de segmenter la population en différentes tranches selon l’ordre de la variable étudiée (ex : médiane Q0,5, percentiles, déciles, quartiles, quintiles).

Rapports interquantiles (IQR) : mesure de dispersion basée sur la différence entre deux quantiles d’ordre α et β, généralement entre 0,75 et 0,25 pour le quartile (Q3 - Q1). La formule générale est :
$\text{IQR} = Q_\alpha - Q_\beta$

Quantile share (QS) : part dans le revenu total détenue par un quantile spécifique de la population, calculée à partir de la courbe de Lorenz, notée L(p). Par exemple, L(0,9) représente la part du revenu détenue par les 10% les plus riches.

Quantile share ratio (QSR) : ratio de QS entre deux portions de population de même taille, souvent utilisé pour comparer la part de revenu entre les plus riches et les plus pauvres. Exemple : ratio des 10% les plus riches sur les 10% les plus pauvres, ou le ratio de Palma :
$\text{QSR} = \frac{1 - L(0,9)}{L(0,4)}$

Propriétés des mesures basées sur quantiles :

• Très populaires pour analyser la distribution, notamment pour contourner la sensibilité aux valeurs extrêmes.
• Non sensibles à la présence de valeurs aberrantes dans le haut de la distribution.
• Non respectent certaines propriétés axiomatiques (normalisation, transfert, décomposabilité).
• Utilisées pour comparer la distribution entre les plus riches et les plus pauvres, notamment dans les travaux de Piketty ou Palma.

📝 Points essentiels

• Les quantiles permettent de diviser la population en segments selon l’ordre de la variable (ex : revenu, éducation).
• Les rapports interquantiles (IQR) mesurent la dispersion en se concentrant sur la différence entre deux quantiles, souvent pour évaluer la concentration ou la polarisation.
• Les quantile share (QS) donnent la part du revenu détenue par un groupe spécifique (ex : 10% les plus riches).
• Le quantile share ratio (QSR) compare ces parts entre deux groupes, offrant une mesure relative de l’inégalité.
• Ces mesures sont appréciées pour leur simplicité, leur robustesse face aux valeurs extrêmes, mais présentent des limites en termes de propriétés axiomatiques et de décomposabilité.

💡 À retenir

Les mesures basées sur quantiles, telles que QS et QSR, offrent une approche robuste et intuitive pour analyser les inégalités en se concentrant sur les extrémités de la distribution, tout en étant moins sensibles aux valeurs aberrantes que d’autres indicateurs.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre variance (absolue, sensible à l’échelle) et coefficient de variation (relative, indépendante de l’échelle).
2. Penser que la décomposabilité de la variance s’applique à tous les indicateurs d’inégalité.
3. Confondre la courbe de Lorenz avec la ligne d’égalité parfaite (diagonale 45°).
4. Interpréter une courbe de Lorenz qui croise une autre comme une absence de dominance claire, alors qu’il faut analyser l’ensemble du graphique.
5. Oublier que l’indice de Gini ne peut pas être décomposé par groupes, contrairement à la courbe de Lorenz.
6. Confondre invariance à l’échelle (variance) avec invariance à la translation (variance, écart-type).
7. Croire que le transfert de Pigou-Dalton augmente l’inégalité, alors qu’il la diminue.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition et les propriétés des indicateurs d’inégalité selon l’axiomatique (normalisation, symétrie, transfert de Pigou-Dalton, invariance à l’échelle, décomposabilité).
2. Savoir que la variance et l’écart-type sont des mesures absolues, invariantes par translation mais sensibles à l’échelle.
3. Maîtriser la formule du coefficient de variation et son intérêt pour comparer des distributions de natures différentes.
4. Comprendre le principe de la décomposition de la variance par groupes (Source 2.2).
5. Savoir représenter graphiquement la courbe de Lorenz et interpréter la position relative de deux courbes.
6. Connaître la définition de la part du revenu détenue par une proportion de la population sur la courbe de Lorenz.
7. Savoir qu’une courbe de Lorenz en-dessous de la diagonale indique une inégalité plus forte.
8. Comprendre le concept de dominance entre deux distributions via la courbe de Lorenz.
9. Connaître la formule de l’indice de Gini et sa relation avec la courbe de Lorenz.
10. Savoir que l’indice de Gini varie entre 0 (égalité parfaite) et 1 (inégalité maximale).
11. Connaître l’intérêt de la décomposabilité de la courbe de Lorenz pour analyser les inégalités par groupes ou sources.
12. Maîtriser la différence entre mesures graphiques (Lorenz) et indices synthétiques (Gini).