QCM : Analyse des distances et produits matriciels en génétique — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans la distance génétique par angle, quelle quantité sert de base à la mesure de dissimilarité entre deux populations ?

La différence coordonnée par coordonnée de leurs fréquences
La somme de toutes les fréquences des deux populations
L’angle entre leurs vecteurs de fréquences
Le déterminant de la matrice des fréquences

L’angle entre leurs vecteurs de fréquences

Explication

La distance est définie ici à partir de l’angle entre les vecteurs de fréquences des populations. Ce n’est pas la norme de la différence, qui correspond à une autre mesure.

2. Pour comparer deux populations par cette méthode, quelle représentation des fréquences utilise-t-on ?

Un scalaire obtenu en additionnant les fréquences
Un vecteur colonne contenant les fréquences des allèles
Une matrice carrée des fréquences
Un vecteur ligne triant les allèles par ordre alphabétique

Un vecteur colonne contenant les fréquences des allèles

Explication

On construit pour chaque population un vecteur colonne de fréquences, avec les composantes dans l’ordre du tableau. Cette représentation permet ensuite de calculer l’angle entre les vecteurs.

3. Dans la distance génétique par norme de différence, quelle expression définit la distance entre deux populations ?

La somme des normes de X1 et X2
La norme de X1−X2
L’angle entre X1 et X2
Le produit scalaire de X1 et X2

La norme de X1−X2

Explication

La distance est définie par la norme du vecteur différence X1−X2. L’angle relève de l’autre méthode de comparaison.

4. Quelle étape précède immédiatement le calcul de la distance par norme de différence ?

Transposer les vecteurs de fréquences
Calculer le vecteur différence entre les fréquences
Diagonaliser la matrice des fréquences
Calculer le produit des fréquences des deux populations

Calculer le vecteur différence entre les fréquences

Explication

On calcule d’abord X1−X2, puis on prend sa norme. Les autres opérations ne font pas partie de cette définition.

5. Quand un produit matrice-vecteur est défini, quel type d’objet obtient-on en résultat ?

Un vecteur
Un scalaire
Une liste de fréquences
Une matrice carrée

Un vecteur

Explication

Un produit matrice-vecteur produit un vecteur. Un produit matrice-matrice donne, lui, une matrice.

6. Quelle condition rend un produit de matrices possible ?

Les coefficients des deux matrices doivent être tous non nuls
Les deux matrices doivent être carrées de même taille
Le nombre de colonnes de la première matrice doit égaler le nombre de lignes de la seconde
Les deux matrices doivent avoir le même déterminant

Le nombre de colonnes de la première matrice doit égaler le nombre de lignes de la seconde

Explication

La compatibilité des dimensions exige que les colonnes de la première correspondent aux lignes de la seconde. C’est la condition générale de définition du produit matriciel.

7. Que fait la transposition d’une matrice ?

Elle échange les lignes et les colonnes
Elle rend la matrice diagonale
Elle inverse tous les signes des coefficients
Elle multiplie tous les coefficients par zéro

Elle échange les lignes et les colonnes

Explication

La transposée s’obtient en échangeant lignes et colonnes. Cette modification change aussi les dimensions et donc les produits possibles.

8. Après avoir transposé des matrices, pourquoi faut-il refaire les calculs de produits possibles ?

Parce que les matrices transposées sont toujours carrées
Parce que la valeur des vecteurs X et Y change automatiquement
Parce que la transposition annule les produits déjà calculés
Parce que les dimensions changent et la compatibilité peut être différente

Parce que les dimensions changent et la compatibilité peut être différente

Explication

La transposition modifie les tailles des matrices, ce qui peut rendre certains produits possibles ou impossibles. Il faut donc vérifier à nouveau la compatibilité.

9. Quelle égalité caractérise une matrice idempotente ?

M^2 = M
M^2 = 0
M + M = 0
M^3 = I

M^2 = M

Explication

Une matrice idempotente vérifie exactement M^2 = M. La nilpotence correspond au contraire à l’annulation d’une puissance.

10. Quelle propriété définit une matrice nilpotente ?

On a toujours M^2 = M
Il existe un entier p tel que M^p = 0
Sa transposée est égale à son opposée
Son inverse est égale à elle-même

Il existe un entier p tel que M^p = 0

Explication

Une matrice nilpotente devient nulle à une puissance suffisamment grande. Cela la distingue de l’idempotence, où le carré redonne la matrice.

11. Que peut-on conclure en général si AB et BA sont calculés et donnent des résultats différents ?

Que la multiplication matricielle n’est pas commutative
Que AB est toujours nul
Que les matrices sont forcément diagonales
Que BA doit être l’inverse de AB

Que la multiplication matricielle n’est pas commutative

Explication

Si AB et BA diffèrent, cela illustre la non-commutativité du produit matriciel. L’ordre des facteurs compte donc dans le calcul.

12. Pour deux matrices données A et B, quel calcul doit être fait dans l’ordre demandé ?

Calculer d’abord AB puis BA
Calculer seulement AB, car BA est identique
Calculer seulement la somme A+B
Calculer les transposées avant tout produit

Calculer d’abord AB puis BA

Explication

Le produit doit être effectué dans l’ordre imposé, car changer l’ordre peut changer le résultat. C’est précisément l’intérêt de comparer AB et BA.

13. Pour que AB soit la matrice nulle, quelle condition doit être satisfaite ?

Tous les coefficients du produit AB doivent être nuls
La matrice B doit être inversible
Seulement un coefficient du produit AB doit être nul
La matrice A doit être diagonale

Tous les coefficients du produit AB doivent être nuls

Explication

Un produit matriciel nul signifie que chaque coefficient du produit est nul. Il faut donc annuler simultanément toutes les expressions obtenues.

14. Dans la recherche des conditions sur a, b, c et d, d’où viennent les équations à résoudre ?

Du calcul de BA à la place de AB
De la somme des coefficients de A
De l’annulation simultanée des coefficients de AB
De la transposition de B

De l’annulation simultanée des coefficients de AB

Explication

Les contraintes sur les paramètres proviennent des coefficients du produit AB, qu’il faut tous imposer égaux à zéro. C’est cette annulation simultanée qui donne le système d’équations.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 14 flashcards sur Analyse des distances et produits matriciels en génétique.

Distance par angle — définition ?

Mesure de dissimilarité basée sur l’angle entre vecteurs.

Distance par norme — définition ?

Mesure basée sur la norme de la différence entre vecteurs.

Produit matrice-vecteur — rôle ?

Transforme un vecteur par une matrice compatible.

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