Fiche de révision : Analyse et résolution des jeux stratégiques

📋 Plan du Cours

1. Théorie des jeux
2. Jeux non coopératifs
3. Forme extensive
4. Forme normale
5. Stratégies pures
6. Stratégies mixtes
7. Équilibre de Nash
8. Dominance stricte
9. Dominance faible
10. Résolution jeux

📖 1. Théorie des jeux

🔑 Notions clés & Définitions

• Jeu : Modèle formel représentant une situation stratégique où plusieurs acteurs (joueurs) prennent des décisions en tenant compte des choix des autres.
  Exemple : La concurrence entre deux entreprises lançant un produit.

• Stratégie : Plan d’action complet qu’un joueur adopte dans une situation donnée, déterminant ses choix dans toutes les circonstances possibles.
  Exemple : Choisir de lancer ou d’abandonner un produit.

• Jeu sous forme normale : Représentation matricielle où chaque joueur choisit une stratégie simultanément, avec des gains associés à chaque combinaison.
  Exemple : Matrice de gains dans un duel.

• Jeu sous forme extensive : Représentation graphique ou arborescence décrivant les décisions successives, avec des informations sur le timing et la connaissance des choix.
  Exemple : Séquence de décisions dans une guerre commerciale.

• Équilibre de Nash : Situation où aucun joueur ne peut améliorer son gain en changeant seul sa stratégie, étant donné celles des autres.
  Exemple : La stratégie optimale dans le jeu Pierre-Feuille-Ciseaux.

• Stratégie mixte : Probabilisation des stratégies pures, permettant de jouer plusieurs stratégies avec certaines probabilités pour optimiser ses résultats.
  Exemple : Jouer Feuille 1/3 du temps dans Pierre-Feuille-Ciseaux.

📝 Points essentiels

• La théorie des jeux permet d’analyser et de prévoir les comportements stratégiques dans des situations où les intérêts des acteurs divergent, en modélisant leurs choix via stratégies pures ou mixtes.
• La forme normale facilite la résolution par la recherche d’un équilibre de Nash, notamment en éliminant les stratégies strictement ou faiblement dominées.
• La forme extensive est utile pour représenter des jeux avec plusieurs étapes ou informations asymétriques, en permettant une meilleure compréhension des décisions séquentielles.
• La stratégie mixte est essentielle pour résoudre certains jeux où aucune stratégie pure ne constitue un équilibre, comme Pierre-Feuille-Ciseaux.
• La domination stricte et la domination faible sont des méthodes pour simplifier la recherche d’un équilibre en éliminant les stratégies sous-optimales.

💡 À retenir

La théorie des jeux offre un cadre analytique pour modéliser et résoudre des situations stratégiques complexes, en distinguant notamment entre stratégies pures et mixtes, et en utilisant le concept d’équilibre de Nash pour prévoir le comportement optimal des acteurs.

📖 2. Jeux non coopératifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Jeu non coopératif : Situation stratégique où chaque joueur agit seul, sans possibilité de former des accords contraignants, en choisissant ses stratégies indépendamment pour maximiser son propre gain.

• Stratégie pure : Choix déterminé d'une seule action ou décision par un joueur, sans randomness.

• Stratégie mixte : Probabilisation de plusieurs stratégies pures, permettant de jouer de manière aléatoire selon des probabilités définies.

• Équilibre de Nash : Ensemble de stratégies où aucun joueur ne peut améliorer son résultat en changeant unilatéralement sa stratégie, étant donné celles des autres.

• Forme extensive : Représentation du jeu sous forme d'arbre, montrant l'ordre des décisions, les choix possibles à chaque étape, et les gains associés.

• Forme normale : Représentation matricielle du jeu où chaque ligne et colonne correspond à une stratégie pure de chaque joueur, avec les gains associés.

📝 Points essentiels

• Les jeux non coopératifs modélisent des interactions où chaque acteur agit pour son propre intérêt, sans collusion ni engagement contraignant.

• La résolution passe par l'identification des stratégies dominantes, stratégies strictement ou faiblement dominées, et par l'analyse des stratégies mixtes pour les jeux à stratégies pures inadéquates.

• L'équilibre de Nash peut exister en stratégies pures ou mixtes. Certains jeux, comme Pierre-Feuille-Ciseaux, n'ont pas d'équilibre en stratégies pures mais en stratégies mixtes.

• La forme extensive permet de représenter les jeux séquentiels avec ordre de décisions, tandis que la forme normale est adaptée aux jeux simultanés.

• La dominance stricte et faible sont des méthodes pour réduire l'espace stratégique en éliminant les stratégies sous-optimales.

• Les stratégies mixtes sont particulièrement utiles pour résoudre les jeux où aucune stratégie pure ne constitue un équilibre stable.

💡 À retenir

Les jeux non coopératifs utilisent des représentations en forme extensive ou normale pour analyser les stratégies optimales, en privilégiant l'équilibre de Nash, qu'il soit en stratégies pures ou mixtes, pour comprendre les décisions rationnelles dans des situations conflictuelles.

📖 3. Forme extensive

🔑 Notions clés & Définitions

• Jeu sous forme extensive : Représentation graphique d’un jeu où chaque décision est modélisée par un arbre, illustrant le déroulement séquentiel des choix et leurs conséquences.
  Point essentiel : Permet d’analyser les stratégies en tenant compte de l’ordre des décisions et de l’information disponible à chaque étape.

• Stratégie dans la forme extensive : Plan d’action complet qu’un joueur peut suivre, incluant toutes les décisions possibles à chaque nœud de l’arbre, même en cas d’incertitude.
  Point essentiel : La stratégie exhaustive doit couvrir toutes les branches de l’arbre, y compris celles qui ne seront peut-être pas parcourues.

• Équilibre de Nash (forme extensive) : Situation où aucun joueur ne peut améliorer son résultat en changeant unilatéralement sa stratégie, compte tenu des stratégies des autres.
  Point essentiel : Peut être trouvé en utilisant la méthode de backward induction dans le cas de jeux à information parfaite.

• Dominance stricte et faible : Une stratégie est strictement (ou faiblement) meilleure qu’une autre si, dans tous les cas, elle donne un résultat supérieur (ou au moins égal, puis strict dans au moins un cas).
  Point essentiel : Utilisée pour éliminer les stratégies irrationnelles ou non optimales.

• Stratégies mixtes : Combinaisons probabilistes de stratégies pures, permettant de rendre la stratégie indéfinissable ou d’équilibrer le jeu lorsque les stratégies pures ne suffisent pas.
  Point essentiel : Utilisées notamment pour résoudre des jeux sans solution en stratégies pures.

• Solution par backward induction : Méthode consistant à analyser le jeu en remontant depuis les décisions finales pour déterminer la stratégie optimale à chaque étape.
  Point essentiel : Applicable dans les jeux à information parfaite, pour identifier l’équilibre sous forme extensive.

📝 Points essentiels

• La forme extensive offre une visualisation claire des décisions séquentielles et des informations disponibles à chaque étape.
• La résolution d’un jeu en forme extensive repose souvent sur la backward induction pour trouver l’équilibre de Nash.
• L’élimination des stratégies strictement ou faiblement dominées simplifie la recherche de solutions.
• Les stratégies mixtes sont essentielles lorsque le jeu ne possède pas d’équilibre en stratégies pures ou pour modéliser l’incertitude.
• La distinction entre stratégies pures et stratégies mixtes permet d’adapter la résolution selon la complexité du jeu.
• La compréhension de l’information disponible à chaque nœud est cruciale pour modéliser correctement le jeu.

💡 À retenir

La forme extensive permet d’analyser les jeux séquentiels en intégrant l’ordre des décisions et l’information, et la résolution s’appuie principalement sur la backward induction et l’élimination des stratégies irrationnelles.

📖 4. Forme normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme normale : Représentation d’un jeu stratégique où chaque joueur choisit simultanément une stratégie parmi un ensemble possible, sous forme de matrice ou tableau, permettant d’analyser les gains en fonction des stratégies choisies par tous les joueurs.

• Stratégie pure : Choix déterminé d’une seule stratégie par un joueur, sans probabilités. Exemple : jouer toujours « a » ou toujours « b ».

• Stratégie mixte : Probabilisation des stratégies pures, où un joueur choisit une stratégie avec une certaine probabilité. Utile pour résoudre des jeux sans solutions en stratégies pures.

• Équilibre de Nash : Situation où aucun joueur ne peut améliorer son gain en changeant unilatéralement sa stratégie, étant donné la stratégie des autres. Peut être en stratégies pures ou mixtes.

• Dominance stricte / faible : Une stratégie domine strictement si elle donne toujours un meilleur résultat, indépendamment des choix des autres. La dominance faible indique une stratégie qui ne peut jamais être moins bonne, et parfois meilleure.

• Solution par élimination : Méthode consistant à supprimer successivement les stratégies strictement ou faiblement dominées pour simplifier le jeu et identifier les stratégies optimales.

📝 Points essentiels

• La forme normale facilite l’analyse des jeux en représentant toutes les stratégies possibles et leurs gains correspondants.
• La stratégie pure est simple mais parfois insuffisante, notamment lorsque le jeu ne possède pas d’équilibre en stratégies pures.
• La stratégie mixte permet de résoudre ces jeux en attribuant des probabilités aux stratégies pures, souvent en utilisant la notion d’équilibre de Nash.
• La dominance est un outil clé pour réduire le nombre de stratégies à analyser, en éliminant celles qui sont strictement ou faiblement dominées.
• La résolution des jeux peut se faire par élimination successive ou par calcul direct des stratégies mixtes pour déterminer les équilibres.

💡 À retenir

La forme normale est un outil fondamental pour analyser les jeux stratégiques, en permettant de déterminer les stratégies optimales via stratégies pures ou mixtes, notamment en utilisant la notion d’équilibre de Nash et la suppression des stratégies dominées.

📖 5. Stratégies pures

🔑 Notions clés & Définitions

Stratégie pure : Choix déterminé d’une action ou d’une décision spécifique par un joueur dans un jeu, sans aucune randomisation.
Stratégie mixte : Probabilisation de plusieurs stratégies pures, permettant d’introduire de l’incertitude dans la décision d’un joueur.
Équilibre de Nash : Situation où aucun joueur ne peut améliorer son gain en changeant unilatéralement sa stratégie, compte tenu des stratégies des autres.
Jeu sous forme extensive : Représentation graphique ou arborescente d’un jeu, détaillant l’ordre des décisions, les choix possibles et leurs conséquences.
Jeu sous forme normale : Représentation matricielle où chaque joueur choisit simultanément une stratégie parmi celles possibles, avec des gains associés.
Dominance stricte/faible : Une stratégie domine strictement si elle donne toujours un meilleur résultat, ou faiblement si elle ne donne jamais un résultat inférieur, par rapport à une autre stratégie, pour toutes les stratégies adverses.

📝 Points essentiels

• La stratégie pure suppose une décision fixe, sans probabilités. Elle est simple à analyser mais limitée face à des jeux où la stratégie mixte est plus efficace.
• La résolution d’un jeu peut passer par l’élimination des stratégies strictement ou faiblement dominées, simplifiant ainsi la recherche d’un équilibre.
• La stratégie mixte est essentielle pour résoudre des jeux où aucune stratégie pure n’est dominante ou où il n’existe pas d’équilibre en stratégies pures.
• La forme extensive permet de modéliser des jeux séquentiels avec des décisions successives, tandis que la forme normale convient aux jeux simultanés.
• L’équilibre de Nash peut exister en stratégies pures ou mixtes ; certains jeux, comme Pierre-Feuille-Ciseaux, n’ont pas d’équilibre en stratégies pures mais en stratégies mixtes.

💡 À retenir

Les stratégies pures sont simples mais limitées ; leur analyse peut nécessiter l’élimination des stratégies dominées ou l’introduction de stratégies mixtes pour résoudre certains jeux complexes ou à équilibre en stratégies mixtes.

📖 6. Stratégies mixtes

🔑 Notions clés & Définitions

• Stratégie pure : Choix déterministe d'une action ou d'une décision unique dans un jeu, sans probabilités associées.
• Stratégie mixte : Distribution de probabilités sur plusieurs stratégies pures, permettant de randomiser ses choix pour rendre sa décision imprévisible.
• Équilibre de Nash : Situation où aucun joueur ne peut améliorer son gain en changeant unilatéralement sa stratégie, compte tenu des stratégies des autres.
• Stratégie dominante : Stratégie qui donne un meilleur résultat pour un joueur, quel que soit le choix des autres joueurs.
• Stratégie strictement dominée : Stratégie qui donne systématiquement un résultat inférieur à une autre stratégie, quel que soit le comportement des autres.
• Solution en stratégies mixtes : Résolution d’un jeu en attribuant des probabilités aux stratégies pures, souvent utilisée lorsque aucune stratégie pure ne constitue un équilibre.

📝 Points essentiels

• Les stratégies mixtes permettent de résoudre des jeux où aucune stratégie pure ne mène à un équilibre de Nash, notamment dans le cas de jeux avec stratégies pures non équilibrantes.
• La résolution par stratégies mixtes consiste à déterminer les probabilités optimales pour chaque stratégie pure, afin de maximiser ou minimiser le gain espéré.
• La méthode consiste souvent à égaliser les gains espérés pour l’adversaire, afin de rendre ses stratégies indifférentes, ce qui permet d’identifier l’équilibre.
• La théorie des stratégies mixtes s’applique notamment dans le jeu Pierre-Feuille-Ciseaux, où jouer chaque option avec une probabilité de 1/3 constitue un équilibre de Nash.
• La stratégie mixte est essentielle dans la théorie des jeux pour modéliser la rationalité et l’incertitude dans des situations où la stratégie pure ne suffit pas.

💡 À retenir

Les stratégies mixtes offrent une solution robuste pour atteindre l’équilibre dans des jeux où aucune stratégie pure ne peut garantir une stabilité, en utilisant la probabilisation pour rendre la stratégie imprévisible et équilibrée.

📖 7. Équilibre de Nash

🔑 Notions clés & Définitions

• Équilibre de Nash : Situation dans un jeu où aucun joueur ne peut améliorer son résultat en changeant unilatéralement sa stratégie, étant donné la stratégie des autres.
• Stratégie pure : Choix déterminé d’une seule action ou stratégie sans mélange probabiliste.
• Stratégie mixte : Distribution probabiliste sur plusieurs stratégies possibles, permettant de jouer différentes stratégies selon des probabilités définies.
• Jeu sous forme normale : Représentation du jeu avec une matrice indiquant les gains ou pertes pour chaque combinaison de stratégies des joueurs.
• Jeu sous forme extensive : Représentation du jeu par un arbre de décisions, illustrant le déroulement séquentiel ou simultané des choix.
• Dominance stricte/faible : Une stratégie domine strictement si elle donne un meilleur résultat dans tous les cas (strictement) ou au moins aussi bon (faiblement) que d’autres stratégies, indépendamment des choix des autres joueurs.

📝 Points essentiels

• L’équilibre de Nash est une solution fondamentale en théorie des jeux, permettant d’identifier des stratégies stables.
• La résolution d’un jeu peut se faire par élimination des stratégies dominées (strictes ou faibles), ou par calcul des stratégies mixtes si aucune stratégie pure ne constitue un équilibre.
• La forme normale facilite la recherche d’équilibres via des matrices de gains, tandis que la forme extensive est utile pour analyser des jeux séquentiels.
• La stratégie optimale peut impliquer un mélange probabiliste (stratégie mixte) lorsque aucune stratégie pure ne constitue un équilibre.
• La théorie des jeux s’applique dans divers domaines : économie, finance, politique, droit, psychologie, sociologie.
• La résolution des jeux implique souvent la recherche de stratégies qui maximisent le gain minimum (maximin) ou minimisent le gain maximum (minimax).

💡 À retenir

L’équilibre de Nash représente une situation stable où aucun joueur n’a intérêt à dévier unilatéralement, ce qui en fait un concept clé pour analyser la stabilité stratégique dans les jeux.

📖 8. Dominance stricte

🔑 Notions clés & Définitions

• Stratégie : Plan d’action qu’un joueur choisit dans un jeu, en fonction de ses options possibles.
• Dominance stricte : Une stratégie A domine strictement une stratégie B si, pour toutes les stratégies des autres joueurs, le gain avec A est toujours supérieur à celui avec B.
• Stratégie faiblement dominante : Une stratégie qui ne fait pas moins que toute autre, et est meilleure dans au moins un cas.
• Élimination des stratégies dominées : Méthode consistant à supprimer successivement les stratégies strictement ou faiblement dominées pour simplifier l’analyse du jeu.
• Équilibre de Nash : Situation où aucun joueur ne peut améliorer son gain en changeant unilatéralement sa stratégie, compte tenu des stratégies des autres.
• Jeux non coopératifs : Jeux où chaque joueur agit indépendamment, sans possibilité de faire des accords contraignants, et où la stratégie dominante guide la décision.

📝 Points essentiels

• La dominance stricte permet d’identifier rapidement les stratégies irrationnelles en éliminant celles qui sont toujours moins avantageuses, quel que soit le comportement des autres joueurs.
• La méthode d’élimination consiste à supprimer successivement toutes stratégies strictement dominées, ce qui peut conduire à une stratégie optimale ou à une réduction du jeu.
• La domination faible est une notion plus faible, où une stratégie est au moins aussi bonne que d’autres dans tous les cas, et meilleure dans au moins un.
• La résolution de jeux par dominance est une étape préliminaire avant de rechercher un équilibre de Nash.
• La formulation en stratégies pures ou mixtes influence la manière dont la dominance est appliquée ; en stratégies mixtes, on considère des probabilités de jouer différentes stratégies.

💡 À retenir

La dominance stricte est un outil puissant pour simplifier l’analyse des jeux non coopératifs, en éliminant les stratégies irrationnelles et en facilitant la recherche d’un équilibre.

📖 9. Dominance faible

🔑 Notions clés & Définitions

• Stratégie dominante faible : Une stratégie qui ne garantit pas toujours un meilleur résultat que d’autres, mais qui ne peut jamais donner un résultat inférieur à une autre stratégie, pour toutes les stratégies des autres joueurs.
• Stratégie strictement dominée : Une stratégie qui est toujours moins avantageuse qu’une autre, quel que soit le choix des autres joueurs.
• Elimination des stratégies dominées : Méthode consistant à supprimer les stratégies strictement ou faiblement dominées pour simplifier l’analyse du jeu.
• Stratégie faiblement dominante : Stratégie qui, dans certains cas, donne un résultat égal ou supérieur à une autre, mais pas strictement supérieur dans tous les cas.
• Rationalité des joueurs : Hypothèse selon laquelle chaque joueur choisit la stratégie qui maximise son gain ou minimise sa perte, en tenant compte des stratégies possibles des autres.
• Point à retenir : La dominance faible permet d’éliminer des stratégies qui ne sont pas nécessairement inférieures dans tous les cas, mais qui ne peuvent jamais être meilleures, facilitant ainsi la résolution du jeu.

📝 Points essentiels

• La dominance faible est une extension de la dominance stricte, permettant d’éliminer des stratégies qui ne sont pas strictement moins avantageuses dans tous les cas, mais qui ne peuvent jamais être meilleures.
• La méthode d’élimination des stratégies faiblement dominées est utile pour réduire la complexité d’un jeu, en conservant uniquement les stratégies rationnelles.
• La stratégie faiblement dominante n’assure pas toujours un gain supérieur dans toutes les situations, mais ne peut jamais entraîner un résultat inférieur à une autre stratégie.
• La suppression des stratégies faiblement dominées ne garantit pas toujours une solution unique, mais facilite l’analyse en réduisant le nombre de stratégies à considérer.
• La rationalité des joueurs implique qu’ils évitent de choisir des stratégies faiblement dominées, car celles-ci ne leur offrent pas d’avantage certain.
• La distinction entre dominance stricte et faible est cruciale pour l’analyse stratégique, notamment dans les jeux où plusieurs stratégies sont possibles.

💡 À retenir

Une stratégie faiblement dominante est une stratégie qui ne peut jamais être moins avantageuse qu’une autre, ce qui permet d’éliminer ces stratégies dans l’analyse pour simplifier la résolution du jeu.

📖 10. Résolution jeux

🔑 Notions clés & Définitions

Jeu : Situation stratégique où plusieurs acteurs (joueurs) prennent des décisions en fonction de leurs intérêts, en tenant compte des choix des autres.

Jeu sous forme extensive : Représentation graphique du jeu avec un arbre de décisions, indiquant les choix possibles à chaque étape et leurs conséquences.

Jeu sous forme normale : Représentation matricielle où chaque joueur choisit une stratégie simultanément, avec des gains associés à chaque combinaison de stratégies.

Stratégie pure : Choix déterminé d’une seule action ou stratégie sans probabilités.

Stratégie mixte : Distribution de probabilités sur plusieurs stratégies, permettant de jouer différentes stratégies avec certaines fréquences.

Équilibre de Nash : Profil de stratégies où aucun joueur ne peut améliorer son gain en changeant unilatéralement sa stratégie.

📝 Points essentiels

• La formule de l’équilibre de Nash consiste à identifier un profil de stratégies où chaque joueur optimise son gain en tenant compte des choix des autres.
• La forme extensive permet de modéliser des jeux avec décisions séquentielles, en utilisant des arbres de décision.
• La forme normale facilite la résolution de jeux simultanés via des matrices, en utilisant des concepts comme la dominance stricte ou faible.
• La stratégie pure est simple mais limitée ; la stratégie mixte est souvent nécessaire pour résoudre certains jeux, notamment ceux avec des stratégies dominantes ou indéfinies.
• La dominance stricte élimine les stratégies qui sont toujours moins avantageuses, simplifiant la recherche d’un équilibre.
• La stratégie mixte est essentielle pour résoudre des jeux comme Pierre-Feuille-Ciseaux, où aucune stratégie pure ne constitue un équilibre stable.

💡 À retenir

Les jeux stratégiques peuvent être analysés via différentes représentations (extensive ou normale), et la résolution implique souvent l’élimination de stratégies dominées ou l’utilisation de stratégies mixtes pour atteindre l’équilibre de Nash.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre stratégie pure et stratégie mixte : croire qu’une stratégie pure ne peut pas être une stratégie mixte avec une seule probabilité.
2. Oublier que l’équilibre de Nash peut exister en stratégies mixtes même si aucune stratégie pure ne fonctionne.
3. Confondre forme normale et forme extensive : penser qu’elles sont interchangeables sans adaptation.
4. Négliger l’importance de l’information dans la forme extensive, menant à des erreurs dans la modélisation.
5. Mal appliquer la backward induction dans les jeux à information imparfaite.
6. Confondre domination stricte et domination faible : penser qu’une stratégie faiblement dominante élimine toujours une stratégie strictement dominée.
7. Ignorer que la dominance permet de simplifier le jeu mais ne garantit pas toujours la solution unique.

✅ Checklist Examen

• Vérifier la maîtrise de la différence entre stratégie pure et stratégie mixte.
• Savoir représenter un jeu en forme normale et en forme extensive.
• Identifier un équilibre de Nash en stratégies pures et en stratégies mixtes.
• Appliquer la backward induction dans un jeu en forme extensive.
• Reconnaître et éliminer stratégies strictement ou faiblement dominées.
• Différencier jeu coopératif et jeu non coopératif.
• Analyser un jeu séquentiel à l’aide de la forme extensive.
• Comprendre la différence entre dominance stricte et faible.
• Savoir modéliser un jeu avec information parfaite et imparfaite.
• Résoudre un jeu en utilisant la méthode de backward induction.
• Vérifier si le jeu possède un équilibre en stratégies pures.
• Vérifier si le jeu nécessite une stratégie mixte pour atteindre un équilibre.