Fiche de révision : Actions internes en statique

📋 Plan du Cours

1. Modèle de comportement statique
2. Torseurs et liaisons parfaites
3. Liaisons usuelles et paramètres
4. Systèmes statiques plans
5. Actions mécaniques usuelles
6. Démarche d’étude d’un système fermé
7. Équilibre à deux glisseurs
8. Isolement et application du PFS
9. Unités des efforts et moments

📖 1. Modèle de comportement statique

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle de comportement statique : Un modèle cinématique complété pour caractériser les interactions en effort entre les composants d’un système et avec son environnement.

★ À maîtriser

• Le modèle de comportement statique précise les actions transmissibles par les liaisons, les actions mécaniques d’entrée et de sortie et les sollicitations internes ou externes comme le poids, le ressort ou l’amortisseur.

Compléments

• Le modèle de comportement statique est représenté par un graphe de structure et par un schéma cinématique complété des actions mécaniques.

• Dans le système EPAS, le modèle cinématique est défini par trois paramètres de position pilotés, x, α et θ, et par trois actions d’entrée-sortie Cm, Fv et F2→3.

📖 2. Torseurs et liaisons parfaites

🔑 Notions clés & Définitions

• Torseur des actions transmissibles : Le torseur des actions mécaniques transmissibles de 1 sur 2 au point A s’écrit $\{\mathcal T_{1\to2}\}_A=\left\{\begin{array}{c}\vec R_{1\to2}=X_{12}\vec x+Y_{12}\vec y+Z_{12}\vec z\\\vec M_{A,1\to2}=L_{12}\vec x+M_{12}\vec y+N_{12}\vec z\end{array}\right.$ et comporte six paramètres statiques indépendants.
• Liaison parfaite : Cinématiquement parfaite et ne dissipe pas d’énergie quels que soient les efforts transmis, les amplitudes et les vitesses des mouvements relatifs.

📝 Points essentiels

• Pour une liaison parfaite, chaque mouvement bloqué correspond à un paramètre statique et chaque degré de liberté correspond à une composante nulle du torseur des actions transmissibles.

📐 Formule — Le nombre de degrés de liberté et le nombre de blocages vérifient $\text{DDL}+\text{blocages}=6$, donc $\text{paramètres cinématiques}+\text{paramètres statiques}=6$.

📖 3. Liaisons usuelles et paramètres

★ À maîtriser

📌 Une glissière de direction x autorise une translation suivant x et transmet les composantes Y12, Z12, L12, M12 et N12, tandis que X12 est nulle.

📌 Un pivot d’axe (A, x) autorise une rotation autour de x et transmet X12, Y12, Z12, M12 et N12, tandis que L12 est nul.

Compléments

• Un pivot glissant d’axe (A, x) autorise la rotation et la translation suivant x et transmet Y12, Z12, M12 et N12.

📐 Formule — Pour une liaison hélicoïdale d’axe (A, x), la translation et la rotation sont liées par $V_{x,P\in2/1}=\omega_{x,2/1}\frac{p}{2\pi}$ et les actions vérifient $L_{12}=X_{12}\frac{p}{2\pi}$.

📖 4. Systèmes statiques plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Système statique plan : Un système est statiquement plan dans le plan (O, x, y) si toutes les trajectoires sont dans des plans parallèles à (x, y), si toutes les forces ont une direction contenue dans (x, y) et si tous les moments sont perpendiculaires à (x, y).

📖 5. Actions mécaniques usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule — L’action d’un ressort de longueur à vide L0 et de raideur k vérifie $\vec F_{1\to2}=-k(L-L_0)\vec u$.

📐 Formule — L’action d’un amortisseur linéaire de coefficient λ vérifie $\vec F_{1\to2}=-\lambda\dot L\vec u$.

• Lors d’un contact ponctuel sans frottement, l’action transmise est une force de droite d’action normale au contact et d’intensité strictement positive.

📐 Formule — Un fluide à pression uniforme p agissant sur une surface plane S exerce une résultante $\vec R=-pS\vec n$ passant par le centre géométrique C de la surface.

Compléments

• Les actions du ressort et de l’amortisseur sont des forces axiales passant par les points d’attache A et B, et leurs moments en tout point de l’axe AB sont nuls.

💡 Astuce mémo

Déformation du ressort ou vitesse de l’amortisseur → force axiale.

📖 6. Démarche d’étude d’un système fermé

★ À maîtriser

• 🔄 La détermination des actions internes suit la séquence suivante:
  1. modéliser et représenter
  2. analyser
  3. choisir une stratégie d’isolement
  4. recenser les actions extérieures
  5. appliquer le PFS
  6. résoudre numériquement

📌 Dans une chaîne fermée, il faut rechercher les ensembles soumis à deux forces afin de réduire le nombre d’inconnues statiques.

📌 Pour choisir les isolements, on utilise les degrés de liberté des liaisons parfaites, on rend au moins une action d’entrée ou de sortie extérieure et on n’isole jamais le bâti.

Compléments

• Les isolements successifs sont recherchés à partir de l’entrée en suivant la chaîne fonctionnelle de transformation du mouvement.

📖 7. Équilibre à deux glisseurs

★ À maîtriser

• Un système en équilibre soumis à deux glisseurs possède deux résultantes opposées, de même direction et de même norme, et leurs droites supports sont confondues avec la droite passant par les points d’application.

📐 Formule — Pour deux glisseurs appliqués en A et B, l’équilibre impose $\vec F_1+\vec F_2=\vec 0$ et $\overrightarrow{AB}\wedge\vec F_2=\vec 0$.

Compléments

📐 Formule — En notant $\vec u=\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|}$, les deux actions s’écrivent $\vec F_1=F\vec u$ et $\vec F_2=-F\vec u$, de sorte qu’il ne reste qu’une inconnue F.

📖 8. Isolement et application du PFS

★ À maîtriser

• Pour recenser les actions extérieures, on entoure l’ensemble isolé sur le graphe de structure et chaque trait coupé par la frontière d’étude correspond à une action mécanique extérieure.

• Appliquer le PFS consiste à exprimer les moments en un même point si nécessaire, sommer les résultantes et les moments des actions extérieures, puis effectuer les projections nécessaires.

Compléments

📐 Formule — Chaque action mécanique extérieure est modélisée par un torseur $\{\mathcal T_{i\to j}\}_P=\left\{\begin{array}{c}\vec R_{i\to j}\\\vec M_{P,i\to j}\end{array}\right.$ au point P.

📌 La résolution numérique doit être effectuée après vérification de l’homogénéité des relations.

💡 Astuce mémo

Frontière coupée → actions extérieures → résultantes et moments.

📖 9. Unités des efforts et moments

★ À maîtriser

• Le choix des unités de longueur et d’effort détermine l’unité des moments, par exemple N·m lorsque les longueurs sont en mètres et les forces en newtons, ou N·mm lorsque les longueurs sont en millimètres.

📐 Formule — Les unités de pression usuelles vérifient $1\,\mathrm{Pa}=1\,\mathrm{N\,m^{-2}}$, $1\,\mathrm{MPa}=10^6\,\mathrm{Pa}=1\,\mathrm{N\,mm^{-2}}$ et $1\,\mathrm{bar}=10^5\,\mathrm{Pa}$.

Compléments

📌 Lors de toute application numérique, l’unité utilisée doit être explicitement précisée, notamment pour les moments qui peuvent être exprimés en N·m, daN·m ou mN·m.