QCM : Arithmétique dans Z — 29 questions

Explication

La divisibilité signifie que $a$ s’écrit comme un multiple entier de $b$, sous la forme $a=kb$. L’égalité $b=ka$ décrit une relation différente et ne caractérise pas nécessairement la divisibilité de $a$ par $b$.

Explication

Toute combinaison linéaire entière de deux multiples de $a$ reste un multiple de $a$. En revanche, la divisibilité de la combinaison par $a$ ne signifie pas que cette combinaison divise $a$.

Explication

La division euclidienne impose une écriture $a=bq+r$ dans laquelle le reste vérifie $0\le r<b$. Le reste peut donc être nul, et il est inférieur au diviseur.

Explication

Un reste de division par $b$ appartient à l’ensemble des entiers compris entre $0$ et $b-1$. La valeur $0$ est admise lorsque le dividende est divisible par $b$.

Explication

Le PGCD est le plus grand entier qui divise à la fois $a$ et $b$. Le plus petit multiple commun correspond au PPCM, qui est une notion différente.

Explication

Le PGCD est conservé lorsqu’on remplace le couple $(a,b)$ par $(b,r)$, où $r$ est le reste de la division de $a$ par $b$. Les nombres du couple changent donc, mais leur PGCD reste identique.

Explication

L’algorithme d’Euclide remplace successivement le dividende par le diviseur précédent et le diviseur par le reste précédent, jusqu’à obtenir un reste nul. Les multiples communs servent plutôt à déterminer un PPCM qu’à appliquer cette méthode.

Explication

Deux entiers non nuls sont premiers entre eux lorsque leur plus grand diviseur commun vaut 1. Le fait que leurs valeurs absolues soient des nombres premiers n’est pas requis : par exemple, 6 et 35 sont premiers entre eux sans être tous deux premiers.

Explication

La propriété $PGCD(ka,kb)=kPGCD(a,b)$ donne ici $PGCD(4a,4b)=4\times6=24$. Le facteur 4 multiplie le PGCD initial, au lieu de rester inchangé.

Explication

La congruence modulo $n$ signifie que les deux entiers possèdent le même reste dans la division euclidienne par $n$. Elle ne signifie pas que les entiers eux-mêmes sont égaux.

Explication

Deux entiers sont congrus modulo $n$ si et seulement si leur différence est divisible par $n$, c’est-à-dire si $a-b$ est un multiple de $n$. Cette différence peut être un multiple quelconque de $n$, et pas nécessairement $n$ lui-même.

Explication

La congruence est compatible avec l’élévation à une puissance : de $a\equiv b\ [n]$, on déduit $a^p\equiv b^p\ [n]$ pour tout entier naturel $p$. Les congruences entre $a$ et $c$ ne sont pas données, et le produit s’écrit $ac\equiv bd\ [n]$.

Explication

La méthode consiste à réduire la base, repérer une puissance périodique congrue à 1, réduire l’exposant selon cette période, puis déterminer le reste final. Le développement complet de la puissance est précisément ce que cette méthode permet d’éviter.

Explication

Comme $137=45\times3+2$ et $23^3\equiv1\ [7]$, on obtient $23^{137}\equiv(23^3)^{45}\times23^2\equiv23^2\equiv4\ [7]$. Le reste final est donc 4, et non le reste de l’exposant 137.

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs dans les naturels : 1 et lui-même. Le nombre 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur, tandis que le nombre 2 est le seul nombre premier pair.

Explication

Si $n>2$ n’est pas premier, il possède un diviseur premier $p$ vérifiant $2\leq p\leq\sqrt{n}$. Tester des nombres jusqu’à $n-1$ serait inutilement large, tandis que les autres intervalles ne garantissent pas la détection d’un diviseur.

Explication

Il existe une infinité de nombres premiers, quelle que soit la quantité déjà recensée. L’affirmation sur les nombres impairs est fausse puisque $2$ est premier et pair.

Explication

Le PPCM est le plus petit multiple strictement positif qui soit commun à $a$ et $b$. Le plus grand diviseur commun correspond au PGCD, ce qui constitue la confusion classique entre les deux notions.

Explication

Le PPCM utilise tous les facteurs premiers apparaissant dans les deux décompositions, chacun avec son plus grand exposant. Les plus petits exposants des facteurs communs servent au calcul du PGCD.

Explication

Le produit de deux entiers naturels non nuls est égal au produit de leur PGCD par leur PPCM. Une somme, une différence ou un quotient de ces deux nombres ne donne pas cette identité générale.

Explication

L’identité de Bézout affirme qu’il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ vérifiant $au+bv=d$, où $d$ est le PGCD de $a$ et $b$. Le couple de coefficients n’est généralement pas unique, et la valeur $1$ n’est obtenue que lorsque les deux nombres sont premiers entre eux.

Explication

Deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD vaut $1$, ce qui équivaut à l’existence d’une combinaison entière $au+bv=1$. Une relation donnant le PGCD vaut pour tout couple d’entiers, tandis que les autres conditions ne caractérisent pas cette propriété.

Explication

L’équation $ax+by=c$ possède des solutions entières si et seulement si $c$ est un multiple du $PGCD(a,b)$. Le PPCM ne fournit pas le critère de résolution, et la simple comparaison ou divisibilité indiquée dans les autres propositions ne suffit pas.

Explication

Le lemme de Gauss affirme que la divisibilité de $bc$ par $a$, combinée à la coprimalité de $a$ et $b$, entraîne que $a$ divise $c$. La coprimalité entre $a$ et $c$ ne découle pas de ces hypothèses.

Explication

Un nombre premier qui divise un produit doit diviser au moins l’un des deux facteurs. La divisibilité de $ab$ par $p$ ne fournit pas d’information directe sur $a+b$ ni sur la puissance $p^2$.

Explication

Une équation diophantienne linéaire possède des coefficients entiers et l’on recherche des valeurs entières de $x$ et $y$. Une résolution dans les réels ne respecte pas nécessairement cette contrainte d’intégralité.

Explication

La résolution commence par la vérification de la condition $\operatorname{pgcd}(a,b)\mid c$, avant la recherche d’une solution particulière et la description générale avec un entier $k$. Les autres démarches ne donnent pas la procédure générale des équations diophantiennes.

Explication

Lorsque $a$ n’est pas divisible par le nombre premier $p$, le petit théorème de Fermat affirme que $a^{p-1}$ est congru à $1$ modulo $p$. La congruence $a^p\equiv a\ [p]$ constitue une autre forme du théorème, valable sans cette condition sur $a$.

Explication

La forme générale du petit théorème de Fermat donne $a^p\equiv a\ [p]$ pour tout entier $a$. En revanche, la congruence $a^{p-1}\equiv1\ [p]$ exige que $a$ ne soit pas divisible par $p$.