Fiche de révision : Conditionnement et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Probabilité conditionnelle
2. Arbres pondérés
3. Partitions et probabilités totales
4. Indépendance de deux événements
5. Épreuves indépendantes successives

📖 1. Probabilité conditionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : est définie par $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ lorsque P(A) est non nulle.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux événements A et B tels que P(A) est non nulle, on a $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=P(B)\times P_B(A)$ lorsque P(B) est non nulle.

Compléments

• Dans l'exemple des 160 pièces, 16 présentent un défaut de solidité, 8 présentent un défaut de finition et 4 présentent les deux défauts.

💡 Astuce mémo

P(B) décrit B seul, tandis que P_A(B) décrit B lorsque A est réalisé

📖 2. Arbres pondérés

★ À maîtriser

📌 Dans un arbre pondéré, le produit des probabilités rencontrées le long d'un chemin est égal à la probabilité de l'intersection des événements portés par ce chemin.

• 🔄 La construction d'un arbre pondéré suit ces étapes:
  1. Inscrire les probabilités des événements sur les branches du premier niveau
  2. Inscrire les probabilités conditionnelles sur les branches du deuxième niveau
  3. Vérifier que la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1

Compléments

📌 Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un événement situé à l'extrémité de plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.

💡 Astuce mémo

Premier niveau → conditionnement → somme 1 → produit du chemin

📖 3. Partitions et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : est une famille de parties deux à deux disjointes dont la réunion est égale à Ω.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si E_1, E_2, …, E_n est une partition de Ω, alors $P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A\cap E_i)=\sum_{i=1}^{n}P_{E_i}(A)P(E_i)$ lorsque les probabilités des E_i sont non nulles.

Compléments

• Un événement A et son événement contraire forment une partition de Ω, car leur intersection est vide et leur réunion est Ω.

• Dans une classe, les filles et les garçons forment une partition de la classe, car ces ensembles sont disjoints et leur réunion constitue toute la classe.

💡 Astuce mémo

Partition de Ω → décomposition de A → somme des probabilités

📖 4. Indépendance de deux événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : sont indépendants lorsque la réalisation ou la non-réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de réalisation de l'autre, ce qui s'écrit P_B(A)=P(A) et P_A(B)=P(B).

★ À maîtriser

📐 Formule — Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

📌 Des événements incompatibles ont une intersection vide, tandis que des événements indépendants vérifient une relation multiplicative entre la probabilité de leur intersection et leurs probabilités individuelles.

Compléments

📌 Si A et B sont indépendants, alors chacune des quatre paires formées avec A, B et leurs événements contraires est indépendante.

💡 Astuce mémo

Incompatibles : A ∩ B = ∅ ; indépendants : P(A ∩ B) = P(A)P(B)

📖 5. Épreuves indépendantes successives

🔑 Notions clés & Définitions

• Succession d'épreuves indépendantes : lorsque les résultats de la première n'ont aucune influence sur les résultats de la seconde.

★ À maîtriser

• Pour deux épreuves indépendantes, la probabilité d'obtenir un couple de résultats est égale au produit des probabilités de chacun des résultats.

• Deux tirages successifs de cartes avec remise sont indépendants, tandis que deux tirages successifs sans remise ne le sont pas.

Compléments

• Lors de deux lancers successifs d'un dé cubique non truqué, la probabilité d'obtenir deux fois le numéro 6 est $\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$.

• Dans une population suffisamment importante, deux personnes interrogées au hasard peuvent être considérées comme deux tirages indépendants.

💡 Astuce mémo

Avec remise : indépendant ; sans remise : dépendant

📊 Tableaux de synthèse

Indépendance et incompatibilité