QCM : Conditionnement et indépendance — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la probabilité conditionnelle :

PA(B)P_A(B) désigne la probabilité de AA sachant que BB est réalisé.
PA(B)P_A(B) est définie lorsque P(B)P(B) est non nulle.
PA(B)P_A(B) désigne la probabilité de BB sachant que AA est réalisé.
PA(B)P_A(B) est définie par P(A∪B)P(A)\frac{P(A\cup B)}{P(A)} lorsque P(A)P(A) est non nulle.
PA(B)P_A(B) correspond à la probabilité de BB sans condition supplémentaire.

$$P_A(B)$$ désigne la probabilité de $$B$$ sachant que $$A$$ est réalisé.

Explication

PA(B)P_A(B) désigne bien la probabilité de BB sachant AA. Elle se distingue de P(B)P(B), qui est la probabilité de BB sans condition, et sa définition correcte utilise P(A∩B)P(A)\frac{P(A\cap B)}{P(A)} avec P(A)≠0P(A)\neq0.

2. Parmi les propositions suivantes concernant la probabilité d’une intersection, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La formule de l’intersection associe une probabilité simple à une probabilité conditionnelle.
La probabilité d’une intersection s’obtient par la somme de deux probabilités conditionnelles.
Lorsque P(A)P(A) et P(B)P(B) sont non nulles, les deux écritures donnent la même intersection.
Si P(A)≠0P(A)\neq0, alors P(A∩B)=P(A)×PA(B)P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B).
Si P(B)≠0P(B)\neq0, alors P(A∩B)=P(B)×PB(A)P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A).

La formule de l’intersection associe une probabilité simple à une probabilité conditionnelle. · Lorsque $$P(A)$$ et $$P(B)$$ sont non nulles, les deux écritures donnent la même intersection. · Si $$P(A)\neq0$$, alors $$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$$. · Si $$P(B)\neq0$$, alors $$P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$$.

Explication

L’intersection s’écrit P(A)×PA(B)P(A)\times P_A(B) lorsque P(A)≠0P(A)\neq0, ou P(B)×PB(A)P(B)\times P_B(A) lorsque P(B)≠0P(B)\neq0. Ces deux formes décrivent la même probabilité et combinent une probabilité simple avec une probabilité conditionnelle ; une somme de probabilités conditionnelles ne donne pas cette formule.

3. Concernant la construction d’un arbre pondéré, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Les branches du premier niveau portent les probabilités simples des événements.
Les branches issues d’un même nœud peuvent avoir une somme égale à 22.
Les branches du deuxième niveau portent les probabilités conditionnelles adaptées au premier événement.
La vérification des branches consiste à vérifier que les branches d’un même chemin ont une somme égale à 11.
Les branches du premier niveau portent les probabilités conditionnelles associées aux nœuds précédents.

Les branches du premier niveau portent les probabilités simples des événements. · Les branches du deuxième niveau portent les probabilités conditionnelles adaptées au premier événement.

Explication

Les branches du premier niveau portent les probabilités simples, tandis que celles du deuxième niveau portent les probabilités conditionnelles. Les branches issues d’un même nœud doivent avoir une somme égale à 11, et la construction ne se limite pas à vérifier les chemins complets.

4. Un chemin complet d’un arbre pondéré porte des probabilités p1p_1, p2p_2 et p3p_3. Parmi les propositions suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La probabilité d’un chemin complet correspond à la somme de plusieurs chemins distincts.
La probabilité de cette intersection se calcule par la somme de p1p_1, p2p_2 et p3p_3.
Le produit des probabilités d’un chemin donne nécessairement l’union des événements rencontrés.
Le calcul utilise le produit des probabilités rencontrées successivement sur le chemin.
La probabilité de l’intersection portée par ce chemin vaut p1×p2×p3p_1\times p_2\times p_3.

Le calcul utilise le produit des probabilités rencontrées successivement sur le chemin. · La probabilité de l’intersection portée par ce chemin vaut $$p_1\times p_2\times p_3$$.

Explication

Dans un arbre pondéré, le produit des probabilités rencontrées sur un chemin complet donne la probabilité de l’intersection correspondante. La somme sert à regrouper plusieurs chemins menant au même événement ; elle ne remplace donc pas le produit sur un chemin unique.

5. À propos d’une partition de l’univers Ω\Omega :

Elle décrit une famille de parties couvrant tout l’univers sans recouvrement.
Ses parties doivent posséder une intersection commune non vide.
Une partition peut laisser certains éléments de Ω\Omega en dehors de ses parties.
Ses parties sont deux à deux disjointes.
La réunion de ses parties est égale à Ω\Omega.

Elle décrit une famille de parties couvrant tout l’univers sans recouvrement. · Ses parties sont deux à deux disjointes. · La réunion de ses parties est égale à $$\Omega$$.

Explication

Une partition est constituée de parties deux à deux disjointes dont la réunion est tout Ω\Omega. Elle couvre donc l’univers sans recouvrement ; une intersection commune non vide n’est pas requise et aucun élément de Ω\Omega ne reste à l’extérieur.

6. Concernant la formule des probabilités totales, quelles sont les réponses exactes au sujet d’une partition E1,…,EnE_1,\ldots,E_n de Ω\Omega ?

La formule additionne les contributions de l’événement AA dans les différentes parties.
On a P(A)=∑i=1nPEi(A)P(Ei)P(A)=\sum_{i=1}^{n}P_{E_i}(A)P(E_i) lorsque les probabilités des EiE_i sont non nulles.
On a P(A)=∑i=1nP(A∩Ei)P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A\cap E_i).
La formule des probabilités totales remplace cette somme par un produit unique de deux probabilités.
Chaque contribution peut s’écrire comme le produit d’une probabilité conditionnelle et d’une probabilité de partie.

La formule additionne les contributions de l’événement $$A$$ dans les différentes parties. · On a $$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P_{E_i}(A)P(E_i)$$ lorsque les probabilités des $$E_i$$ sont non nulles. · On a $$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A\cap E_i)$$. · Chaque contribution peut s’écrire comme le produit d’une probabilité conditionnelle et d’une probabilité de partie.

Explication

Pour une partition, P(A)P(A) est la somme des probabilités P(A∩Ei)P(A\cap E_i), également égale à ∑i=1nPEi(A)P(Ei)\sum_{i=1}^{n}P_{E_i}(A)P(E_i) lorsque les probabilités des parties sont non nulles. La formule additionne donc plusieurs contributions, chacune étant un produit ; elle ne se réduit pas à un produit unique.

7. Concernant l’indépendance de deux événements :

L’indépendance impose que les deux événements aient la même probabilité.
La réalisation de A ne modifie pas la probabilité de réalisation de B.
La non-réalisation de A ne modifie pas la probabilité de réalisation de B.
Des événements indépendants ne peuvent pas se réaliser simultanément.
Deux événements indépendants possèdent nécessairement une intersection vide.

La réalisation de A ne modifie pas la probabilité de réalisation de B. · La non-réalisation de A ne modifie pas la probabilité de réalisation de B.

Explication

L’indépendance signifie que la réalisation ou la non-réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre. Des événements indépendants peuvent se réaliser ensemble, et ils n’ont pas nécessairement la même probabilité.

8. Concernant la distinction entre événements incompatibles et événements indépendants, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’incompatibilité et l’indépendance désignent deux propriétés équivalentes.
Des événements incompatibles ont une intersection vide.
Deux événements indépendants peuvent avoir une intersection non vide.
Deux événements incompatibles vérifient nécessairement une relation multiplicative.
Des événements indépendants vérifient une relation multiplicative entre probabilités.

Des événements incompatibles ont une intersection vide. · Deux événements indépendants peuvent avoir une intersection non vide. · Des événements indépendants vérifient une relation multiplicative entre probabilités.

Explication

L’incompatibilité correspond à une intersection vide, tandis que l’indépendance repose sur une relation multiplicative entre probabilités. Des événements indépendants peuvent donc se réaliser ensemble, et ces deux notions ne sont pas équivalentes.

9. Les caractéristiques de deux épreuves indépendantes successives comprennent :

Le résultat de la première épreuve n’influence pas celui de la seconde.
Les résultats successifs sont produits par des expériences aléatoires.
Un premier résultat sans influence conserve les probabilités de l’épreuve suivante.
Deux tirages avec remise illustrent généralement cette indépendance.
Deux tirages sans remise forment une succession indépendante par définition.

Le résultat de la première épreuve n’influence pas celui de la seconde. · Les résultats successifs sont produits par des expériences aléatoires. · Un premier résultat sans influence conserve les probabilités de l’épreuve suivante. · Deux tirages avec remise illustrent généralement cette indépendance.

Explication

Des épreuves successives sont indépendantes lorsque le premier résultat n’influence pas le second, ce qui correspond à des expériences aléatoires successives. Avec remise, la composition reste identique ; sans remise, le premier tirage modifie généralement le suivant.

10. Lors de deux épreuves indépendantes, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) concernant un couple de résultats :

La probabilité du couple est obtenue en additionnant les probabilités individuelles.
La probabilité du couple correspond à la différence des probabilités individuelles.
Le calcul suppose que le premier résultat n’influence pas le second.
La règle multiplicative s’applique aux résultats des deux épreuves.
Sa probabilité est le produit des probabilités de chacun des résultats.

Le calcul suppose que le premier résultat n’influence pas le second. · La règle multiplicative s’applique aux résultats des deux épreuves. · Sa probabilité est le produit des probabilités de chacun des résultats.

Explication

Pour deux épreuves indépendantes, la probabilité d’un couple de résultats est égale au produit des probabilités individuelles. Cette multiplication traduit l’absence d’influence du premier résultat sur le second ; l’addition ou la soustraction ne convient pas.

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Comment se note la probabilité de B sachant A ?

P_A(B)

Quelle est la formule de la probabilité conditionnelle P_A(B) ?

PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

Quelle formule relie P(A\cap B) à P(A) et P_A(B) ?

P(A∩B)=P(A)×PA(B)P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)

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