QCM : Analyse des fonctions polynômes du second degré — 7 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quand la formule du sommet $ ext{α} = - rac{b}{2a}$ pour une fonction polynôme du second degré a-t-elle été établie ou publiée dans le cadre des mathématiques modernes ?

Au début du XVIIIe siècle, avec l’ouvrage de Leibniz sur le calcul différentiel
À la fin du XIXe siècle, avec le développement de la géométrie projective
Au milieu du XIXe siècle, lors de la formalisation de l’analyse algébrique
Au début du XVIIe siècle, lors de l’avènement de la géométrie analytique de Descartes

Au milieu du XIXe siècle, lors de la formalisation de l’analyse algébrique

Explication

La formule du sommet $ ext{α} = - rac{b}{2a}$ est une propriété établie et publiée principalement au XIXe siècle, lors de la formalisation de l’analyse algébrique et de l’étude systématique des paraboles dans le cadre de l’algèbre moderne.

2. Qu'est-ce que la forme développée d'une parabole ?

Une représentation graphique de la parabole.
Une approximation numérique de la parabole.
Une expression algébrique sous la forme $ax^2 + bx + c$.
Une méthode géométrique pour tracer la parabole.

Une expression algébrique sous la forme $ax^2 + bx + c$.

Explication

La forme développée d'une parabole est son expression algébrique standard $ax^2 + bx + c$, qui permet de décrire la fonction polynôme du second degré sous une forme simple et explicite.

3. Quel est l'effet principal de présenter une parabole sous sa forme factorisée ?

Elle permet d'identifier directement ses racines, facilitant ainsi la localisation de la parabole
Elle simplifie la résolution de l'équation en évitant toute factorisation
Elle facilite la détermination de son sommet sans calculs supplémentaires
Elle permet de connaître le coefficient de convexité de la parabole

Elle permet d'identifier directement ses racines, facilitant ainsi la localisation de la parabole

Explication

La forme factorisée d'une parabole affiche directement ses racines, ce qui facilite leur localisation précise ainsi que la compréhension de la position de la parabole par rapport à l'axe des x.

4. Quelle formule exprime la coordonnée en abscisse du sommet d'une parabole en forme canonique ?

α = 2a/b
α = b/2a
α = –c/b
α = –b/2a

α = –b/2a

Explication

La coordonnée en abscisse du sommet d'une parabole exprimée en forme canonique f(x) = a(x – α)^2 + β est donnée par la formule α = –b/2a, qui relie cette coordonnée à la forme développée du trinôme. C'est une propriété fondamentale de la forme canonique et permet de localiser directement le sommet.

5. Qui est crédité de la formulation de la méthode utilisant le discriminant pour résoudre une équation du second degré ?

Isaac Newton
Évariste Galois
Gerolamo Cardano
Niels Henrik Abel

Gerolamo Cardano

Explication

Gerolamo Cardano, au XVIe siècle, est crédité d'avoir formulé la méthode de résolution d'une équation quadratique utilisant le discriminant, dans son ouvrage 'Ars Magna'. Newton, Abel et Galois ont travaillé sur d'autres domaines de l'algèbre et de la théorie des équations, mais pas spécifiquement sur cette formule.

6. Quel est le rôle du discriminant du second degré ?

Il permet de déterminer la concavité de la parabole.
Il permet de connaître le nombre et la nature des solutions de l'équation.
Il indique la position du sommet par rapport à l'axe des abscisses.
Il fournit la valeur exacte des solutions de l'équation.

Il permet de connaître le nombre et la nature des solutions de l'équation.

Explication

Le discriminant Δ = b² - 4ac indique si l'équation du second degré possède deux solutions distinctes, une solution unique ou aucune solution réelle, en fonction de sa valeur. Il n'indique pas directement la concavité, la position du sommet ou la valeur précise des solutions.

7. Comment appliquer le signe du trinôme pour déterminer si la fonction f(x) = 2x^2 - 4x - 6 est positive ou négative en x = 3 ?

Vérifier si 3 est entre ou en dehors des racines du trinôme, en utilisant le discriminant.
Trouver le sommet de la parabole, puis analyser sa position par rapport à x=3.
Calculer la valeur de f(3) directement et vérifier son signe.
Regarder simplement le signe de a, puisque la parabole est tournée vers le haut.

Vérifier si 3 est entre ou en dehors des racines du trinôme, en utilisant le discriminant.

Explication

Pour appliquer le signe du trinôme en un point précis, il faut connaître la position de ce point par rapport aux racines, ce qui nécessite de calculer le discriminant. Ensuite, on peut déduire le signe de la fonction en ce point en fonction de la position relative aux racines et de la concavité (signe de a). La réponse 2 est correcte car elle utilise la position du sommet et la relation avec les racines pour analyser le signe en x=3.

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Fonction polynôme du second degré — définition ?

Fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a eq 0$.

Forme développée parabole — rôle ?

Représente la formule standard $ax^2 + bx + c$.

Forme factorisée parabole — rôle ?

Exprime la fonction sous $a(x - u)(x - v)$ pour racines $u,v$.

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