Fiche de révision : Analyse probabiliste et modélisation en santé

📋 Plan du Cours

1. Dépistage du chikungunya
2. Fiabilité selon la prévalence
3. Loi binomiale et seuil de détection
4. Suites récurrentes et convergence
5. Suite auxiliaire et programme Python
6. Géométrie de l’espace
7. Modélisation de la température

📖 1. Dépistage du chikungunya

🔑 Notions clés & Définitions

• Chikungunya : Le chikungunya est une maladie virale transmise à l’homme par la piqûre du moustique tigre, pouvant provoquer des douleurs articulaires aiguës.
• Test positif : Un test positif correspond à l’évènement où le dépistage détecte la présence du virus chez l’individu examiné.
• Évènement M : L’évènement M décrit le fait que l’individu choisi est atteint par le chikungunya.
• Évènement T : L’évènement T décrit le fait que le test de dépistage de l’individu choisi est positif.

📝 Points essentiels

• On a P(T|M)=0,999 et donc P(T|M)=0,001 si l’on note aussi T l’évènement complémentaire du test positif.
• Avec 270 000 infectés sur 750 000 individus, on obtient P(M)=270000/750000=0,36=9/25.
• L’évènement « M et T » a pour probabilité P(M∩T)=P(M)P(T|M)=0,36×0,999=0,35964.
• La probabilité d’un test positif vaut P(T)=P(M)P(T|M)+P(M)P(T|M)=0,36×0,999+0,64×0,005=0,36284.
• La fiabilité demandée correspond à P(M|T)=P(M∩T)/P(T)=0,35964/0,36284≈0,991>0,95, donc on peut considérer le test fiable pour la situation de mars 2005 à La Réunion.

💡 Astuce mémo

Fiabilité = part des vrais malades parmi les positifs : M|T se calcule par M∩T sur T.

📖 2. Fiabilité selon la prévalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Prévalence p : La prévalence p est la proportion de personnes atteintes dans la population cible étudiée.
• Probabilité conditionnelle : Une probabilité conditionnelle exprime la probabilité d’un évènement sachant que l’autre est réalisé.

📝 Points essentiels

• En fonction de p, on a P(M)=p, P(M)=1-p, puis P(T)=0,999p+0,005(1-p)=0,994p+0,005.
• On obtient $P(M|T)=\dfrac{0,999p}{0,994p+0,005}=\dfrac{999p}{994p+5}$.
• Le test est fiable quand $\dfrac{999p}{994p+5}>0,95$, ce qui équivaut à $p>\dfrac{4,75}{54,7}\approx 0,0868$.
• Pour p supérieur à environ 0,087, la probabilité qu’un test positif corresponde à un malade dépasse 0,95.

💡 Astuce mémo

Numérateur : vrais positifs (p×0,999), dénominateur : tous les positifs (p×0,999+(1-p)×0,005).

📖 3. Loi binomiale et seuil de détection

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Une loi binomiale modélise le nombre de succès dans n essais identiques avec probabilité p du succès à chaque essai.
• Variable X : La variable aléatoire X compte le nombre d’individus infectés dans l’échantillon de n personnes.

📝 Points essentiels

• Ici X suit une loi binomiale de paramètres n et p=0,36, donc $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-0,36)^n=1-0,64^n$.
• La condition $P(X\ge 1)>0,99$ équivaut à $1-0,64^n>0,99$, donc $0,64^n<0,01$.
• En prenant les logarithmes, on obtient $n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,64)}\approx 10,32$, donc le plus petit entier est n=11.
• Avec n=11, la probabilité d’avoir au moins un infecté dans l’échantillon dépasse 0,99.

💡 Astuce mémo

Au moins un succès = 1 − aucun succès : $P(X\ge 1)=1-(1-p)^n$.

📖 4. Suites récurrentes et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite (u_n) : La suite (u_n) est définie par u0=30 et une relation de récurrence reliant u_{n+1} à u_n.
• Suite (v_n) : La suite (v_n) est construite à partir de (u_n) par la différence v_n=u_n−20.
• Suite géométrique : Une suite est géométrique si chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante (la raison).

📝 Points essentiels

• u1=0,5u0+10=25+10=35 et u2=0,5u1+10=17,5+10=27,5.
• Avec v_n=u_n−20, on vérifie que v_{n+1}=\tfrac12 v_n, donc (v_n) est géométrique de raison 1/2.
• Comme v0=u0−20=10, on a $v_n=10\left(\tfrac12\right)^n$ puis $u_n=20+10\left(\tfrac12\right)^n$.
• Comme $\left(\tfrac12\right)^n\to 0$, on obtient $\lim u_n=20$.

💡 Astuce mémo

Décalage de 20 : si v_n=u_n−20 devient géométrique, alors u_n tend vers 20.

📖 5. Suite auxiliaire et programme Python

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite (w_n) : La suite (w_n) est définie par w0=45 et une relation de récurrence faisant intervenir u_n.
• Programme Python : Un programme Python peut simuler une suite récurrente en répétant les mises à jour successives des termes.

📝 Points essentiels

• w1=0,5w0+0,5u0+7=22,5+15+7=44,5.
• Pour obtenir w_n, la boucle doit effectuer exactement n mises à jour, puis renvoyer W après la dernière mise à jour (par exemple en remplaçant range(1,n+1) par range(n) et en retournant W).
• On a, pour tout entier naturel n, $w_n=10n\left(\tfrac12\right)^n+11\left(\tfrac12\right)^n+34$.
• À l’aide de $0\le 10n\left(\tfrac12\right)^n\le 10n\,\left(\tfrac12\right)^n$ et du fait que $\left(\tfrac12\right)^n\to 0$, on déduit que $10n\left(\tfrac12\right)^n\to 0$ et donc $w_n\to 34$.

💡 Astuce mémo

Le terme dominant est le constant 34 : les autres ont un facteur $\left(\tfrac12\right)^n$, donc ils s’éteignent.

📖 6. Géométrie de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur d’une droite : Le vecteur directeur caractérise la direction d’une droite et sert à tester la perpendicularité avec un plan.
• Plan P : Le plan P est le lieu des points vérifiant l’équation cartésienne donnée dans l’énoncé.
• Intersection de deux plans : L’intersection de deux plans non parallèles est une droite, décrite par un système paramétrique.
• Projection orthogonale : La projection orthogonale d’un point sur une droite est le point de la droite tel que la droite joignant les deux points est perpendiculaire à la droite de projection.

📝 Points essentiels

• La droite (d) est orthogonale au plan P car son vecteur directeur (1/3,1/2,1) est proportionnel au vecteur normal du plan P (2,3,6).
• Le point H appartient à P et appartient aussi à (d) en prenant t=6, donc la droite (d) coupe bien P en H.
• Pour l’angle DCH, on trouve $\cos(\widehat{DCH})=\dfrac{31}{\sqrt{13\,89}}\approx 0,912$, donc $\widehat{DCH}\approx 24,0^\circ$, ce qui contredit 17,3°.
• Les plans P et P’ sont sécants et leur intersection est bien la droite Δ, qui vérifie les deux équations en remplaçant x,y,z par la paramétrisation.
• J est le projeté orthogonal de H sur (CD) car J appartient à la droite (CD) et le produit scalaire $\overrightarrow{HJ}\cdot\overrightarrow{CD}=0$.

💡 Astuce mémo

Droite orthogonale à un plan : vecteur directeur // vecteur normal du plan.

📖 7. Modélisation de la température

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction température f : La fonction f(t) donne la température (en °C) en fonction du temps t (en minutes) sur l’intervalle [0;10].
• Équation différentielle : Une équation différentielle relie f et sa dérivée, ici pour déterminer les constantes du modèle exponentiel.
• Température moyenne : La température moyenne sur [t1,t2] est la valeur moyenne de f sur cet intervalle, calculée par une intégrale divisée par la durée t2−t1.

📝 Points essentiels

• Avec b=f(0) et f(0)=40, on obtient b=40 dans la forme f(t)=(at+b)e^{-0,5t}.
• Dans $y'+0,5y=60e^{-0,5t}$ et pour $f(t)=(at+b)e^{-0,5t}$, le membre de gauche vaut $a e^{-0,5t}$, donc a=60.
• Sur [0;10], $f'(t)=(40-30t)e^{-0,5t}$, donc f croît puis décroît avec un changement de sens pour t=4/3.
• L’équation f(t)=40 admet une unique solution positive α dans ]0;10], numériquement α≈6,0 minutes, interprétée comme l’instant où la température redevient égale à celle de t=0.
• On a $\int_0^4 f(t)dt=320-800e^{-2}$, donc la température moyenne sur les 4 premières minutes vaut $\dfrac{1}{4}(320-800e^{-2})\approx 52,9\,\%\text{C}\approx 53\,^{\circ}\text{C}$.

💡 Astuce mémo

Extremum via f'(t) : ici le signe dépend seulement de (40−30t).

📅 Repères chronologiques

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre P(T|M) avec P(M|T : la fiabilité demandée est une probabilité conditionnelle inversée et n’utilise pas le même dénominateur.
2. Oublier que X=0 signifie « aucun infecté » et que $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$ en binomiale.
3. Prendre u_n directement comme géométrique : c’est v_n=u_n−20 qui devient géométrique.
4. Dans le programme Python, mettre un décalage d’indice (boucle de n+1 au lieu de n) et donc renvoyer w_{n+1} au lieu de w_n.
5. Pour l’angle DCH, utiliser un mauvais vecteur (CH vs HC) ou confondre l’origine des deux vecteurs à C.
6. Dans le modèle de température, calculer b avec f(0) mais oublier que e^{-0,5·0}=1 et donc b=f(0).

✅ Checklist Examen

1. Calculer P(T|M) et P(T|M) avec les valeurs 0,999 et 0,005 fournies.
2. Calculer P(M) à partir de 270 000 infectés sur 750 000 individus et donner la valeur exacte (ou équivalente à 0,36).
3. Construire et compléter l’arbre pondéré pour obtenir P(M∩T), P(T) puis P(M|T).
4. Conclure sur la fiabilité du test pour la situation de La Réunion en 2005 en comparant P(M|T) à 0,95.
5. Exprimer P(T) en fonction de la prévalence p et montrer la forme de P(M|T)=999p/(994p+5).
6. Résoudre l’inégalité P(M|T)>0,95 pour trouver les valeurs admissibles de p.
7. Modéliser le nombre d’infectés X par une loi binomiale de paramètres n et 0,36.
8. Transformer la condition « au moins un infecté » en inégalité sur 0,64^n puis déterminer le plus petit n entier.
9. Déterminer v0, montrer que (v_n) est géométrique de raison 1/2 et en déduire u_n=20+10(1/2)^n.
10. Calculer w1 en remplaçant u0, w0 dans la récurrence de w, puis corriger la boucle Python pour obtenir w_n.
11. Utiliser la formule de w_n pour conclure la convergence et donner la limite.
12. Vérifier orthogonalité et intersection en utilisant normal du plan et vecteur directeur, et vérifier l’appartenance de H et J par substitution.
13. Pour l’angle DCH, calculer un cosinus avec produit scalaire puis en déduire une mesure en degrés au dixième près.
14. Déterminer a et b à partir de la forme (at+b)e^{-0,5t} et de l’équation différentielle.