QCM : Analyse des propriétés d'une parabole du second degré — 9 questions

Explication

La forme développée d’un polynôme du second degré est $f(x) = ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$, et $c$ sont des réels, avec $a eq 0$. Elle permet d’identifier directement les coefficients du trinôme et de l’étudier graphiquement ou analytiquement.

Explication

La formule correcte pour $eta$ dans la forme canonique est $eta = -rac{ riangle}{4a}$, où $ riangle = b^2 - 4ac$, ce qui correspond à l’option 2. Cette formule permet de déterminer la valeur de $eta$, l’ordonnée du sommet, en fonction du discriminant et du coefficient $a$. Les autres options sont incorrectes car elles ne correspondent pas à la formule standard ou contiennent des erreurs dans la relation avec $ riangle$.

Explication

Le signe de $a$ détermine si la parabole a un minimum (pour $a > 0$) ou un maximum (pour $a < 0$), ce qui influence directement le sens de variation de la fonction autour du sommet.

Explication

La formule pour l'axe de symétrie x = -b/(2a) est liée à la formalisation de la résolution des équations quadratiques, qui a été largement développée au XVIIe siècle, notamment par René Descartes dans son ouvrage 'La Géométrie' publié en 1637. C'est à cette période que cette propriété a été systématisée et publiée.

Explication

La forme canonique $f(x) = a(x - ext{α})^2 + ext{β}$ met en évidence le sommet et l’axe de symétrie, et se construit à partir de la forme développée $ax^2 + bx + c$ en complétant le carré, en utilisant $ ext{α} = -b/(2a)$ et $ ext{β} = -rac{ ext{Δ}}{4a}$. La première option explique correctement leur relation et leur utilité, contrairement aux autres qui sont incorrectes ou incomplètes.

Explication

Carl Friedrich Gauss a systématisé et formalisé la résolution des équations quadratiques, y compris la relation entre le discriminant et le nombre de solutions. La formule du discriminant, b² - 4ac, est une propriété fondamentale de la résolution quadratique, souvent attribuée à la contribution de Gauss dans la formalisation de cette méthode.

Explication

Connaître la somme et le produit des racines permet de factoriser rapidement le trinôme en produits de premiers degrés, ce qui facilite sa résolution. La somme des racines est donnée par -b/a, et leur produit par c/a, ce qui permet de retrouver facilement les racines ou de vérifier leur cohérence.

Explication

La factorisation d’un polynôme du second degré en facteurs du premier degré est réalisée en déterminant ses racines via la formule x = (-b ± √Δ)/(2a). Lorsque Δ ≥ 0, ces racines permettent d’écrire le polynôme sous la forme a(x - x_1)(x - x_2), où x_1 et x_2 sont les racines trouvées. La réponse 0 décrit précisément cette démarche, en combinant la détermination des racines et leur utilisation pour la factorisation.

Explication

La propriété clé est que si le discriminant Δ est négatif, la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses, donc la fonction n'annule jamais et a le même signe que le coefficient a, c'est-à-dire un signe constant sur tout ℝ.