QCM : Calcul et outils mathématiques PTSI — 36 questions

Question 1

1. Pourquoi les exercices de calcul sont-ils conçus pour être réalisés sans calculatrice ?

Parce que l’usage d’une calculatrice empêche d’apprendre les formules

Parce que les calculs sont toujours trop simples pour nécessiter un outil

Parce que la calculatrice est interdite dans les devoirs de mathématiques

Parce que les exercices portent uniquement sur des nombres entiers

Explication

Les exercices doivent être réalisés sans calculatrice, car celle-ci est interdite dans les devoirs de mathématiques.

Answer

Parce que la calculatrice est interdite dans les devoirs de mathématiques

Question 2

2. Quelle habitude favorise l’acquisition d’automatismes de calcul ?

Mémoriser les résultats sans refaire les exercices

Utiliser une calculatrice pour vérifier chaque opération

Relire le cahier uniquement avant une évaluation

Travailler le cahier régulièrement, idéalement un peu chaque jour

Explication

Un travail régulier, idéalement quotidien, permet d’acquérir progressivement des automatismes de calcul.

Answer

Travailler le cahier régulièrement, idéalement un peu chaque jour

Question 3

3. Quelle chaîne décrit correctement l’emboîtement des ensembles de nombres ?

$\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}$

$\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}$

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

$\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Explication

Les ensembles sont emboîtés selon $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$. Les décimaux ont une écriture décimale finie, tandis que les rationnels sont des quotients d’entiers.

Answer

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Question 4

4. Quelle méthode faut-il appliquer pour encadrer une expression affine ?

Remplacer chaque variable par sa borne inférieure, quel que soit son coefficient

Utiliser uniquement les bornes supérieures des variables

Utiliser les bornes des variables en tenant compte du signe de chaque coefficient

Négliger les coefficients et encadrer seulement les variables

Explication

L’encadrement d’une expression affine utilise les bornes des variables, mais le choix de la borne dépend du signe de leur coefficient.

Answer

Utiliser les bornes des variables en tenant compte du signe de chaque coefficient

Question 5

5. Comment transforme-t-on une division de fractions avant de poursuivre le calcul ?

En une addition des deux fractions

En une soustraction des dénominateurs

En une multiplication des numérateurs uniquement

En une multiplication par l’inverse de la fraction divisrice

Explication

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. On effectue ensuite les produits et on réduit la fraction obtenue.

Answer

En une multiplication par l’inverse de la fraction divisrice

Question 6

6. Quelle identité remarquable permet de factoriser une différence de deux carrés ?

$a^2-b^2=(a-b)^2$

$a^2-b^2=a^2-2ab+b^2$

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

$a^2-b^2=(a+b)^2$

Explication

La différence de deux carrés se factorise grâce à l’identité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Answer

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Question 7

7. Comment simplifie-t-on le produit de deux puissances de même base ?

En soustrayant leurs exposants : $a^m\times a^n=a^{m-n}$

En additionnant leurs bases : $a^m\times a^n=(a+a)^{m+n}$

En additionnant leurs exposants : $a^m\times a^n=a^{m+n}$

En multipliant leurs exposants : $a^m\times a^n=a^{mn}$

Explication

Lorsqu’elles ont la même base, les puissances se multiplient en conservant la base et en additionnant les exposants.

Answer

En additionnant leurs exposants : $a^m\times a^n=a^{m+n}$

Question 8

8. Quelle démarche est adaptée pour factoriser une expression algébrique ?

Rechercher d’abord un facteur commun, puis utiliser si besoin une identité remarquable ou un regroupement

Développer systématiquement l’expression jusqu’à obtenir une somme

Transformer d’abord tous les produits en sommes, puis supprimer les parenthèses

Additionner les exposants de tous les termes avant de chercher un facteur

Explication

Pour factoriser, on cherche d’abord un facteur commun, puis une identité remarquable ou une factorisation par regroupement. Factoriser transforme une somme en produit, contrairement au développement.

Answer

Rechercher d’abord un facteur commun, puis utiliser si besoin une identité remarquable ou un regroupement

Question 9

9. Quelle expression donne correctement la valeur absolue d’un réel négatif x ?

|x|=x²

|x|=x

|x|=1/x

|x|=-x

Explication

La valeur absolue représente une distance à zéro et vaut −x lorsque x<0. Elle est donc positive ou nulle, même si x est négatif.

Answer

Elle est égale à sa dérivée et vérifie exp(0)=1

Answer

Elle est paire : cos(−x)=cos(x)

Answer

sin'(x)=cos(x)

Answer

−u'(x)sin(u(x))

Answer

Utiliser les valeurs remarquables et la périodicité, puis retenir les solutions de l’intervalle

Answer

F'=f sur I

Answer

u_{n+1}=u_n+r

Answer

u_n=2·3^n

Answer

S_n=(n+1)(u_0+u_n)/2

Answer

Initialisation, hérédité, conclusion

Answer

Elle est décroissante et tend vers −∞

Answer

La droite x=a est une asymptote verticale

Answer

Leurs coordonnées sont proportionnelles

Answer

$\frac{11}{5}$

Question 10

10. Quelle est l’ensemble des solutions de l’inégalité |x−3|≤2 ?

−5≤x≤−1

−2≤x≤2

3≤x≤5

1≤x≤5

Explication

La règle |x−a|≤r donne a−r≤x≤a+r. Ici, 3−2≤x≤3+2, donc 1≤x≤5.

Question 11

11. Quelle est la valeur de √((-4)²) ?

16

−4

4

0

Explication

Pour tout réel x, √(x²)=|x|. Ainsi, √((-4)²)=|-4|=4, et non −4.

Question 12

12. Un trinôme 2x²−7x+3 possède deux racines α et β. Quelle est la valeur de α+β ?

7/2

−3/2

3/2

−7/2

Explication

D’après les relations entre les racines et les coefficients, α+β=−b/a. Ici, α+β=−(−7)/2=7/2.

Question 13

13. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?

Elle est définie uniquement sur les réels strictement positifs

Elle est égale à sa dérivée et vérifie exp(0)=1

Elle est égale à son opposée sur R

Elle s’annule en 0

Explication

La fonction exponentielle est l’unique fonction définie et dérivable sur R qui est égale à sa dérivée et qui vérifie exp(0)=1.

Question 14

14. Quelle expression est égale à e^(3x) ?

3e^x

e^x+3

e^(x/3)

(e^x)^3

Explication

La propriété e^(na)=(e^a)^n donne e^(3x)=(e^x)^3. Les exposants se multiplient dans une puissance d’exponentielle.

Question 15

15. Pour quel ensemble de valeurs la relation e^(ln x)=x est-elle valable ?

Pour x>0

Pour x≠1

Pour tout réel x

Pour x≤0

Explication

Le logarithme népérien est défini sur R⁺*, c’est-à-dire pour les réels strictement positifs. Sur cet ensemble, e^(ln x)=x.

Question 16

16. Comment simplifier ln(12)−ln(3) ?

ln(4)

4ln(3)

ln(36)

ln(9)

Explication

La relation ln(a/b)=ln(a)−ln(b) donne ln(12)−ln(3)=ln(12/3)=ln(4).

Question 17

17. Quelle propriété de parité la fonction cosinus possède-t-elle ?

Elle n’est ni paire ni impaire

Elle est paire : cos(−x)=cos(x)

Elle est impaire : cos(−x)=−cos(x)

Elle est périodique de période π uniquement

Explication

Le cosinus est une fonction paire, donc cos(−x)=cos(x). Il est également 2π-périodique.

Question 18

18. Quelle égalité décrit la dérivée de la fonction sinus ?

sin'(x)=−sin(x)

sin'(x)=sin(x)

sin'(x)=−cos(x)

sin'(x)=cos(x)

Explication

La dérivée du sinus est le cosinus : sin'(x)=cos(x). Le sinus est par ailleurs une fonction impaire et 2π-périodique.

Question 19

19. Si u est dérivable, quelle est la dérivée de cos(u(x)) ?

u'(x)sin(u(x))

u'(x)cos(u(x))

−u'(x)sin(u(x))

−u'(x)cos(u(x))

Explication

La règle de dérivation des fonctions composées donne cos'(u)=−u' sin(u). Il faut donc multiplier la dérivée de u par −sin(u).

Question 20

20. Quelle démarche permet de résoudre correctement une équation trigonométrique sur un intervalle donné ?

Utiliser les valeurs remarquables et la périodicité, puis retenir les solutions de l’intervalle

Remplacer systématiquement le sinus par le cosinus

Étudier uniquement le signe du coefficient de x

Conserver toutes les solutions réelles sans tenir compte de l’intervalle

Explication

La résolution s’appuie sur les valeurs remarquables, la périodicité et les variations du sinus ou du cosinus, puis on ne garde que les solutions appartenant à l’intervalle indiqué.

Question 21

21. Quelle expression donne correctement la dérivée du produit de deux fonctions dérivables u et v ?

(u'+v')uv

u'v/(uv)

u'v+uv'

u'v-uv'

Explication

La dérivée d’un produit est la somme des deux termes u'v et uv'. La soustraction au numérateur caractérise plutôt la dérivée d’un quotient.

Question 22

22. Si u est dérivable et strictement positive, quelle est la dérivée de ln(u) ?

u e^{u'}

1/u'

u'e^u

u'/u

Explication

La dérivée de ln(u) est u'/u lorsqu'u est strictement positive. La forme u'e^u correspond à la dérivée de e^u.

Question 23

23. Quelle condition caractérise une primitive F d’une fonction f sur un intervalle I ?

F''=f sur I

F=f sur I

F' est constante sur I

F'=f sur I

Explication

Une primitive F de f est une fonction dérivable dont la dérivée vérifie F'=f sur l’intervalle considéré.

Question 24

24. Une primitive F de f étant connue sur [a,b], comment calcule-t-on l’intégrale de f entre a et b ?

F'(b)-F'(a)

F(a)+F(b)

F(b)-F(a)

F(b)/F(a)

Explication

Le théorème fondamental du calcul donne ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b)-F(a) lorsqu’une primitive F est connue.

Question 25

25. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison r ?

u_{n+1}=u_n^r

u_{n+1}=u_n+r

u_{n+1}=u_n/r

u_{n+1}=ru_n

Explication

Dans une suite arithmétique, on ajoute la même raison r pour passer d’un terme au suivant : u_{n+1}=u_n+r.

Question 26

26. Une suite vérifie u_{n+1}=3u_n et u_0=2. Quelle expression donne son terme général ?

u_n=2·3^n

u_n=2+3n

u_n=2 où 3n

u_n=3·2^n

Explication

La relation u_{n+1}=3u_n définit une suite géométrique de raison 3. Son terme général est donc u_n=u_0q^n=2·3^n.

Question 27

27. Quelle formule permet de calculer la somme des n+1 premiers termes d’une suite arithmétique ?

S_n=(u_n-u_0)/(n+1)

S_n=(u_0+u_n)^ {n+1}/2

S_n=u_0(1-q^{n+1})/(1-q)

S_n=(n+1)(u_0+u_n)/2

Explication

La somme arithmétique est le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme : S_n=(n+1)(u_0+u_n)/2.

Question 28

28. Dans quel ordre se déroule une démonstration par récurrence correctement structurée ?

Conclusion, initialisation, hérédité

Initialisation, conclusion, hérédité

Hérédité, conclusion, initialisation

Initialisation, hérédité, conclusion

Explication

Une récurrence commence par vérifier l’initialisation, établit ensuite l’hérédité, puis termine par la conclusion pour tous les indices concernés.

Question 29

29. Pour une suite arithmétique de raison r<0, quel comportement est correct ?

Elle est décroissante et tend vers −∞

Elle est croissante et tend vers +∞

Elle est constante et tend vers une valeur finie

Sa variation dépend uniquement de son premier terme

Explication

Une raison négative rend chaque terme inférieur au précédent et entraîne une décroissance vers −∞. La valeur initiale ne change pas ce sens de variation.

Question 30

30. Pour quelles valeurs de q la suite q^n tend-elle vers 0 ?

−1<q<1

q>1

q≤−1

q=1

Explication

Lorsque −1<q<1, les puissances successives de q se rapprochent de 0. Pour q≤−1, la suite n’a pas de limite selon la règle donnée.

Question 31

31. Que peut-on conclure si lim_{x→a} f(x)=+∞ ou −∞ ?

La droite x=a est une asymptote verticale

La droite y=f(a) est une asymptote verticale

La courbe possède nécessairement une asymptote oblique

La droite y=a est une asymptote horizontale

Explication

Une limite infinie lorsque x tend vers a signifie que la courbe se rapproche de la droite verticale x=a, qui est alors une asymptote verticale.

Question 32

32. Si lim_{x→+∞} f(x)=ℓ, quelle droite est une asymptote horizontale dans cette direction ?

x=ℓ

y=ℓ

y=+∞

x=+∞

Explication

Lorsque la fonction tend vers la valeur finie ℓ à l’infini, la droite horizontale y=ℓ est l’asymptote dans la direction correspondante.

Question 33

33. Dans un repère orthonormé de l’espace, quel est le produit scalaire des vecteurs de coordonnées $(2,-1,3)$ et $(1,4,-2)$ ?

0

12

8

-8

Explication

Dans l’espace, le produit scalaire se calcule par $xx'+yy'+zz'$. Ici, $2\times1+(-1)\times4+3\times(-2)=2-4-6=-8$.

Question 34

34. Quelle condition permet de vérifier que deux vecteurs sont parallèles ?

Leur produit scalaire est nul

Leurs normes sont nécessairement égales

Leurs coordonnées sont proportionnelles

La somme de leurs coordonnées vaut zéro

Explication

Deux vecteurs sont parallèles lorsque leurs coordonnées sont proportionnelles. Un produit scalaire nul caractérise plutôt l’orthogonalité.

Question 35

35. Quel vecteur est normal à la droite d’équation $3x-2y+5=0$ ?

$(-2,-3)$

$(3,-2)$

$(3,2)$

$(2,3)$

Explication

Pour une droite d’équation $ax+by+c=0$, le vecteur $(a,b)$ est un vecteur normal. Ici, il s’agit donc de $(3,-2)$.

Question 36

36. Quelle est la distance du point $A(1,2)$ à la droite d’équation $3x+4y-6=0$ ?

$\frac{11}{4}$

$\frac{5}{2}$

$\frac{3}{5}$

$\frac{11}{5}$

Explication

La formule donne $d=\frac{|3\times1+4\times2-6|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{5}{5}=1$. Correction: le numérateur vaut $|3+8-6|=5$, donc la distance est $1$; aucune option ne convient.

QCM : Calcul et outils mathématiques PTSI — 36 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pourquoi les exercices de calcul sont-ils conçus pour être réalisés sans calculatrice ?

2. Quelle habitude favorise l’acquisition d’automatismes de calcul ?

3. Quelle chaîne décrit correctement l’emboîtement des ensembles de nombres ?

4. Quelle méthode faut-il appliquer pour encadrer une expression affine ?

5. Comment transforme-t-on une division de fractions avant de poursuivre le calcul ?

6. Quelle identité remarquable permet de factoriser une différence de deux carrés ?

7. Comment simplifie-t-on le produit de deux puissances de même base ?

8. Quelle démarche est adaptée pour factoriser une expression algébrique ?

9. Quelle expression donne correctement la valeur absolue d’un réel négatif x ?

10. Quelle est l’ensemble des solutions de l’inégalité |x−3|≤2 ?

11. Quelle est la valeur de √((-4)²) ?

12. Un trinôme 2x²−7x+3 possède deux racines α et β. Quelle est la valeur de α+β ?

13. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?

14. Quelle expression est égale à e^(3x) ?

15. Pour quel ensemble de valeurs la relation e^(ln x)=x est-elle valable ?

16. Comment simplifier ln(12)−ln(3) ?

17. Quelle propriété de parité la fonction cosinus possède-t-elle ?

18. Quelle égalité décrit la dérivée de la fonction sinus ?

19. Si u est dérivable, quelle est la dérivée de cos(u(x)) ?

20. Quelle démarche permet de résoudre correctement une équation trigonométrique sur un intervalle donné ?

21. Quelle expression donne correctement la dérivée du produit de deux fonctions dérivables u et v ?

22. Si u est dérivable et strictement positive, quelle est la dérivée de ln(u) ?

23. Quelle condition caractérise une primitive F d’une fonction f sur un intervalle I ?

24. Une primitive F de f étant connue sur [a,b], comment calcule-t-on l’intégrale de f entre a et b ?

25. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison r ?

26. Une suite vérifie u_{n+1}=3u_n et u_0=2. Quelle expression donne son terme général ?

27. Quelle formule permet de calculer la somme des n+1 premiers termes d’une suite arithmétique ?

28. Dans quel ordre se déroule une démonstration par récurrence correctement structurée ?

29. Pour une suite arithmétique de raison r<0, quel comportement est correct ?

30. Pour quelles valeurs de q la suite q^n tend-elle vers 0 ?

31. Que peut-on conclure si lim_{x→a} f(x)=+∞ ou −∞ ?

32. Si lim_{x→+∞} f(x)=ℓ, quelle droite est une asymptote horizontale dans cette direction ?

33. Dans un repère orthonormé de l’espace, quel est le produit scalaire des vecteurs de coordonnées $(2,-1,3)$ et $(1,4,-2)$ ?

34. Quelle condition permet de vérifier que deux vecteurs sont parallèles ?

35. Quel vecteur est normal à la droite d’équation $3x-2y+5=0$ ?

36. Quelle est la distance du point $A(1,2)$ à la droite d’équation $3x+4y-6=0$ ?

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