Fiche de révision : Analyse des fonctions quadratiques et suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Second degré
2. Suites numériques
3. Dérivation
4. Probabilités conditionnelles
5. Applications de la dérivation
6. Fonction exponentielle
7. Produit scalaire et cercles

📖 1. Second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme : Un trinôme est une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\\mathbb{R}$ par $A(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\\neq 0$.
• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme écrit la fonction comme $A(x)=a(x-\\alpha)^2+\\beta$ où $\\alpha$ donne l’abscisse du sommet et $\\beta$ sa valeur.
• Discriminant : Le discriminant $\\Delta$ d’un trinôme est $\\Delta=b^2-4ac$ et détermine le nombre de solutions de l’équation $A(x)=0$.

📝 Points essentiels

• Si \\Delta<0, l’équation $A(x)=0$ n’a pas de solution réelle et $A(x)$ garde le signe de $a$ sur $\\mathbb{R}$.
• Si $\\Delta=0$, l’équation $A(x)=0$ admet une unique solution réelle $\\alpha=-\\dfrac{b}{2a}$ et $A(x)$ est toujours de signe $a$.
• Si \\Delta>0, l’équation $A(x)=0$ admet deux solutions $x_1=\\dfrac{-b+\\sqrt\\Delta}{2a}$ et $x_2=\\dfrac{-b-\\sqrt\\Delta}{2a}$, et $A(x)$ a le signe de $a$ en dehors de $x_1$ et $x_2$.
• Quand \\Delta>0, on a $x_1+x_2=-\\dfrac{b}{a}$ et $x_1x_2=\\dfrac{c}{a}$, ce qui permet de retrouver une factorisation $A(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

💡 Astuce mémo

\u0394 = b^2 - 4ac : \u221e si \u0394>0 (2 racines), 0 si \u0394=0 (1 racine), \u2192 pas de racine si \u0394<0.

📖 2. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction définie sur N, qui associe à chaque entier naturel n un terme noté u(n).
• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique s’il existe un réel r tel que u{n+1}=u(n)+r pour tout n ; r est la raison.
• Suite géométrique : Une suite est géométrique s’il existe un réel q tel que u{n+1}=q\times u(n) pour tout n ; q est la raison.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique de raison r, on a u(n) = u(k) + (n-k)r et en particulier u(n) = u(0) + nr pour tout n.
• Pour une suite géométrique de raison q, on a u(n) = u(p)\times q^(n-p) et en particulier u(n) = u(0)\times q^n pour tout n.
• Si q \neq 1, alors 1+q+q^2+…+q^n = (1-q^(n+1))/(1-q).
• Intérêt composé : si le capital augmente de 2% par an, alors C(n+1)=1,02\times C(n) et C(n)=6000\times 1,02^n.

📖 3. Dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement est le rapport entre la variation de la fonction et la variation de l’abscisse, entre a et a+h avec h ≠ 0.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé en a est la limite du taux d’accroissement quand h tend vers 0, notée f′(a) si elle existe.
• Tangente à la courbe : La tangente en a est la droite passant par (a; f(a)) dont le coefficient directeur est f′(a) lorsque f est dérivable en a.

📝 Points essentiels

• Si f est dérivable en a, l’équation réduite de la tangente en abscisse a est y = f′(a)(x−a)+f(a).
• Pour f dérivable sur I, la fonction dérivée est définie par f′(x) et f est dérivable en tout point de I.
• Règles de dérivation utiles : (k·u)′=k·u′, (u+v)′=u′+v′, (u·v)′=u′v+uv′ et (u/v)′=(u′v−uv′)/v² (v≠0).

💡 Astuce mémo

Nombre dérivé = vitesse limite : f′(a) = lim(Δf/Δx) quand Δx→0.

📖 4. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité sachant A : La probabilité conditionnelle de B sachant A mesure la probabilité de B en supposant que A s’est produit, via le rapport entre les probabilités de A∩B et de A.
• Indépendance des événements : Deux événements sont indépendants quand la probabilité de leur intersection vaut le produit de leurs probabilités, donc le fait que l’un arrive ne modifie pas l’autre.
• Arbre pondéré : Un arbre pondéré représente une succession d’événements avec leurs probabilités conditionnelles, ce qui permet de calculer des probabilités d’intersection en multipliant les branches.

📝 Points essentiels

• Si P(A)≠0 alors $P_A(B)=\\dfrac{P(A\\cap B)}{P(A)}$ et donc $P(A\\cap B)=P(A)\\times P_A(B)$.
• Si A et B sont indépendants alors $P(A\\cap B)=P(A)\\times P(B)$ et ainsi $P_A(B)=P(B)$ quand $P(A)\\neq 0$.
• Sur un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin correspondant à $A\\cap D$ s’obtient en multipliant les probabilités rencontrées, par exemple $P(A\\cap D)=P(A)\\times P_A(D)$.
• Pour une partition de l’univers, on additionne les probabilités des chemins menant à l’événement en passant par chaque partie de la partition, comme dans la formule des probabilités totales.

💡 Astuce mémo

Conditionnel = réduction du problème : on divise par P(A), donc $P(A\\cap B)$ devient $P(A)\\times P_A(B)$.

📖 5. Applications de la dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe de la dérivée : Le signe de la dérivée $f'(x)$ indique si la fonction $f$ augmente ou diminue localement selon que $f'(x)$ est positif ou négatif.
• Tableau de variations : Le tableau de variations résume le signe de $f'(x)$ et le sens des variations de $f$ sur les intervalles séparés par les zéros de $f'$.
• Tangente parallèle : Une tangente à la courbe de $f$ est parallèle à une droite $d$ si sa pente en son point de tangence est égale à la pente de $d$.

📝 Points essentiels

• Si $f'(x)\\ge 0$ sur $I$ (sauf éventuellement des zéros isolés), alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x)\\le 0$ sur $I$ (sauf éventuellement des zéros isolés), alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x)=0$ pour tout $x\\in I$, alors $f$ est constante sur $I$.
• Pour une tangente en $x_0$ parallèle à $d: y=ax+b$, on impose $f'(x_0)=a$ puis on détermine $f(x_0)$ pour écrire l’équation de la tangente.

💡 Astuce mémo

f' &gt; 0 : ça monte ; f' &lt; 0 : ça descend ; $f' = 0$ : constant.

📖 6. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle exp : La fonction exponentielle est la fonction dérivable sur ℝ qui vérifie $f'(x)=f(x)$ et $f(0)=1$.
• Notations $e^x$ et exp $x$ : On note $e^x$ l’image de $x$ par la fonction exponentielle, et donc $e^0=1$ et $e^1=e$.
• Règles de calcul exponentielles : Les puissances vérifient des identités qui relient des sommes de l’exposant à des produits de valeurs et permettent aussi des comparaisons.

📝 Points essentiels

• Sur ℝ, on a $(e^x)'=e^x$ et $e^x$ est strictement positive et strictement croissante.
• Pour tous réels $a$ et $b$, $e^a=e^b$ équivaut à $a=b$, et e^a&lt;e^b équivaut à a&lt;b.
• Pour tous réels $x$ et $y$, on a $e^{x+y}=e^x e^y$ et $e^{x-y}=e^x/e^y$, avec $e^{-x}=1/e^x$.
• Pour $u$ dérivable sur un intervalle, la fonction $x\\mapsto e^{u(x)}$ est dérivable et $(e^{u})'=u'e^{u}$.

💡 Astuce mémo

Dérivée = copie : la fonction exponentielle et sa dérivée sont identiques ($,(e^x)'=e^x,$), et la base $e$ respecte l’ordre (a&lt;b\\Rightarrow e^a&lt;e^b).

📖 7. Produit scalaire et cercles

🔑 Notions clés & Définitions

• Radian : Un radian est la mesure d’un angle qui intercepte sur le cercle trigonométrique un arc de longueur 1.
• Cosinus : Le cosinus de x est la coordonnée en abscisse du point associé à x sur le cercle trigonométrique.
• Sinus : Le sinus de x est la coordonnée en ordonnée du point associé à x sur le cercle trigonométrique.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est égal à 0.
• Dans un repère orthonormé, si $\\vec u(x;y)$ et $\\vec v(x';y')$ alors $\\vec u\\cdot \\vec v=xx'+yy'$.
• Si un cercle a pour centre $\\Omega(a;b)$ et rayon $R$, son équation cartésienne est $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$.
• Pour deux vecteurs colinéaires de même sens, $\\vec{AB}\\cdot\\vec{AC}=AB\\times AC$, et de sens contraires, $\\vec{AB}\\cdot\\vec{AC}=-AB\\times AC$.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Second degré : rôle du discriminant

Suites : arithmétique vs géométrique

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre discriminant Δ=b^2−4ac et le produit x1x2=c/a (ou x1+x2=−b/a) quand Δ>0.
2. Utiliser la mauvaise formule de la forme canonique : confondre α=−b/(2a) et β=f(α), ou oublier que A(x)=a(x−α)^2+β.
3. Dire que Δ<0 implique “factorisation” alors que le cours précise : pas de factorisation et A(x) garde le signe de a.
4. Pour les suites arithmétiques, confondre u_n=u_p+(n−p)r avec une formule “en q^n” (réservée aux suites géométriques).
5. Pour les suites géométriques, oublier que la somme géométrique donnée nécessite q≠1.
6. En dérivation, prendre la tangente comme “y=f(x)” ou oublier l’équation réduite y=f′(a)(x−a)+f(a).
7. En probabilités conditionnelles, confondre P_A(B)=P(A∩B)/P(A) avec une simple multiplication sans diviser par P(A).

✅ Checklist Examen

1. Second degré : identifier a,b,c d’un trinôme A(x)=ax^2+bx+c et calculer Δ=b^2−4ac.
2. Second degré : traiter séparément Δ<0, Δ=0, Δ>0 et conclure sur le nombre de solutions réelles et la factorisation.
3. Second degré : quand Δ>0, calculer x1 et x2 et vérifier/ utiliser x1+x2=−b/a et x1x2=c/a.
4. Suites : reconnaître arithmétique (raison r) et géométrique (raison q) à partir de la relation de récurrence.
5. Suites : utiliser les formules u_n=u_0+nr (arithmétique) et u_n=u_0×q^n (géométrique) avec les indices attendus.
6. Suites : maîtriser la somme géométrique 1+q+…+q^n=(1−q^{n+1})/(1−q) pour q≠1.
7. Dérivation : savoir ce que représentent taux d’accroissement et nombre dérivé f′(a) comme limite quand h→0.
8. Dérivation : appliquer les règles de dérivation utiles (k·u, u+v, u·v, u/v) pour recomposer f′.
9. Applications de la dérivation : déduire le sens de variation d’une fonction à partir du signe de f′ sur chaque intervalle.
10. Fonction exponentielle : utiliser (e^x)'=e^x, e^{x+y}=e^x e^y, et e^a<e^b ⇔ a<b ; e^a=e^b ⇔ a=b.
11. Probabilités conditionnelles : appliquer P_A(B)=P(A∩B)/P(A), puis P(A∩B)=P(A)×P_A(B).
12. Produit scalaire et cercles : utiliser produit scalaire (vecteurs colinéaires), orthogonalité (u·v=0), et équations de cercle (x−a)^2+(y−b)^2=R^2.