Fiche de révision : Second degré et inéquations

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme du second degré
2. Racines et zéros du trinôme
3. Factorisation par les racines
4. Somme et produit des racines
5. Signe d’un trinôme factorisé
6. Résolution des inéquations

📖 1. Fonction polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ pour tout réel x, avec a, b et c réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

• La forme développée d’un polynôme du second degré est $ax^2+bx+c$, tandis qu’une expression factorisée ou réduite doit être développée pour identifier a, b et c.

📐 Formule — Les identités remarquables utilisées sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

📖 2. Racines et zéros du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’une fonction polynôme : Réel x₁ tel que $f(x₁)=0$.

★ À maîtriser

📌 Les racines d’une fonction polynôme sont exactement les solutions éventuelles de l’équation $f(x)=0$.

Compléments

• Pour vérifier qu’un nombre est une racine, il faut calculer l’image de ce nombre et vérifier que cette image vaut zéro.

💡 Astuce mémo

Racine du polynôme = solution de l’équation f(x)=0

📖 3. Factorisation par les racines

★ À maîtriser

📌 Si un polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$ possède une racine x₁, alors il est factorisable sous la forme $f(x)=(x-x₁)(ax+d)$, où d est réel.

📌 Si un polynôme du second degré possède deux racines x₁ et x₂, alors sa forme factorisée est $f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)$.

• Une fonction polynôme du second degré admet au plus deux racines.

Compléments

📐 Formule — Dans la factorisation obtenue à partir d’une racine x₁, le second coefficient vérifie $d=ax₁+b$.

💡 Astuce mémo

Racine connue → facteur correspondant

📖 4. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $f(x)=ax^2+bx+c$ possède les racines x₁ et x₂, alors leur somme et leur produit vérifient $x₁+x₂=-\frac{b}{a}$ et $x₁x₂=\frac{c}{a}$.

• Pour retrouver une seconde racine quand une racine x₁ est connue, on utilise la formule de la somme ou celle du produit, puis on isole x₂.

Compléments

• Une racine peut être double lorsque les deux racines ont la même valeur, c’est-à-dire lorsque x₂=x₁.

💡 Astuce mémo

S.P. : Somme = −b/a, Produit = c/a

📖 5. Signe d’un trinôme factorisé

★ À maîtriser

• Pour étudier le signe d’un trinôme factorisé, on étudie le signe de chacun des deux facteurs puis on combine ces signes dans un tableau.

📌 Pour un produit de deux facteurs, le produit est positif lorsque les deux facteurs ont le même signe et négatif lorsqu’ils ont des signes opposés.

Compléments

• Le polynôme $f(x)=-2x^2+7x$ se factorise en $f(x)=x(-2x+7)$ et possède les racines 0 et $\frac{7}{2}$.

💡 Astuce mémo

Signes des facteurs → signe du produit

📖 6. Résolution des inéquations

★ À maîtriser

• Pour résoudre une inéquation du second degré dans les cas étudiés, on transforme l’inéquation en comparaison avec zéro, on factorise, on établit le tableau de signes et on sélectionne les intervalles correspondant à l’inégalité.

• L’inéquation $(x-4)^2>25-16x$ est équivalente à $x^2+8x-9>0$, qui se factorise en $(x-1)(x+9)>0$ et admet pour ensemble solution $]-\infty;-9[\cup]1;+\infty[$.

Compléments

• L’inéquation $(2x+5)(1-4x)<0$ se résout en recherchant les intervalles où le produit des deux facteurs est négatif.

💡 Astuce mémo

Transformer → factoriser → dresser le tableau → lire les solutions

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’un polynôme du second degré