Fiche de révision : Analyse des variations et extrema

📋 Plan du Cours

1. Nombre dérivé en analyse
2. Calcul coefficient directeur
3. Tangente à une courbe
4. Limite du taux d'accroissement
5. Dérivabilité fonctions usuelles
6. Signe de la dérivée
7. Savoir faire dériver
8. Extremums locaux
9. Théorème de l'extremum
10. Applications variation fonctions
11. Position relative courbes

📖 1. Nombre dérivé en analyse

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : DÉFINITION : La pente de la tangente à la courbe d'une fonction $f$ en un point d'abscisse $a$. Il mesure la rapidité de variation instantanée de la fonction en ce point.
• Lien entre taux d'accroissement et nombre dérivé : CONCEPT : Le nombre dérivé en $a$ est la limite du taux d'accroissement lorsque l'écart $h$ tend vers zéro, c'est-à-dire $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
• Interprétation graphique du nombre dérivé : POINT ESSENTIEL : Sur une courbe, le nombre dérivé en $a$ correspond à la pente de la droite tangente à la courbe en ce point. La limite du taux d'accroissement donne cette pente.
• Limite du taux d'accroissement : DÉFINITION : La limite $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ qui, si elle existe, définit le nombre dérivé $f'(a)$. Elle représente la pente de la tangente en $a$.

📝 Points essentiels

• La notion de nombre dérivé est introduite comme la pente de la tangente à la courbe en un point, ce qui permet d’étudier la variation locale de la fonction (voir section 3).
• La limite du taux d’accroissement lorsque $h \to 0$ est fondamentale pour définir le nombre dérivé (voir section 4).
• La dérivabilité en un point implique l’existence du nombre dérivé en ce point, qui correspond à la pente de la tangente (voir section 9).
• La limite du taux d’accroissement est aussi interprétée graphiquement comme la pente de la droite tangente à la courbe en un point donné (voir section 3).

💡 À retenir

Le nombre dérivé en un point est la limite du taux d’accroissement lorsque l’écart horizontal tend vers zéro, représentant la pente instantanée de la courbe à cet endroit.

📖 2. Calcul coefficient directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur d'une droite : AUTEUR (Déc 2025) : La pente d'une droite, c'est-à-dire le nombre qui mesure son inclinaison, représenté par la lettre m. Il indique la variation de y en fonction de x le long de la droite.
• Calcul du coefficient directeur entre deux points : AUTEUR (Déc 2025) : Si A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂) sont deux points distincts d'une droite, alors le coefficient directeur m est donné par la formule :
  $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
• Lien entre coefficient directeur et taux de variation : AUTEUR (Déc 2025) : Le coefficient directeur d'une droite s'interprète comme le taux de variation moyen de la fonction entre deux points, c'est-à-dire la pente de la sécante reliant ces points.
• Formule du coefficient directeur : AUTEUR (Déc 2025) :
  $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  où (x₁, y₁) et (x₂, y₂) sont deux points distincts de la droite.

📝 Points essentiels

• La formule $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ permet de calculer la pente d'une droite à partir de deux points distincts.
• La pente m indique si la droite est croissante (m > 0), décroissante (m < 0), ou constante (m = 0).
• La notion de coefficient directeur est essentielle pour relier la géométrie de la droite à la variation de la fonction ou de la trajectoire.
• La pente d'une droite est aussi le taux de variation moyen de la fonction entre deux points, ce qui relie directement la géométrie à l'analyse.
• La pente est définie uniquement pour une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, car dans ce cas $x_2 - x_1 \neq 0$.

💡 À retenir

Le coefficient directeur d'une droite, calculé par la formule $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, représente la pente ou le taux de variation moyen entre deux points, permettant de relier la géométrie de la droite à la variation d'une fonction ou d'une trajectoire.

📖 3. Tangente à une courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente à une courbe en un point : Droite qui touche la courbe en ce point sans la couper localement, représentant la direction instantanée de la courbe en ce point. (Source : étude locale, 1SPE CH 4)

• Propriété que la tangente passe par le point d'abscisse a : La tangente à la courbe en un point d'abscisse a passe par ce point précis, c'est-à-dire que ses coordonnées vérifient l'équation de la tangente. (Source : étude locale, 1SPE CH 4)

• Équation réduite de la tangente : La formule y = f'(a)(x - a) + f(a), où f'(a) est la pente (nombre dérivé) en a, et (a, f(a)) le point de tangence. Elle donne l'équation de la droite tangente au point d'abscisse a. (Source : étude locale, 1SPE CH 4)

• Lien entre tangente et nombre dérivé : La pente de la tangente à la courbe en un point est égale au nombre dérivé de la fonction en ce point, c'est-à-dire que f'(a) est la pente de la tangente en a. (Source : étude locale, 1SPE CH 4)

📝 Points essentiels

• La tangente à une courbe en un point est la limite des sécantes lorsque le point d'abscisse tend vers a, et sa pente est le nombre dérivé f'(a). La formule de l'équation de la tangente est donnée par y = f'(a)(x - a) + f(a).

• La propriété que la tangente passe par le point d'abscisse a est immédiate puisque, en ce point, l'équation réduite de la tangente donne y = f(a), correspondant à la coordonnée du point de contact.

• La relation entre la tangente et le nombre dérivé est fondamentale : le nombre dérivé en a est la pente de la tangente en ce point, ce qui relie géométrie et analyse locale.

• La limite du taux d'accroissement (voir section 4) lorsque h tend vers 0 permet d'obtenir la pente de la tangente, c'est-à-dire le nombre dérivé.

💡 À retenir

La tangente à une courbe en un point est la droite qui a pour pente le nombre dérivé en ce point, et son équation réduite s'écrit y = f'(a)(x - a) + f(a).

📖 4. Limite du taux d'accroissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite du taux d'accroissement (voir section 1) : La valeur vers laquelle tend le rapport $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ lorsque $h$ tend vers 0, c'est-à-dire lorsque l'écart horizontal $h$ devient infinitésimal. Elle définit la pente instantanée de la courbe en $a$.

• Interprétation comme nombre dérivé (voir section 1) : La limite du taux d'accroissement lorsque $h \to 0$ est le nombre dérivé $f'(a)$, qui représente la pente de la tangente à la courbe en $a$.

• Exemple de calcul de limite du taux d'accroissement : Pour la fonction $f(x) = x^2$, le taux d'accroissement entre $a$ et $a+h$ est $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$. En faisant tendre $h \to 0$, cette limite est $2a$, qui est le dérivé $f'(a)$.

• Lien entre limite du taux d'accroissement et dérivabilité (voir section 1) : La fonction $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si la limite du taux d'accroissement $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ existe. Cette limite, si elle existe, est le nombre dérivé $f'(a)$.

📝 Points essentiels

• La limite du taux d'accroissement quand $h \to 0$ permet de définir la dérivabilité locale d'une fonction en un point $a$.
• La limite est souvent notée $f'(a)$ et correspond à la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• Lorsqu'on calcule cette limite pour une fonction donnée, on obtient le nombre dérivé en ce point, qui indique la vitesse instantanée ou la pente instantanée.
• Exemple illustratif : pour $f(x) = x^2$, le taux d'accroissement entre $a$ et $a+h$ tend vers $2a$, ce qui correspond à la dérivée $f'(a) = 2a$.

💡 À retenir

La limite du taux d'accroissement lorsque $h$ tend vers 0 définit le nombre dérivé, qui représente la pente instantanée de la courbe en un point et conditionne la dérivabilité locale de la fonction.

📖 5. Dérivabilité fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Constante : La fonction $f(x) = k$, où $k$ est un réel, est dérivable sur tout intervalle, et sa dérivée est nulle : $f'(x) = 0$. (Formules de dérivées des fonctions usuelles)

• Identité : La fonction $f(x) = x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, avec sa dérivée constante : $f'(x) = 1$. (Formules de dérivées des fonctions usuelles)

• Carré : La fonction $f(x) = x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et sa dérivée est $f'(x) = 2x$. (Formules de dérivées des fonctions usuelles)

• Cube : La fonction $f(x) = x^3$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $f'(x) = 3x^2$. (Formules de dérivées des fonctions usuelles)

• Fonction racine carrée : La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+ \setminus \{0\}$, avec $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. En $x=0$, la dérivabilité n'est pas assurée car la pente tend vers l'infini. (Dérivabilité de la fonction racine carrée)

• Valeur absolue : La fonction $f(x) = |x|$ n'est pas dérivable en $x=0$ à cause d'un point anguleux, mais est dérivable ailleurs avec $f'(x) = 1$ si $x>0$, et $f'(x) = -1$ si $x<0$. (Cas de non-dérivabilité)

📝 Points essentiels

• La dérivabilité d'une fonction $f$ sur un intervalle implique que $f$ est localement approchable par une droite tangente en chaque point où elle est dérivable, avec la pente donnée par $f'(x)$.

• Les formules de dérivées des fonctions usuelles permettent de calculer rapidement la dérivée de fonctions simples : constantes, identités, puissances, racines, etc. (Formules de dérivées des fonctions usuelles)

• La fonction racine carrée est dérivable sur $\mathbb{R}^+\setminus\{0\}$, mais présente une tangente verticale en $x=0$, ce qui empêche sa dérivabilité en ce point.

• La fonction valeur absolue possède un point anguleux en $x=0$, rendant la dérivée non définie en ce point.

• La dérivabilité peut échouer en des points spécifiques, notamment en points anguleux ou en points où la pente tend vers l'infini (tangente verticale).

💡 À retenir

Les fonctions usuelles sont dérivables sur leurs domaines respectifs, à l'exception de certains points où la courbe présente un point anguleux ou une tangente verticale, ce qui empêche la dérivation en ces points.

📖 6. Signe de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation entre signe de f' et sens de variation : FONCTION (voir section 10) : si f' (x) ≥ 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle ; si f' (x) ≤ 0, alors f est décroissante. À retenir : le signe de la dérivée indique directement le sens de variation de la fonction.

• Théorème fondamental de la dérivation (voir section 10) : si f' (x) change de signe en un point c où f' (c) = 0, alors f possède un extremum local en c. À retenir : le changement de signe de f' (x) est une condition suffisante pour l'existence d'un extremum local.

• Analyse du signe de f' à partir d'exemples : pour une fonction f(x) = ax² + bx + c, le signe de f' (x) = 2ax + b dépend du discriminant Δ = b² - 4ac. À retenir : le signe de f' (x) est déterminé par le signe de cette dérivée, qui peut être étudié via le discriminant.

📝 Points essentiels

• La relation entre le signe de f' (x) et la variation de f est fondamentale : si f' (x) ≥ 0, alors f est croissante ; si f' (x) ≤ 0, alors f est décroissante. Ces propriétés sont issues du théorème fondamental de la dérivation (voir section 10).

• Lorsqu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I, le changement de signe de f' (x) en un point c où f' (c) = 0 permet d'identifier un extremum local : f possède un maximum ou un minimum en c si f' (x) change de signe en c (voir section 8 et 9).

• L'étude du signe de f' (x) permet aussi de déterminer si la fonction est constante : si f' (x) = 0 pour tout x dans I, alors f est constante (voir section 10).

• La dérivée seconde (voir section 10) peut aussi préciser la nature de l'extrémum : si f'' (c) > 0, alors f a un minimum en c ; si f'' (c) < 0, alors f a un maximum en c.

💡 À retenir

Le signe de la dérivée f' (x) est la clé pour analyser la croissance, la décroissance ou la constance d'une fonction, et pour localiser ses extremums en fonction du changement de signe de f' (x).

📖 7. Savoir faire dériver

🔑 Notions clés & Définitions

• Application des formules de dérivation (somme, produit, quotient) : Méthodes permettant de calculer la dérivée d'une fonction en utilisant des règles spécifiques pour des opérations arithmétiques entre fonctions dérivables, telles que (f + g)' = f' + g', (u v)' = u' v + u v', et (u / v)' = (u' v - u v') / v², avec u et v dérivables (voir section 6).

• Savoir dériver des fonctions composées : Technique consistant à appliquer la règle de la chaîne, qui stipule que si une fonction f est composée d'une fonction g dérivable en x, alors la dérivée de f(g(x)) est f'(g(x)) × g'(x). (AUTEUR : référence implicite à la règle de la chaîne dans le manuel)

• Utilisation des formules pour calculer f'(x) : Processus d'appliquer systématiquement les règles de dérivation pour déterminer la dérivée d'une fonction donnée, en utilisant notamment les formules de dérivation des fonctions usuelles et des opérations (voir section 6).

• Dérivation d'une fonction affine : La dérivée d'une fonction affine de la forme f(x) = ax + b est constante et égale à a, ce qui correspond à la pente de la droite (voir section 6).

• Exercices pratiques de dérivation : Application concrète des règles pour calculer la dérivée de diverses fonctions, permettant de maîtriser la technique et de préparer aux évaluations (voir partie exercices).

📝 Points essentiels

• La dérivée f' d'une fonction f en un point a est la limite du taux de variation lorsque h tend vers 0 :
  $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ Elle représente la pente de la tangente à la courbe en ce point (voir section 1).

• Les règles fondamentales de dérivation incluent la somme, le produit, le quotient, la puissance, l'inverse, et la composition. Leur application permet de dériver rapidement des fonctions complexes en décomposant en opérations simples (voir section 6).

• La dérivée d'une fonction composée f(g(x)) se calcule en utilisant la règle de la chaîne :
  $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \times g'(x)$ Elle est essentielle pour dériver des fonctions plus complexes (voir section 6).

• La dérivée d'une fonction affine est constante, égale à son coefficient directeur, ce qui simplifie le calcul de la pente de la tangente (voir section 6).

• La maîtrise des exercices pratiques permet d'appliquer efficacement les formules et de vérifier la compréhension des règles de dérivation.

💡 À retenir

La dérivation consiste à calculer la pente de la tangente à la courbe en un point en utilisant des règles précises pour les opérations et compositions de fonctions, facilitant ainsi l'étude des variations et des extremums.

📖 8. Extremums locaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum local : Un point $c$ d'une fonction $f$ est un maximum local si, dans un voisinage ouvert $J$ contenant $c$, on a pour tout $x \in J$, $f(x) \leq f(c)$. (Source : généralités en analyse)

• Minimum local : Un point $c$ d'une fonction $f$ est un minimum local si, dans un voisinage ouvert $J$ contenant $c$, on a pour tout $x \in J$, $f(x) \geq f(c)$. (Source : généralités en analyse)

• Critère de dérivabilité pour extremum : Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et si $c$ est un extremum local de $f$, alors $f'(c) = 0$. (Propriété admise)

• Théorème de l'extremum (voir section 9) : Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si $f'$ change de signe en $c$, alors $f(c)$ est un extremum local de $f$. (Source : théorème de l'extremum)

• Extremum local : Un maximum ou minimum local, c’est un extremum où la fonction atteint un sommet ou un creux dans un voisinage immédiat, sans nécessairement être global. (Source : généralités en analyse)

📝 Points essentiels

• La définition d’un extremum local repose sur la comparaison des valeurs de $f$ dans un voisinage de $c$.
• La propriété fondamentale indique que si $f$ est dérivable en $c$ et si $f(c)$ est un extremum local, alors $f'(c) = 0$.
• La réciproque n’est pas toujours vraie : $f'(c) = 0$ ne garantit pas un extremum (exemple : point d’inflexion).
• Le théorème de l’extremum précise que si $f'$ change de signe en $c$, alors $f(c)$ est un extremum local.
• La recherche d’extremums locaux se fait souvent en étudiant le signe de $f'$ autour de $c$.

💡 À retenir

Un extremum local correspond à un point où la dérivée s’annule et où le signe de la dérivée change, indiquant un sommet ou un creux dans la courbe. La condition $f'(c) = 0$ est nécessaire mais pas suffisante pour identifier un extremum.

📖 9. Théorème de l'extremum

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de l'extremum : Si une fonction f est dérivable sur un intervalle ouvert I et admet un extremum local en un point c de I, alors nécessairement, f'(c) = 0 (voir aussi "Conditions nécessaires pour un extremum local").
  Source : PERROUX (date) : "f est dérivable en c et f(c) est un extremum local, alors f'(c) = 0".

• Conditions nécessaires pour un extremum local : Pour qu'un point c d'une fonction f soit un extremum local, il faut que la dérivée f'(c) soit nulle ou indéfinie, mais la condition n'est pas suffisante. La dérivée nulle est une condition nécessaire, pas suffisante.
  Source : PERROUX (date) : "f'(c) = 0" est nécessaire pour un extremum local.

• Interprétation géométrique du théorème : La condition f'(c) = 0 signifie que la tangente à la courbe en c est horizontale, ce qui correspond à un point où la courbe change de sens ou atteint un sommet.
  Source : Approche géométrique classique en analyse.

• Lien avec le changement de signe de la dérivée : Lorsqu'une fonction possède un extremum local en c, la dérivée f' change de signe en c (de positive à négative pour un maximum, ou de négative à positive pour un minimum).
  Source : PERROUX (date) : "f'(c) change de signe en c" si f(c) est un extremum local.

📝 Points essentiels

• Le théorème de l'extremum indique que si f est dérivable sur un intervalle ouvert I et possède un extremum local en c, alors f'(c) = 0.
• La condition est nécessaire mais pas suffisante : un point où f'(c) = 0 peut ne pas être un extremum (exemple : point d'inflexion).
• La variation du signe de f' autour de c permet d'identifier si c est un maximum ou un minimum local :
  • Si f' passe de positif à négatif en c, c est un maximum local.
  • Si f' passe de négatif à positif en c, c est un minimum local.
• La géométrie du graphique montre que l'horizontale (f'(c)=0) correspond à un sommet ou un point d'inflexion, selon le changement de signe de f'.

💡 À retenir

Le théorème de l'extremum relie la dérivée nulle en un point à la présence d’un extremum local, en insistant sur le changement de signe de la dérivée pour identifier la nature de cet extremum.

📖 10. Applications variation fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d'une fonction (voir section 6) : La fonction dérivée f' d'une fonction f est la fonction qui à chaque point a de l'intervalle de définition associe la pente de la tangente à la courbe en ce point, notée f'(a). Elle permet d'étudier le sens de variation de f.

• Signe de la dérivée (voir section 6) : Le signe de f' (a) indique si la fonction f est croissante (f'(a) > 0), décroissante (f'(a) < 0) ou constante (f'(a) = 0) au voisinage de a. Cela permet d'analyser la croissance ou décroissance locale de la fonction.

• Extremum local (voir section 8) : Un point c est un extremum local (maximum ou minimum) si, dans un voisinage de c, la fonction f atteint un maximum ou un minimum. Si f est dérivable en c et que f'(c) = 0, alors c peut être un extremum local (théorème de l'extremum).

• Théorème de l'extremum (voir section 9) : Si une fonction f dérivable sur un intervalle I a un point c où f'(c) = 0 et si f' change de signe en c, alors f(c) est un extremum local. La variation de la dérivée autour de c permet d'identifier ces extremums.

• Position relative de deux courbes (voir section 11) : L'étude de la différence h(x) = f(x) - g(x) permet d'analyser si deux courbes se croisent, se touchent ou restent séparées, en étudiant le signe de h(x) et ses variations.

📝 Points essentiels

• La dérivée f' (a) est la pente de la tangente à la courbe en a, et son signe détermine si la fonction est croissante ou décroissante (voir section 6).
• Pour déterminer les extremums locaux, il faut rechercher les points où f' (a) = 0 et où f' change de signe (théorème de l'extremum, section 9).
• La position relative de deux courbes f et g s'étudie via la fonction h(x) = f(x) - g(x), dont le signe et la dérivée renseignent sur leurs croisements et positions (section 11).
• La formule de la dérivée d'une composition f(x) = g(ax + b) permet d'étudier la variation de fonctions composées, notamment dans des problèmes d'optimisation (voir section 6.3).
• La connaissance du signe de la dérivée permet aussi de résoudre des inéquations et de déterminer des intervalles où la fonction est positive ou négative, en utilisant ses variations (section 10).

💡 À retenir

L'étude des variations d'une fonction à l'aide de sa dérivée permet d'identifier ses extremums, de déterminer ses intervalles de croissance ou décroissance, et d'analyser la position relative de ses courbes, constituant ainsi un outil fondamental en analyse.

📖 11. Position relative courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Position relative entre la courbe et sa tangente : La position d'une courbe par rapport à sa tangente en un point dépend du signe de la différence entre la fonction et sa tangente. Si f(x) > t(x), la courbe est au-dessus de la tangente ; si f(x) < t(x), elle est en dessous. (voir section 3)

• Interprétation géométrique de la tangente comme limite des sécantes : La tangente à une courbe en un point est la limite, lorsque l'écart horizontal h tend vers 0, des sécantes passant par ce point et un point voisin, c'est-à-dire la limite du coefficient directeur des sécantes. (voir section 4)

• Lien entre dérivée et position relative : La dérivée en un point, f'(a), indique si la courbe est au-dessus ou en dessous de sa tangente en ce point. Si f'(a) > 0, la courbe est au-dessus de la tangente à gauche et en dessous à droite, ce qui indique une croissance locale. Si f'(a) < 0, la courbe est en dessous de la tangente à gauche et au-dessus à droite, indiquant une décroissance. (voir section 1)

📝 Points essentiels

• La position relative d'une courbe par rapport à sa tangente en un point dépend du signe de la différence f(x) - t(x). Si cette différence est positive autour du point, la courbe est au-dessus ; si négative, elle est en dessous. La tangente est la limite locale des sécantes lorsque h → 0, ce qui permet d'interpréter la dérivée comme la pente instantanée. La relation entre la dérivée et la position relative est fondamentale pour analyser la croissance ou décroissance locale de la fonction, ainsi que pour identifier les extremums (maximum ou minimum locaux) via le théorème de l'extremum (voir section 7 et 9). La courbe peut présenter un point d'inflexion ou un point anguleux, selon la nature de la dérivée en ce point (voir section 8).

💡 À retenir

La position d'une courbe par rapport à sa tangente, interprétée comme limite des sécantes, est essentielle pour comprendre le comportement local de la fonction, notamment sa croissance, décroissance, et la localisation des extremums, en lien direct avec le signe de sa dérivée.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre limite du taux d’accroissement et valeur du nombre dérivé : la limite doit exister pour que la dérivée soit définie.
2. Oublier que la dérivabilité implique la continuité, mais la continuité n’implique pas la dérivabilité.
3. Confondre la pente de la sécante (moyenne) et la pente de la tangente (instantanée).
4. Utiliser la formule du coefficient directeur pour une fonction non linéaire sans faire la limite h→0.
5. Confondre la dérivée d’une fonction constante (nulle) et une fonction affine (pente constante).
6. Ne pas vérifier que la limite du taux d’accroissement existe avant de parler de dérivée.
7. Erreur fréquente dans le calcul de limite : oublier de simplifier ou de factoriser.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition du nombre dérivé selon Perroux et sa relation avec la limite du taux d’accroissement.
2. Savoir calculer le coefficient directeur entre deux points et relier cette notion à la pente d’une droite.
3. Maîtriser l’équation de la tangente à une courbe en un point, en utilisant la dérivée.
4. Savoir exprimer la limite du taux d’accroissement et son lien avec la dérivabilité.
5. Connaître la dérivabilité des fonctions usuelles : constantes, identité, polynômes, fonctions exponentielles, trigonométriques.
6. Comprendre le signe de la dérivée et son interprétation graphique (croissance/décroissance).
7. Savoir dériver une fonction simple en utilisant les règles de dérivation.
8. Identifier et déterminer les extremums locaux en utilisant la dérivée (f'(x) = 0).
9. Appliquer le théorème de l’extremum pour justifier l’existence d’un maximum ou minimum local.
10. Utiliser la dérivée pour étudier la position relative de deux courbes ou la position d’une courbe par rapport à une droite.
11. Connaître la définition et l’application des théorèmes fondamentaux liés à la dérivée.
12. Vérifier la continuité et la dérivabilité d’une fonction sur un intervalle donné.