Convexité — définition ?
Courbe au-dessus de ses tangentes, f'' > 0.
Limite en -∞ de exp(x)
0, la fonction tend vers zéro.
exp(x) vs x^n — croissance ?
exp(x) croît plus vite que tout polynôme.
Dérivée de ln(x)
1/x, pour x > 0.
Signe de f′(x) = (2x - 8)exp(x)
Dépend de 2x - 8, positif si x > 4.
Points d’inflexion — condition ?
f''(a)=0 et changement de signe de f''.
Convexité f(x)=2e^x/(x-3) — étude ?
Analyser le signe de f''(x).
Dérivée seconde de f(x)
f''(x), indique convexité ou concavité.
Signe de f′′(x) — implication ?
f'' > 0 convexité; f'' < 0 concavité.
Points d’inflexion — caractéristique ?
Changement de signe de f'' en un point.
Limite en 3 de f(x)
Déterminée par comportement en x→3, asymptote possible.
Limite en -∞ de f(x)
0, fonction tend vers zéro.
Convexité exp(x) — propriété ?
Toujours convexe, f'' > 0.
Limite exp(x) en -∞
0, décroît exponentiellement.
Croissance exp(x) vs x^n — limite ?
exp(x)/x^n → +∞ quand x→+∞.
Dérivée de ln(x) — domaine ?
x > 0, dérivée = 1/x.
Signe de f′(x) = (2x-8)exp(x) — quand croît/décroît ?
Décroît si x<4, croît si x>4.
Points d’inflexion — exemple classique
f(x)=x^3, en 0, changement de convexité.
Convexité de f(x)=2e^x/(x-3) — condition
Signes de f''(x).
Dérivée seconde — rôle ?
Étudier convexité, points d’inflexion.
Signe de f′′(x) — relation avec convexité
f'' > 0 convexité, f'' < 0 concavité.
Points d’inflexion — en résumé
f''=0 et changement de signe.
Limite en 3 de f(x) — résultat ?
Pas finie, asymptote verticale.
Limite en -∞ de f(x) — résultat ?
0, décroît exponentiellement.
Teste tes connaissances avec un QCM de 12 questions sur Analyse de la croissance et convexité des fonctions exponentielles.
1. Que signifie la convexité de la fonction exponentielle e^x sur ℝ ?
2. Quelle est la limite en -∞ de la fonction exp(x) ?
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