Fiche de révision : Statistique descriptive fondamentale

📋 Plan du Cours

1. Fondements de la statistique descriptive
2. Caractères et modalités statistiques
3. Représentations graphiques des distributions
4. Mesures de tendance centrale
5. Mesures de dispersion et moments
6. Classe modale des séries continues
7. Caractéristiques de dispersion
8. Caractéristiques de forme
9. Caractéristiques de concentration
10. Indices élémentaires et synthétiques
11. Indices de Paasche et de Fisher
12. Utilisation et propriétés des indices

📖 1. Fondements de la statistique descriptive

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique descriptive : A pour objet de résumer et de présenter l’information contenue dans les données collectées sur un groupe d’individus.
• Statistique : La science qui recueille des données numériques relatives à un phénomène et les exploite rationnellement par l’analyse et l’interprétation.
• Statistique : Une règle, ou une fonction mesurable, qui transforme un ensemble d’observations en une ou plusieurs valeurs numériques.
• Population statistique : Une population est l’ensemble des éléments auxquels se rapportent les données étudiées.
• Unité statistique : Un élément de la population étudiée, qui peut être une personne ou un objet.
• Échantillon : Un sous-ensemble E de la population Ω, dont la taille est notée n et vaut Card E.

📝 Points essentiels

⚡ L’analyse statistique peut être univariée, bivariée ou multivariée selon qu’elle porte respectivement sur une, deux ou plusieurs variables.

💡 Astuce mémo

Population → données → description

📖 2. Caractères et modalités statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Caractère : Un aspect particulier de l’individu auquel l’étude statistique s’intéresse.
• Modalités : D’un caractère sont les différentes valeurs qu’il peut prendre dans la population, et elles doivent être exhaustives, disjointes et associer une seule valeur à chaque individu.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

⚡ Un caractère peut être qualitatif nominal, qualitatif ordinal, quantitatif discret ou quantitatif continu.

⚡ Un caractère qualitatif nominal possède des modalités non classables selon un ordre préétabli, comme le type de poste occupé.

⚡ Un caractère qualitatif ordinal possède des modalités pouvant être rangées selon un ordre précis, comme une opinion allant de très mauvaise à très bonne.

⚡ Un caractère quantitatif discret prend des valeurs entières qui ne peuvent pas être décimales, comme le nombre de personnes à charge.

Compléments

🧮 Formule — Pour une classe ci=[bi, bi+1[, l’amplitude est ai=bi+1−bi et le centre de classe est (bi+bi+1)/2.

🧮 Formule — La densité d’une classe ci est di=ni/ai, où ni est son effectif et ai son amplitude.

💡 Astuce mémo

Qualitatif ou quantitatif, puis deux sous-types

📖 3. Représentations graphiques des distributions

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe en escaliers : Représente F(x), qui est la proportion ou l’effectif des individus dont la valeur du caractère est strictement inférieure à x.
• Histogramme : Un ensemble de rectangles contigus associés aux classes, dont la surface est proportionnelle à l’effectif de chaque classe.
• Fréquences cumulées : La fréquence relative cumulée croissante représente la proportion des observations inférieures à x, tandis que la fréquence relative cumulée décroissante représente la proportion des observations supérieures à x et vérifie G=1−F.
• Polygone des fréquences : D’une variable discrète est obtenu en joignant les extrémités des bâtons du diagramme en bâtons.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

⚡ Le diagramme à secteurs convient particulièrement aux variables qualitatives nominales, tandis que le diagramme à bandes convient surtout aux variables qualitatives ordinales car il respecte l’ordre des modalités.

🔄 Processus — Dans un diagramme en bâtons, les valeurs discrètes sont portées en abscisses et les effectifs ou fréquences en ordonnées, puis des bâtons verticaux ont une longueur proportionnelle à ces valeurs.

💡 Astuce mémo

Secteurs, bâtons, histogrammes

📖 4. Mesures de tendance centrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne arithmétique : D’une série simple est la somme des valeurs observées divisée par le nombre d’observations, soit x̄=(1/n)∑xi.
• Moyenne géométrique : Pour une série statistique positive, la moyenne géométrique est la racine n-ième du produit des n valeurs observées, soit G=(∏xi)^(1/n).
• Moyenne harmonique : Pour une série statistique strictement positive, la moyenne harmonique est l’inverse de la moyenne arithmétique des inverses, soit H=n/∑(1/xi).
• Quantile : D’ordre α% est la valeur Qα telle que α% des valeurs observées lui soient strictement inférieures.
• Médiane : Le quantile d’ordre 50% et partage la série ordonnée en deux séries de même taille.
• Quartiles : Q1, Q2 et Q3 correspondent respectivement aux quantiles d’ordre 25%, 50% et 75%, et Q2 est égal à la médiane.
• Mode : D’une distribution est la valeur du caractère correspondant à l’effectif ou à la fréquence la plus élevée.
• Moyenne quadratique : La racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés des valeurs, soit Q=[(1/n)∑xi²]^(1/2).

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Pour une distribution de valeurs xi d’effectifs ni et de fréquences fi, la moyenne arithmétique vaut x̄=∑ni xi/n=∑fi xi.

📌 Pour une variable continue groupée en classes d’amplitudes inégales, la classe modale est celle dont la densité est maximale.

Compléments

🧮 Formule — Si yi=axi+b, alors la moyenne de la série transformée vérifie ȳ=a x̄+b.

🧮 Formule — Lorsque les quatre moyennes existent, leur ordre est H<G<x̄<Q.

💡 Astuce mémo

Moyennes, quantiles, mode

📖 5. Mesures de dispersion et moments

🔑 Notions clés & Définitions

• Dispersion statistique : Les paramètres de dispersion mesurent la dispersion des valeurs observées autour d’un paramètre de position comme la moyenne ou la médiane.
• Variance : D’une variable X est son moment centré d’ordre 2, soit Var(X)=(1/n)∑ni(xi−x̄)^2=∑fi(xi−x̄)^2.

📝 Points essentiels

🧮 Formule — Le moment non centré d’ordre r d’une variable X est mr(X)=(1/n)∑ni xi^r=∑fi xi^r.

🧮 Formule — Si yi=axi+b, alors pour tout entier naturel r, le moment centré vérifie μr(Y)=a^r μr(X).

📖 6. Classe modale des séries continues

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Pour une variable quantitative continue, le mode exact est indéterminé et l’on détermine plutôt la classe modale.

🧮 Formule — La densité d’une classe est égale au rapport de son effectif nᵢ sur son amplitude aᵢ : dᵢ = nᵢ/aᵢ.

📌 Lorsque les classes n’ont pas la même amplitude, la classe modale est celle dont la densité est maximale.

Compléments

• Dans la distribution des salaires de 210 employés, la classe [125,150[ milliers de FCFA est modale car sa densité vaut 1,520, la plus élevée.

💡 Astuce mémo

Densité = effectif / amplitude

📖 7. Caractéristiques de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Écart-type : L’écart-type σ(X) est la racine carrée de la variance : σ(X) = √Var(X), et il mesure la dispersion autour de la moyenne dans la même unité que les observations.
• Coefficient de variation : Le rapport de l’écart-type à la moyenne : CV = σ/x̄ ; c’est un nombre sans dimension indépendant des unités.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Une distribution est homogène si son coefficient de variation est inférieur à 30 % et hétérogène s’il est supérieur ou égal à 30 %; au-delà de 30 %, l’interprétation de la moyenne devient hasardeuse.

• L’intervalle interquartile [Q1,Q3[ contient 50 % des observations, l’intervalle interdécile [D1,D9[ en contient 80 % et l’intervalle intercentile [C1,C99[ en contient 98 %.

Compléments

🧮 Formule — Pour une transformation linéaire Y = aX + b, les moments centrés vérifient μᵣ(Y) = aᵣμᵣ(X), et la variance vérifie Var(Y) = a²Var(X).

🧮 Formule — L’étendue W est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale : W = Xmax − Xmin.

💡 Astuce mémo

Étendue, quantiles, variance, écart-type

📖 8. Caractéristiques de forme

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Le coefficient d’asymétrie de Fisher est S = μ₃/σ³ = μ₃/(μ₂)^(3/2).

⚡ Si S > 0, la distribution est étalée vers la droite et Mo < Me < x̄; si S = 0, elle est symétrique et x̄ = Me = Mo; si S < 0, elle est étalée vers la gauche et x̄ < Me < Mo.

🧮 Formule — Le coefficient d’aplatissement de Pearson est K = μ₄/σ⁴ = μ₄/(μ₂)².

⚡ Si K < 3, la distribution est hyponormale ou platykurtique; si K = 3, elle est normale ou mésokurtique; si K > 3, elle est hypernormale ou leptokurtique.

Compléments

🧮 Formule — Le coefficient quartile de Yule est CD = [(Q3 − Q2) − (Q2 − Q1)]/(Q3 − Q1).

💡 Astuce mémo

Fisher pour l’asymétrie, Pearson pour l’aplatissement

📖 9. Caractéristiques de concentration

🔑 Notions clés & Définitions

• Concentration : Une série statistique est concentrée lorsqu’une faible proportion des individus possède une forte proportion des valeurs globales.
• Courbe de Gini : Relie les points construits avec les fréquences relatives cumulées Fᵢ en abscisse et les valeurs globales relatives cumulées Qᵢ en ordonnée.
• Indice de Gini : L’indice de Gini mesure le degré d’inégalité, varie entre 0 et 1, vaut 0 en cas d’égalité parfaite et vaut 1 lorsque toute la valeur globale est détenue par une seule personne.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 L’étude de la concentration exige que l’addition des modalités ait un sens et que la masse globale du caractère puisse être partagée entre les individus.

🧮 Formule — La valeur globale relative d’une classe est qᵢ = nᵢxᵢ/Σnⱼxⱼ, et sa valeur globale relative cumulée est Qᵢ = Σⱼ₌₁ⁱqⱼ.

Compléments

🧮 Formule — Par la méthode des triangles, l’indice de Gini se calcule par G = Σⱼ₌₁ᵖ⁻¹(FⱼQⱼ₊₁ − Fⱼ₊₁Qⱼ).

📌 Une augmentation proportionnelle de 4 % de tous les montants ne modifie pas les valeurs globales relatives qᵢ et n’a donc aucune influence sur l’indice de Gini.

💡 Astuce mémo

Courbe de Lorenz : individus contre valeurs

📖 10. Indices élémentaires et synthétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice élémentaire : L’indice élémentaire d’une grandeur simple X à la date t par rapport à la date de base 0 est iₜ/₀ = xₜ/x₀, généralement exprimé en base 100 par Iₜ/₀ = 100xₜ/x₀.
• Indice synthétique : Résume les variations de plusieurs grandeurs simples composant une grandeur complexe.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Les indices élémentaires vérifient la réversibilité iₜ/₀ = 1/i₀/ₜ et la circularité iₜ/₀ = iₜ/ₜ* × iₜ*/₀.

🧮 Formule — Le pourcentage de variation est PV = (Iₜ/₀ − 1) × 100; il est positif en cas d’augmentation, nul en cas de stagnation et négatif en cas de diminution.

🧮 Formule — Le coefficient budgétaire du produit j à la période 0 est cⱼ,₀ = pⱼ,₀qⱼ,₀/Σpⱼ,₀qⱼ,₀, et la somme des coefficients budgétaires vaut 1.

🧮 Formule — L’indice de Laspeyres est une moyenne arithmétique des indices élémentaires pondérée par les coefficients budgétaires de la période de base, tandis que l’indice de Paasche est une moyenne harmonique pondérée par ceux de la période courante.

🧮 Formule — L’indice de Fisher est la moyenne géométrique des indices de Laspeyres et de Paasche : Fₜ/₀ = √(Lₜ/₀Pₜ/₀).

Compléments

🧮 Formule — Le taux d’intérêt réel est (1+a)/(1+b) − 1, où a est le taux d’intérêt nominal et b le taux d’inflation.

🧮 Formule — L’indice de valeur est Vₜ/₀ = Σpⱼ,ₜqⱼ,ₜ / Σpⱼ,₀qⱼ,₀.

📌 L’indice de Laspeyres tend à surestimer une hausse des prix, tandis que l’indice de Paasche tend à la sous-estimer; l’indice de Fisher est présenté comme une meilleure estimation.

💡 Astuce mémo

Base, pondération, comparaison

📖 11. Indices de Paasche et de Fisher

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — L’indice de Paasche des prix est P(p) = (∑j pt,jqt,j)/(∑j p0,jqt,j), soit le rapport de la dépense totale de la période courante à prix courants sur cette même dépense évaluée aux prix de l’année de base.

Compléments

🧮 Formule — L’indice de Fisher des prix vérifie F(p) = √[L(p)P(p)] et l’indice de Fisher des quantités vérifie F(q) = √[L(q)P(q)].

💡 Astuce mémo

Paasche : période courante ; Fisher : moyenne de Laspeyres et Paasche

📖 12. Utilisation et propriétés des indices

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 L’indice de Laspeyres est le plus commode à utiliser et la plupart des indices courants des instituts statistiques sont de type Laspeyres.

⚡ Les indices de Laspeyres et de Paasche ne sont pas réversibles, car l’indice calculé de t vers 0 n’est pas l’inverse de celui calculé de 0 vers t.

📌 L’indice de Fisher est réversible : F0/t = 1/Ft/0.

📌 Aucun des indices de Laspeyres, de Paasche et de Fisher ne possède la propriété de circularité.

Compléments

📌 L’indice de Paasche est peu utilisé directement parce que ses pondérations doivent être mises à jour en permanence, mais il permet avec Laspeyres d’obtenir une fourchette d’estimation.

📌 L’indice de Fisher est quasiment inusité parce que son calcul ne peut pas être réalisé par agrégation progressive.

💡 Astuce mémo

Laspeyres pratique, Fisher réversible, aucun n’est circulaire

📊 Tableaux de synthèse

Types de caractères statistiques

Principaux indices synthétiques

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. La statistique descriptive décrit les données, tandis que la statistique inférentielle n’est pas traitée dans ce cours.
2. Un caractère est étudié sur les individus, tandis que ses modalités sont les valeurs qu’il peut prendre.
3. Le diagramme à secteurs ne traduit pas naturellement un ordre entre les modalités.
4. Pour une distribution groupée, xi représente le centre des classes.
5. Le moment centré utilise les écarts à la moyenne, et non les valeurs brutes xi.
6. La classe modale ne correspond pas nécessairement à l’effectif maximal lorsque les amplitudes diffèrent.
7. Le changement d’origine b n’affecte pas les moments centrés.