Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Probabilité conditionnelle et produit
2. Arbres pondérés et probabilités totales
3. Indépendance des événements

📖 1. Probabilité conditionnelle et produit

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle $P_A(B)$ mesure la chance que $B$ se produise sachant que $A$ est déjà réalisé.
• Produit des probabilités : Le produit $P(A)\times P_A(B)$ exprime la probabilité d’avoir $A$ puis $B$ sous l’information $A$.

📝 Points essentiels

• Pour $P(A)>0$, on a $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
• On obtient aussi $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.
• $P(A\cap B)$ représente la probabilité que $A$ et $B$ arrivent ensemble.

💡 Astuce mémo

Pensée “sachant $A$” : fraction pour $P_A(B)$ puis produit $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.

📖 2. Arbres pondérés et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Un arbre pondéré organise des choix successifs et associe à chaque branche une probabilité à multiplier.
• Probabilités totales : Les probabilités totales décomposent un événement selon un découpage avec $A$ et le complément $\overline{A}$.
• Complémentaire $\overline{A}$ : Le complémentaire $\overline{A}$ est l’événement “non $A$”, utilisé pour partitionner l’univers avec $A$.

📝 Points essentiels

• Dans un arbre pondéré, on calcule une probabilité de chemin en multipliant les probabilités sur les branches.
• La décomposition donne $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$.
• Le tableau croise $A$ et $B$ pour retrouver la répartition des probabilités totales (sommes de lignes/colonne).

💡 Astuce mémo

Décomposition : $B$ se fait soit par $A$, soit par $\overline{A}$.

📖 3. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : L’indépendance décrit le cas où connaître $A$ ne modifie pas la probabilité de $B$.
• Événements indépendants : Deux événements sont indépendants lorsque la probabilité de leur intersection se factorise.

📝 Points essentiels

• $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
• Cette condition équivaut aussi à $P_A(B)=P(B)$.
• Quand les événements sont indépendants, l’égalité “intersection = produit” remplace le calcul avec la condition.

💡 Astuce mémo

Si indépendant : “intersection = produit” et “condition = pas d’effet” donc $P_A(B)=P(B)$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $P_A(B)$ avec $P(B)$ : $P_A(B)$ correspond à $B$ sachant $A$, pas la probabilité sans condition.
2. Oublier la condition de définition $P(A)>0$ pour utiliser $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
3. Multiplier sur un arbre sans respecter les bonnes probabilités de branches (par exemple utiliser une condition à la place d’une probabilité simple).
4. Se tromper de découpage dans les probabilités totales : remplacer $P(B)$ par une somme d’événements qui ne partitionnent pas correctement selon $A$ et $\overline{A}$.
5. Prendre l’équivalence d’indépendance partielle : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ et $P_A(B)=P(B)$ doivent être utilisés comme équivalences complètes.
6. Croire que l’indépendance se lit sur $P(B)=P(A\cap B)$ ; l’égalité correcte fait intervenir $P(A)$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir $P_A(B)$ et l’écrire sous forme de fraction $\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
2. Savoir transformer $P(A\cap B)$ en $P(A)\times P_A(B)$.
3. Savoir utiliser un arbre pondéré : probabilité de chemin obtenue en multipliant les probabilités des branches.
4. Savoir appliquer la formule des probabilités totales $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$.
5. Savoir lire le tableau de contingence : les sommes de lignes donnent $P(A)$ et $P(\overline{A})$, et les sommes de colonnes donnent $P(B)$ et $P(\overline{B})$.
6. Savoir reconnaître l’indépendance avec $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
7. Savoir utiliser l’autre caractérisation $P_A(B)=P(B)$ pour vérifier l’indépendance.
8. Savoir conclure sur l’effet de la connaissance de $A$ : si indépendants alors $A$ ne change pas la probabilité de $B$.