Fiche de révision : Calcul et outils mathématiques PTSI

📋 Plan du Cours

1. Méthode de travail en calcul
2. Nombres fractions et encadrements
3. Puissances et calcul littéral
4. Valeur absolue racines et trinômes
5. Exponentielle et logarithme
6. Trigonométrie fondamentale
7. Dérivation et primitives
8. Suites et raisonnement par récurrence
9. Limites et comportements asymptotiques
10. Géométrie analytique plane et spatiale

📖 1. Méthode de travail en calcul

★ À maîtriser

📌 Les exercices sont conçus pour être réalisés sans calculatrice, car la calculatrice est interdite dans les devoirs de mathématiques.

Compléments

📌 Le cahier doit être travaillé régulièrement, idéalement un peu chaque jour, afin d’acquérir des automatismes de calcul.

• Les rappels de cours portent sur les fonctions cosinus, sinus, exponentielle et logarithme népérien, ainsi que sur les suites arithmétiques et géométriques.

💡 Astuce mémo

Régularité → automatismes → maîtrise sans calculatrice

📖 2. Nombres fractions et encadrements

📝 Points essentiels

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la chaîne $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$, où les décimaux ont une écriture décimale finie et les rationnels s’écrivent comme un quotient d’entiers.

📌 Pour encadrer une expression affine, on utilise les bornes des variables en tenant compte du signe du coefficient de chacune.

• Pour calculer avec des fractions, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs, on transforme une division en multiplication par l’inverse, puis on réduit la fraction obtenue.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R : du discret au continu

📖 3. Puissances et calcul littéral

★ À maîtriser

📌 Les identités remarquables permettent de développer ou factoriser des expressions, notamment $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

📐 Formule — Les puissances d’une même base vérifient $a^m\times a^n=a^{m+n}$ et $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ lorsque les expressions sont définies.

• 🔄 La factorisation se recherche dans cet ordre:
  1. Facteur commun
  2. Identité remarquable
  3. Regroupement de termes

Compléments

📐 Formule — Pour tout entier relatif n, une puissance d’un produit vérifie $(ab)^n=a^n b^n$ et une puissance d’une puissance vérifie $(a^m)^n=a^{mn}$ lorsque les expressions sont définies.

📖 4. Valeur absolue racines et trinômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Distance à zéro et vérifie $|x|=x$ si $x\geq0$ et $|x|=-x$ si $x<0$.

📝 Points essentiels

📌 Une inégalité de la forme $|x-a|\leq r$ avec $r\geq0$ équivaut à $a-r\leq x\leq a+r$.

📌 Pour tout réel x, $\sqrt{x^2}=|x|$ et non nécessairement x.

📐 Formule — Si un trinôme $ax^2+bx+c$ possède les racines α et β avec $a\neq0$, alors $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ et $\alpha\beta=\frac{c}{a}$.

📌 Pour résoudre une inéquation du second degré, on étudie le signe du trinôme à partir de ses racines et du signe de son coefficient dominant.

💡 Astuce mémo

Valeur absolue = distance ; racine carrée = nombre positif

📖 5. Exponentielle et logarithme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est l’unique fonction définie et dérivable sur R, égale à sa dérivée et vérifiant $\exp(0)=1$.
• Logarithme népérien : Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle, définie sur $\mathbb{R}_+^*$, et vérifiant $\ln(e^x)=x$ et $e^{\ln x}=x$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tous réels a et b et tout entier n, l’exponentielle vérifie $e^{a+b}=e^ae^b$, $e^{-a}=\frac1{e^a}$ et $e^{na}=(e^a)^n$.

📐 Formule — Pour a et b strictement positifs et tout entier n, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$, $\ln\left(\frac ab\right)=\ln(a)-\ln(b)$ et $\ln(a^n)=n\ln(a)$.

Compléments

📌 La fonction exponentielle est strictement croissante et strictement positive sur R, tandis que le logarithme est strictement croissant sur $\mathbb{R}_+^*$ et négatif sur $]0{,}1]$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle et logarithme sont réciproques → leurs propriétés se répondent

📖 6. Trigonométrie fondamentale

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction cosinus : La fonction cosinus est définie sur R, paire, 2π-périodique, dérivable et vérifie $\cos'(x)=-\sin(x)$.
• Fonction sinus : La fonction sinus est définie sur R, impaire, 2π-périodique, dérivable et vérifie $\sin'(x)=\cos(x)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une fonction dérivable u, la dérivation des fonctions composées donne $\cos'(u)=-u'\sin(u)$ et $\sin'(u)=u'\cos(u)$.

📌 Pour résoudre une équation trigonométrique sur un intervalle, on utilise les valeurs remarquables, la périodicité et les variations de sinus ou de cosinus, puis on ne conserve que les solutions de l’intervalle donné.

📖 7. Dérivation et primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Fonction dérivable sur I telle que $F'=f$ sur I.

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée d’un produit vérifie $(uv)'=u'v+uv'$ et celle d’un quotient vérifie $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ lorsque v ne s’annule pas.

📐 Formule — Pour une fonction dérivable u, on a $(e^u)'=u'e^u$ et $(\ln u)'=\frac{u'}u$ lorsque u est strictement positive.

📐 Formule — Le théorème fondamental du calcul donne $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ lorsqu’une primitive F de f est connue.

Compléments

• Une intégration par parties transforme une intégrale de produit selon la relation $\int u v'=uv-\int u'v$.

💡 Astuce mémo

Dériver décrit la variation ; intégrer reconstruit une fonction

📖 8. Suites et raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique s’il existe une raison r telle que $u_{n+1}=u_n+r$, et son terme général est $u_n=u_0+nr$.
• Suite géométrique : Une suite est géométrique s’il existe une raison q telle que $u_{n+1}=qu_n$, et son terme général est $u_n=u_0q^n$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La somme des n+1 premiers termes d’une suite arithmétique vérifie $S_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}2$.

📐 Formule — Si q≠1, la somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique vérifie $S_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

• Une démonstration par récurrence comporte une initialisation, une hérédité et une conclusion.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 9. Limites et comportements asymptotiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote verticale : Si $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$, alors la droite d’équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe.
• Asymptote horizontale : Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ ou $\lim_{x\to-\infty}f(x)=\ell$, alors la droite d’équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale dans la direction correspondante.

★ À maîtriser

📌 Une suite arithmétique de raison r est constante si r=0, croissante et tend vers +∞ si r>0, ou décroissante et tend vers −∞ si r<0.

📌 Pour une suite géométrique de raison q, la suite q^n tend vers 0 si −1<q<1, vers +∞ si q>1, vers 1 si q=1 et n’a pas de limite si q≤−1.

Compléments

• Les croissances comparées essentielles sont $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ et $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$.

💡 Astuce mémo

Limite finie → asymptote horizontale ; limite infinie près de a → asymptote verticale

📖 10. Géométrie analytique plane et spatiale

★ À maîtriser

• Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs de coordonnées (x,y) et (x',y') vaut $xx'+yy'$ dans le plan, et $xx'+yy'+zz'$ dans l’espace.

📌 Une droite d’équation cartésienne ax+by+c=0 admet le vecteur (a,b) comme vecteur normal dans le plan.

📐 Formule — La distance du point A(x_A,y_A) à la droite ax+by+c=0 vaut $d(A,\mathcal D)=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

📌 Dans l’espace, une droite passant par A et de vecteur directeur u admet une représentation paramétrique de la forme $M=A+tu$ avec t réel.

📌 Un plan d’équation ax+by+cz+d=0 admet le vecteur (a,b,c) comme vecteur normal, et une droite orthogonale à ce plan possède un vecteur directeur colinéaire à ce vecteur normal.

Compléments

• Pour démontrer qu’une droite est tangente à un cercle en un point, on vérifie que le point appartient au cercle et que la droite est perpendiculaire au rayon passant par ce point.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques