Analyse Spectrale et Formes Canonique

📋 Plan du Cours

1. Endomorphismes & spectre
2. Valeurs propres & noyau
3. Diagonalisation & conjugaison
4. Polynômes caractéristiques & spectre
5. Forme de Jordan & blocs
6. Applications polynomiales & annihilateurs
7. Base de Jordan & vecteurs propres généralisés
8. Matrices semblables & invariants
9. Décomposition spectrale & projecteurs
10. Forme canonique & classification

📖 1. Endomorphismes & spectre

🔑 Notions clés & Définitions

• Endomorphisme : Application linéaire d’un espace vectoriel dans lui-même, notée $f \in L(E)$.
• Spectre ($\operatorname{Sp}(f)$ ou $\operatorname{Sp}(A)$) : Ensemble des valeurs $\lambda$ pour lesquelles $f - \lambda \operatorname{Id}$ (ou $A - \lambda I$) n’est pas inversible, c’est-à-dire que $\operatorname{Ker}(f - \lambda \operatorname{Id}) \neq \{0\}$.
• Espace propre ($E_\lambda(f)$ ou $E_\lambda(A)$) : Sous-espace associé à $\lambda$, défini par $\operatorname{Ker}(f - \lambda \operatorname{Id})$.
• Polynôme minimal ($m_f$ ou $m_A$) : Plus petit polynôme monique annulant $f$ ou $A$, avec $m_f$ divise tout polynôme annulant $f$.
• Diagonalisation : $A$ est diagonalisable s'il existe une base de vecteurs propres, équivalent à $A$ étant semblable à une matrice diagonale.

📝 Points essentiels