Fiche de révision : Analyse du moment cinétique et dynamique en rotation

📋 Plan du Cours

1. Moment cinétique d’un point matériel
2. Moment cinétique en mouvement plan
3. Moment de la résultante des forces
4. Théorème du moment cinétique pour un point
5. Moment cinétique d’un système de points
6. Moment cinétique d’un solide en rotation
7. Moment d’inertie et propriétés
8. Relation moment angulaire et vitesse angulaire
9. Loi de la dynamique pour un axe fixe
10. Couple de rappel en torsion d’un fil
11. Couple moteur et couple de frottement
12. Travail et puissance des forces en rotation

📖 1. Moment cinétique d’un point matériel

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment cinétique : Le moment cinétique d’un point matériel est le produit vectoriel du vecteur position par la quantité de mouvement, exprimant l’effet du mouvement autour d’un point de référence.
• Vecteur position relatif : Le vecteur $\overrightarrow{AM}$ relie le point de référence $A$ au point matériel $M$ et sert de base géométrique au calcul du moment cinétique.
• Quantité de mouvement : La quantité de mouvement $\vec p$ est le produit de la masse par la vitesse et intervient directement dans l’expression du moment cinétique.
• Référentiel $R$ : Le référentiel $R$ est le cadre dans lequel on définit la vitesse $\vec v$ et donc le moment cinétique du point matériel.

📝 Points essentiels

• Le moment cinétique du point matériel $M$ par rapport à $A$ dans $R$ s’écrit $\vec L_A(M)=\overrightarrow{AM}\wedge m\vec v=\overrightarrow{AM}\wedge\vec p$.
• Le signe et l’orientation du moment cinétique viennent du produit vectoriel $\wedge$, donc la direction de $\vec L$ dépend du plan formé par $\overrightarrow{AM}$ et $\vec v$.
• La dimension de $\vec L$ est celle de $\overrightarrow{AM}\,m\vec v$, soit $M L^2 T^{-1}$.
• L’unité SI du moment cinétique est $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$.
• Quand il n’y a pas d’ambiguïté, on peut noter simplement $\vec L_A$ au lieu de $\vec L_A(M)$.
• Très souvent, on calcule le moment cinétique par rapport à l’origine $O$ du repère, ce qui fixe $A=O$ dans la formule.

💡 Astuce mémo

Produit vectoriel : $\vec L = \overrightarrow{AM} \wedge \vec p$ (position relative × quantité de mouvement).

📖 2. Moment cinétique en mouvement plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment cinétique : Le moment cinétique d’un point matériel est le produit vectoriel entre le vecteur position et la quantité de mouvement, exprimant l’effet “rotationnel” du mouvement autour d’un point de référence.
• Moment cinétique par rapport à O : Le moment cinétique d’un point matériel calculé par rapport à l’origine O s’écrit avec le vecteur \overrightarrow{OM} et la quantité de mouvement, souvent noté \overrightarrow{L}=\overrightarrow{LO}.
• Mouvement plan (xOy) : Un mouvement est dit plan (xOy) lorsque la vitesse reste à chaque instant dans le plan, ce qui impose une direction fixe du moment cinétique.
• Vitesse orthoradiale : La vitesse orthoradiale $v_\varphi$ est la composante de la vitesse tangentielle liée à la variation angulaire, et elle intervient directement dans la norme du moment cinétique.
• Moment d’une force : Le moment d’une force par rapport à un point A est le produit vectoriel entre le vecteur \overrightarrow{AM} et la force, mesurant l’effet de rotation de la force autour de A.

📝 Points essentiels

• Le moment cinétique d’un point matériel M (masse m, vitesse $\vec v$) par rapport à A vaut $\vec L_A=\overrightarrow{AM}\wedge m\vec v=\overrightarrow{AM}\wedge\vec p$.
• La dimension du moment cinétique est $[\vec L]=[\overrightarrow{AM}][m\vec v]=M L^2 T^{-1}$ et l’unité est $\mathrm{kg\cdot m^2\cdot s^{-1}}$.
• Pour un mouvement plan dans (xOy), $\vec r\in(xOy)$ et $\vec v\in(xOy)$, donc $\vec L$ est perpendiculaire au plan et orienté suivant (Oz).
• En base polaire, pour un mouvement dans (Oxy), on obtient $\vec L_O=m r^2\dot\varphi\,\vec u_z=m r^2\vec\omega$ et aussi $\vec L_O=m r v_\varphi\,\vec u_z$.
• La norme du moment cinétique par rapport à O vaut le produit $m\,r\,v_\varphi$, reliant masse, distance à O et vitesse de rotation autour de O.
• Cas circulaire : si $r=R$ alors $\vec L_O=mR^2\vec\omega=mR^2\dot\varphi\,\vec u_z$. Si le mouvement est uniforme ($\dot\varphi=\omega$ constant), alors $\vec L_O=mR^2\omega\,\vec u_z$ est constant en direction et en m

💡 Astuce mémo

Plan (xOy) → moment cinétique toujours “sort du plan” : $\vec L\parallel Oz$ ; et $\;L\propto r\,v_\varphi$.

📖 3. Moment de la résultante des forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’une force : Le moment d’une force par rapport à un point est le produit vectoriel du vecteur position du point vers le point d’application par la force.
• Moment de la résultante : Le moment de la résultante des forces par rapport à un point fixe est égal à la somme des moments de chaque force par rapport à ce même point.
• Mouvement plan (Oxy) : Dans un mouvement plan, les composantes des forces selon l’axe perpendiculaire au plan se compensent, ce qui limite la résultante au plan Oxy.
• Moment cinétique : Le moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point A fixe est le produit vectoriel du vecteur position $\overrightarrow{AM}$ par la quantité de mouvement $m\overrightarrow{v}$.
• Théorème du moment cinétique : Le théorème du moment cinétique relie la dérivée temporelle du moment cinétique au moment de la résultante des forces appliquées au point matériel.

📝 Points essentiels

• Pour un point fixe A, le moment de la résultante vérifie $\overrightarrow{M_A}(\overrightarrow{F})=\sum_{i=1}^N \overrightarrow{M_A}(\overrightarrow{F_i})$ grâce à la distributivité du produit vectoriel.
• En mouvement plan (Oxy), la résultante s’écrit $\overrightarrow{F}=F_x\overrightarrow{u_x}+F_y\overrightarrow{u_y}=F_r\overrightarrow{u_r}+F_\phi\overrightarrow{u_\phi}$ et ne possède pas de composante selon $\overline{u
• z}$ (si elle existe, elle se compense).
• Le moment de la force résultante par rapport à O s’obtient par $\overrightarrow{M}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{r}\wedge\overrightarrow{F}=r\,F_\phi\overrightarrow{u_z}$, car $\overrightarrow{u_r}\wedge\overline{u
• r}=0$et$\overrightarrow{u_r}\wedge\overrightarrow{u_\phi}$est dirigé selon$\overrightarrow{u_z}$.
• Pour un point matériel dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle du moment cinétique par rapport à A fixe vérifie $\dfrac{d\overrightarrow{L_A}}{dt}=\overrightarrow{M_A}(\overrightarrow{F})$.

💡 Astuce mémo

Distributivité : moment de somme = somme des moments ; en plan, seul le terme $F_\phi$ crée un moment selon $\overrightarrow{u_z}$.

📖 4. Théorème du moment cinétique pour un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment cinétique : Le moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point A fixe est le produit vectoriel $\overrightarrow{AM}\wedge m\overrightarrow{v}$.
• Moment des forces : Le moment d’une force appliquée à un point M par rapport à A est le produit vectoriel $\overrightarrow{AM}\wedge \overrightarrow{F}$.
• Résultante des forces : La résultante des forces appliquées à un point matériel est la somme vectorielle de toutes les forces qui s’exercent sur lui.
• Conservation du moment cinétique : Le moment cinétique d’un point matériel se conserve lorsque le moment des forces appliquées au point est nul par rapport au point de calcul.

📝 Points essentiels

• Pour un point matériel, la dérivée temporelle du moment cinétique par rapport à A est égale au moment résultant des forces appliquées : $\dfrac{d\vec L_A}{dt}=\vec M_A(\vec F)$.
• Si la variation du vecteur vitesse est nulle, alors la résultante des forces appliquées au point est nulle.
• Le moment cinétique peut rester constant même si la résultante des forces n’est pas nulle, à condition que $\overrightarrow{AM}\wedge \vec F=\vec 0$.
• Le moment cinétique se conserve si $\overrightarrow{AM}=\vec 0$, car le bras de levier du moment est nul.
• Le moment cinétique se conserve si $\vec F=\vec 0$, cas d’un point isolé ou pseudo-isolé.
• Le moment cinétique se conserve si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec F$ sont colinéaires, car le produit vectoriel est nul.

💡 Astuce mémo

Produit vectoriel : si la force est dans l’axe du bras ($\overrightarrow{AM}$ colinéaire à $\vec F$) ou si le bras est nul ($\overrightarrow{AM}=\vec 0$), alors le moment est nul donc $\vec L$ est constant.

📖 5. Moment cinétique d’un système de points

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment cinétique total : Le moment cinétique total est la somme des moments cinétiques des points matériels qui composent le système.
• Moment cinétique par rapport à A : Le moment cinétique par rapport à A est le moment cinétique du système calculé avec le point fixe A comme origine de référence.
• Force centrale : Une force centrale est une force interne dirigée le long de la droite reliant les deux particules en interaction.
• Référentiel galiléen : Un référentiel galiléen est un repère inertiel où les lois de Newton s’écrivent sous leur forme standard.
• Solide rigide : Un solide rigide est un modèle où la distance entre tout couple de points du système reste constante au cours du temps.

📝 Points essentiels

• Pour N=2, la dérivée temporelle du moment cinétique total s’obtient en sommant les équations de moment cinétique de chaque masse.
• Avec la troisième loi de Newton, les forces internes vérifient 6\vec F_{21} et 6\vec F_{12}, ce qui permet de regrouper les termes internes.
• Si les deux masses sont des points matériels, la force interne est centrale et colinéaire à $\vec r_1-\vec r_2$, donc le produit vectoriel associé s’annule.
• On obtient alors $\dfrac{d\vec L}{dt}=\vec r_1\wedge\vec F_{ext1}+\vec r_2\wedge\vec F_{ext2}$, soit la somme des moments des forces extérieures.
• Le résultat se généralise à un point fixe quelconque A : $\dfrac{d\vec L_A}{dt}=\vec M_{extA}=\sum_{i=1}^{N} \left(\overrightarrow{AM_i}\wedge\vec F_{exti}\right)$ dans un référentiel galiléen.
• Pour un système de N points reliés par des forces centrales, le raisonnement par paires conduit à la même forme générale du théorème du moment cinétique.

💡 Astuce mémo

Centralité = colinéarité : force interne centrale ⇒ produit vectoriel nul ⇒ seule la somme des moments extérieurs reste.

📖 6. Moment cinétique d’un solide en rotation

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment cinétique : Le moment cinétique d’un solide est la somme, sur ses points matériels, des produits vectoriels position–quantité de mouvement par rapport à un point fixe.
• Axe fixe de rotation : Un axe fixe de rotation est une droite autour de laquelle le solide tourne sans que l’axe lui-même ne se déplace dans le référentiel choisi.
• Base cylindrique : La base cylindrique décrit un point par sa distance à l’axe, son angle et sa cote, avec des vecteurs unitaires associés à ces directions.
• Vitesse angulaire : La vitesse angulaire est le vecteur commun à tous les points du solide rigide, orienté selon l’axe de rotation et de norme égale à la rotation instantanée.
• Moment d’inertie : Le moment d’inertie mesure la répartition de la masse par rapport à l’axe de rotation et intervient directement dans l’expression du moment cinétique.

📝 Points essentiels

• Pour un solide rigide en rotation autour d’un axe fixe, chaque point décrit une trajectoire circulaire (ou portion) dans un plan parallèle à (Oxy) dont le centre est sur l’axe (Oz).
• Dans la base cylindrique, on peut écrire pour un point Mi : $\vec r_i=R_i\,\vec u_{\rho,i}+z_i\,\vec u_z$ et $\vec v_i=R_i\,\dot\varphi_i\,\vec u_{\varphi,i}$.
• L’indéformabilité impose une même vitesse angulaire pour tous les points : $\dot\varphi_i(t)=\omega(t)$, donc $\vec\omega(M_i)=\omega(t)\,\vec u_z$.
• La vitesse linéaire d’un point s’écrit alors : $\vec v_i=R_i\,\omega\,\vec u_{\varphi,i}$.
• Le moment cinétique par rapport à un point fixe O s’écrit : $\vec L_O=\sum_{i=1}^N \vec r_i\wedge m_i\vec v_i$.
• En remplaçant $\vec r_i$ et $\vec v_i$, on obtient deux contributions : une colinéaire à $\vec\omega$ et une autre perpendiculaire à l’axe (Oz), via les sommes $\sum m_iR_i^2$ et $\sum m_i,\omega z_iR_i,\vec u_{\rho,i}

💡 Astuce mémo

Rotation rigide ⇒ même $\omega$ pour tous les points, donc $\vec L_O$ = (partie // à l’axe) + (partie ⟂ à l’axe).

📖 7. Moment d’inertie et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’inertie : Le moment d’inertie est une constante scalaire qui relie la composante du moment cinétique à la vitesse angulaire pour une rotation autour d’un axe donné.
• Axe (Oz) : L’axe (Oz) est l’axe fixe de rotation autour duquel on projette le moment cinétique et on définit le moment d’inertie correspondant.
• Distance $R_i$ : La distance $R_i$ est la distance entre la masse ponctuelle $m_i$ (en position $M_i$) et l’axe de rotation.
• Tige homogène : Une tige homogène est un solide dont la masse est répartie uniformément, ce qui fixe la position du centre de masse et les formules de moment d’inertie.

📝 Points essentiels

• Le moment cinétique autour de $O$ se décompose en une somme de deux contributions, dont l’une est colinéaire à $\vec\omega$ et l’autre perpendiculaire à l’axe (Oz).
• La composante du moment cinétique parallèle à l’axe de rotation vérifie $L_{O,z}=I(Oz)\,\omega$.
• Le moment d’inertie autour de l’axe (Oz) s’écrit $I(Oz)=\sum_{i\in S} m_i R_i^2$.
• Le moment d’inertie a pour dimension $M L^2$ et pour unité $\text{kg·m}^2$.
• Pour une tige 1D homogène de longueur $\ell$ et de masse $m$, l’axe perpendiculaire passant par le milieu donne $I=\frac{m\ell^2}{12}$.
• Pour la même tige, l’axe perpendiculaire passant par une extrémité donne $I=\frac{m\ell^2}{3}$.

💡 Astuce mémo

Mémo : $I=\sum mR^2$ → plus $R$ est grand, plus $I$ augmente (les masses loin “pèsent” plus).

📖 8. Relation moment angulaire et vitesse angulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Liaison pivot : Une liaison pivot autorise la rotation d’un solide autour d’un axe fixe sans frottement au point de contact.
• Réaction de l’axe : La réaction de l’axe est la résultante des forces exercées par le support sur la tige au niveau de l’axe de rotation.
• Moment d’inertie : Le moment d’inertie mesure la résistance d’un solide à la rotation autour d’un axe donné.
• Vitesse angulaire : La vitesse angulaire décrit la variation de l’angle de rotation au cours du temps.
• Moment extérieur : Le moment extérieur est la somme des moments des forces appliquées au solide par rapport à l’axe considéré.

📝 Points essentiels

• Pour une tige tournant librement autour de l’axe (Oz), la dynamique s’écrit $I(Oz)\,\dot\omega = M_{ext\,O,z}$.
• Pour la tige homogène de longueur $\ell$, le moment d’inertie autour de (Oz) vaut $I(Oz)=\dfrac{m\ell^2}{3}$.
• La vitesse angulaire vérifie $\omega(t)=\dot\varphi(t)$, donc $\dot\omega=\ddot\varphi$.
• Le moment extérieur autour de (Oz) provient du poids : $M_{ext\,O,z}=-mg\dfrac{\ell}{2}\sin\varphi$ (la contribution de la réaction en O est nulle car appliquée sur l’axe).
• On obtient l’équation du mouvement $\ddot\varphi+\dfrac{3g}{2\ell}\sin\varphi=0$ puis, pour petites oscillations $|\varphi|\ll 1$, $\ddot\varphi+\dfrac{3g}{2\ell}\varphi=0$.
• Pour le pendule rigide à petites oscillations, la pulsation vaut $\sqrt{\dfrac{3g}{2\ell}}$ et la période $T=2\pi\sqrt{\dfrac{2\ell}{3g}}$.

💡 Astuce mémo

Pivot→axe : réaction en O ne crée pas de moment, donc $M_{ext}$ vient du poids (ou de la force appliquée) et relie $I\dot\omega$ au moment.

📖 9. Loi de la dynamique pour un axe fixe

🔑 Notions clés & Définitions

• Couple de rappel : Couple de rappel : moment exercé par un élément élastique (ici le fil) qui ramène le système vers sa position d’équilibre et dont le sens s’oppose à la torsion.
• Réaction de l’axe : Réaction de l’axe : force exercée au niveau de l’axe qui empêche le solide de tomber ou de se déplacer autrement que par rotation autour de l’axe.
• Couple moteur : Couple moteur : moment résultant nul en résultante mais non nul en moment, fourni par un moteur et orienté suivant l’axe de rotation.
• Couple de frottement : Couple de frottement : moment opposé au mouvement de rotation, modélisant l’action des forces de frottement au niveau de l’axe.
• Moment d’inertie : Moment d’inertie : grandeur qui relie l’accélération angulaire à la somme des moments appliqués autour d’un axe fixe.

📝 Points essentiels

• Pour un fil en torsion, le couple de rappel vérifie $\vec M_{rappel}=-C\,\varphi\,\vec u_z$, donc il est proportionnel à l’angle de torsion et opposé à celui-ci.
• Les actions du fil sur la tige se décomposent en une réaction $\vec R$ (résultante) et un couple de rappel (moment) de résultante nulle.
• Dans l’exemple décrit, la réaction de l’axe est l’opposé du poids : $\vec R=mg\,\vec u_z$.
• Pour un solide entraîné par un moteur, on modélise l’action du rotor par une résultante appliquée à l’axe (moment nul) et un couple moteur de moment orienté suivant l’axe.
• Si aucune autre force n’est appliquée au solide, l’équation de la dynamique autour de l’axe fixe s’écrit $I_{\Delta}\,\dot\omega= M_{moteur}$, soit $\dot\omega=\dfrac{M_{moteur}}{I_{\Delta}}$.
• Pour une rotation autour d’un axe fixe, les frottements sont modélisés par un couple de frottement $\vec M_{frottement}$ orienté suivant l’axe et s’opposant au mouvement de rotation.

💡 Astuce mémo

Torsion → rappel : $M=-C\varphi$ ; Rotation → dynamique : $I\dot\omega=M$ ; Frottement → frein : $M_{frottement}$ oppose $\omega$.

📖 10. Couple de rappel en torsion d’un fil

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment de la force : Le moment de la force par rapport à un point est le produit vectoriel 4 r\wedge\u00124 F, qui mesure l’effet en rotation de la force.
• Moment d’une force selon (Oz) : La composante du moment de la force suivant l’axe (Oz) est la projection du moment sur la direction de l’axe.
• Travail en rotation autour d’un axe fixe : Le travail infinitésimal d’une force lors d’une rotation autour d’un axe fixe s’exprime via le moment de la force selon l’axe.
• Puissance en rotation : La puissance d’une force en rotation est le travail fourni par unité de temps, exprimé avec le moment et la vitesse angulaire.
• Énergie mécanique : L’énergie mécanique d’un solide est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle, notée $E_m=E_c+E_p$.

📝 Points essentiels

• Pour un déplacement infinitésimal $d\varphi$, le travail d’une force sur un solide tournant autour de (Oz) vaut $\delta W_{\vec F}=M_{O,z}(\vec F)\,d\varphi$.
• Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe, seules les forces dont le moment par rapport à l’axe est non nul peuvent fournir du travail.
• La puissance fournie par une force vérifie $P_{\vec F}=\dfrac{\delta W}{dt}=M_{O,z}(\vec F)\,\omega$ pour une rotation autour d’un axe fixe.
• Théorème énergie cinétique (référentiel galiléen) : $E_c(t_2)-E_c(t_1)=W_{ext}+W_{int}$, somme des travaux des forces extérieures et intérieures.
• Pour un solide indéformable, le travail des forces intérieures est toujours nul, donc $\Delta E_c=W_{ext}$.
• Si les forces extérieures sont décomposées en conservatives et non conservatives, alors $\Delta E_c=W_{ext,c}+W_{ext,nc}$ et $W_{ext,c}=-\Delta E_p$.

💡 Astuce mémo

Moment→travail : $\delta W = M_{O,z}\,d\varphi$ et puissance $P=M_{O,z}\,\omega$.

📖 11. Couple moteur et couple de frottement

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment cinétique : Le moment cinétique est la grandeur de rotation qui mesure la quantité de mouvement angulaire d’un solide autour d’un axe.
• Moment d’inertie : Le moment d’inertie quantifie la résistance d’un solide à la rotation autour d’un axe, via la répartition de sa masse.
• Milieu continu : Un milieu continu modélise un solide comme une distribution continue de matière plutôt que comme une collection de points.
• Densité massique : La densité massique ρ(⃗r) relie la masse d’un petit élément δm au volume correspondant δV au voisinage de ⃗r.
• Intégrale de volume : Une intégrale de volume additionne les contributions d’éléments infinitésimaux sur tout le domaine volumique occupé par le solide.

📝 Points essentiels

• Le passage d’une somme discrète à une intégrale repose sur l’idée de découper le solide en volumes élémentaires infinitésimaux δV.
• La masse totale s’écrit $M=\iiint_S \rho(\vec r)\,\delta V$ quand la densité massique varie dans l’espace.
• Le moment d’inertie autour d’un axe $\Delta$ s’écrit $I_\Delta=\iiint_S \rho(\vec r)\,R_\Delta^2(\vec r)\,\delta V$.
• Dans l’expression du moment d’inertie, $R_\Delta(\vec r)$ est la distance entre le point de position $\vec r$ et l’axe de rotation.
• Pour un modèle 1D (tige), on remplace les éléments de volume par des éléments de longueur et l’intégrale se réduit à une intégrale sur une seule variable.
• Le domaine d’intégration d’une intégrale de volume correspond à l’espace à 3 dimensions $\mathbb{R}^3$ occupé par le solide.

💡 Astuce mémo

Milieu continu = on remplace les points par des micro-volumes, puis on additionne avec une intégrale (masse : $\iiint \rho\,\delta V$, inertie : $\iiint \rho R^2\,\delta V$).

📖 12. Travail et puissance des forces en rotation

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’inertie : Le moment d’inertie mesure la difficulté à modifier la rotation d’un solide autour d’un axe, via la répartition de sa masse par rapport à cet axe.
• Tige homogène : Une tige homogène est un solide dont la masse est répartie uniformément le long de sa longueur, ce qui rend la masse d’un petit élément proportionnelle à sa longueur.
• Axe de rotation ∆ : L’axe de rotation ∆ est la droite autour de laquelle on étudie la rotation et par rapport à laquelle on calcule le moment d’inertie.
• Axe ∆′ au milieu : L’axe ∆′ est un axe perpendiculaire à la tige passant par son milieu, utilisé pour comparer deux moments d’inertie de même tige.

📝 Points essentiels

• Pour une tige homogène, la masse d’un élément de longueur vaut $dm=m_\ell\,dx$ avec $m_\ell$ la masse linéique.
• Si l’origine des abscisses est placée sur l’axe ∆, la distance d’un élément situé à $x$ à l’axe vaut simplement $x$.
• Le moment d’inertie d’une tige de longueur $\ell$ autour de l’axe ∆ (passant à une extrémité) s’écrit $I_\Delta=\int_0^{\ell} m_\ell x^2\,dx=\frac{m\ell^2}{3}$.
• Si l’origine est placée au milieu de la tige (axe ∆′), la distance à l’axe vaut $|x|$, donc l’intégrande utilise $|x|^2=x^2$.
• Le moment d’inertie autour de l’axe ∆′ (passant au milieu) vaut $I_{\Delta'}=\int_{-\ell/2}^{\ell/2} m_\ell x^2\,dx=\frac{m\ell^2}{12}$.
• Comparaison : $I_\Delta=\frac{m\ell^2}{3}$ pour l’axe à l’extrémité et $I_{\Delta'}=\frac{m\ell^2}{12}$ pour l’axe au milieu, donc $I_\Delta=4\,I_{\Delta'}$.

💡 Astuce mémo

Axe à l’extrémité : facteur 4 de plus que l’axe au milieu (division par 4 quand on passe au centre).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le moment cinétique ⃗L_A=⃗AM∧m⃗v avec le moment d’une force ⃗M_A(⃗F)=⃗AM∧⃗F : ce ne sont pas les mêmes grandeurs ni les mêmes unités.
2. Croire que dans un mouvement plan (xOy) le moment cinétique peut avoir une composante selon z : au contraire, ⃗L est perpendiculaire au plan et orienté suivant (Oz).
3. Se tromper sur la norme en polaire : utiliser r·v au lieu de m r v_φ (ou m r^2·φ̇) pour le moment cinétique dans le plan.
4. Oublier que le théorème du moment cinétique exige un référentiel galiléen et un point A fixe : sinon l’égalité d⃗L_A/dt=⃗M_A(⃗F) n’est pas directement applicable.
5. Penser que le moment cinétique est conservé seulement si la résultante des forces est nulle : il peut aussi être constant si ⃗AM∧⃗F=⃗0 (bras et force colinéaires, ou bras nul).
6. Pour un système de N points, croire que les forces internes contribuent au moment : elles s’annulent si elles sont centrales (produit vectoriel nul par colinéarité).
7. Confondre moment d’inertie et moment cinétique : I(Oz) est une constante scalaire (∑ m_i R_i^2), alors que ⃗L dépend de ω et de la géométrie via I.

✅ Checklist Examen

1. Écrire la définition du moment cinétique d’un point matériel : ⃗L_A(M)=⃗AM∧m⃗v=⃗AM∧⃗p, puis donner dimension et unité SI.
2. Pour un mouvement plan (xOy), justifier que ⃗L est orienté suivant (Oz) et retrouver ⃗L_O=m r^2 φ̇ ⃗u_z=m r v_φ ⃗u_z.
3. En mouvement circulaire uniforme, donner ⃗L_O=mR^2 ω ⃗u_z et conclure sur la constance de ⃗L en direction.
4. Définir le moment d’une force : ⃗M_A(⃗F)=⃗AM∧⃗F, puis écrire le cas du moment de la résultante en utilisant la distributivité.
5. Énoncer et démontrer (au moins les étapes clés) le théorème du moment cinétique pour un point : d⃗L_A/dt=⃗M_A(⃗F) dans un référentiel galiléen et pour A fixe.
6. Donner les trois conditions de conservation du moment cinétique : ⃗AM=⃗0, ⃗F=⃗0, ou ⃗AM et ⃗F colinéaires.
7. Appliquer le théorème au pendule : calculer ⃗L_O, puis ⃗M_O(⃗P+⃗T) et obtenir l’équation du mouvement (petites oscillations).
8. Définir le moment cinétique d’un système de N points : ⃗L_A(S)=∑_{i=1}^N ⃗AM_i∧m_i⃗v_i, puis énoncer le théorème pour le système : d⃗L_A/dt=∑ ⃗AM_i∧⃗F_ext,i.
9. Pour N=2 points reliés par une force centrale, montrer que le terme interne s’annule (colinéarité) et conclure que d⃗L/dt ne dépend que des forces extérieures.
10. Définir un solide indéformable (distances constantes) et donner la représentation utile : ensemble de points matériels ou distribution continue.
11. Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe (Oz), écrire la décomposition du moment cinétique et la relation LO,z=I(Oz)ω avec I(Oz)=∑ m_i R_i^2.
12. Énoncer la loi de la dynamique en rotation autour d’un axe fixe : I(Oz) dω/dt = M_ext,O,z, puis traiter un exemple (pendule rigide ou porte) en identifiant le moment extérieur.
13. Donner l’expression du couple de rappel d’un fil en torsion : ⃗M_rappel=−C φ ⃗u_z, et expliquer le rôle de la réaction de l’axe (moment nul).
14. Écrire le travail et la puissance en rotation autour d’un axe fixe : δW= M_O,z(⃗F) dφ et P= M_O,z(⃗F) ω, puis relier à l’énergie cinétique et à l’énergie mécanique (travail des forces non conservatives).