Fiche de révision : ANOVA à un et deux facteurs

📋 Plan du Cours

1. Principe et usages de l’ANOVA
2. Logique des tests statistiques
3. Structure de l’ANOVA à un facteur
4. Décomposition de la variance
5. Statistique F et significativité
6. Conditions d’application
7. Post hoc et ANOVA à deux facteurs

📖 1. Principe et usages de l’ANOVA

🔑 Notions clés & Définitions

• ANOVA : Test qui compare plus de deux moyennes et évalue l’effet d’une ou plusieurs variables indépendantes qualitatives, appelées facteurs, sur une variable dépendante quantitative.
• Facteur : Variable explicative qualitative dont les catégories sont appelées niveaux, traitements ou modalités.

📝 Points essentiels

• La teneur en zinc d’une rivière peut constituer un facteur à trois modalités : faible, moyenne et forte, avec l’indice de diversité des diatomées comme variable réponse.

💡 Astuce mémo

Facteur qualitatif → réponse quantitative

📖 2. Logique des tests statistiques

📝 Points essentiels

📌 Dans un test statistique, une p-value supérieure à 0,05 conduit à considérer le test comme non significatif, à conserver H0 et à rejeter H1.

• 🔄 Un test statistique suit trois étapes:
  1. Comparer des quantités
  2. Calculer une variable de test dont la distribution sous H0 est connue
  3. Comparer la probabilité obtenue au risque d’erreur alpha

💡 Astuce mémo

p-value faible → rejet de H0 → différence détectée

📖 3. Structure de l’ANOVA à un facteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable réponse : Variable quantitative mesurée pour chaque observation et expliquée par le facteur qualitatif A.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le modèle général de l’ANOVA à un facteur s’écrit $Y_{ij}=\mu+\alpha_i+\varepsilon_{ij}$, où Yij est la mesure j du traitement i, μ la moyenne générale, αi l’effet de la modalité i et εij l’écart résiduel.

Compléments

• Une ANOVA à un facteur peut être appliquée à un plan expérimental factoriel complet, comme la comparaison de quatre traitements antibiotiques et d’un témoin sur vingt boîtes de Petri.

📖 4. Décomposition de la variance

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance : Moyenne des carrés des écarts des observations à leur moyenne.

📝 Points essentiels

📌 La variance intergroupe décrit la dispersion des moyennes des différents groupes, tandis que la variance intragroupe décrit la dispersion des observations autour de la moyenne de leur groupe.

📐 Formule — La somme des carrés des écarts totaux se décompose selon $SCE_{total}=SCE_{inter}+SCE_{intra}$, où la composante inter est expliquée par le facteur et la composante intra correspond à l’erreur résiduelle.

💡 Astuce mémo

Intergroupe expliqué contre intragroupe bruit

📖 5. Statistique F et significativité

★ À maîtriser

📐 Formule — La statistique de l’ANOVA est le rapport $F=\frac{CM_{inter}}{CM_{intra}}$, où CMinter estime la variance intergroupe et CMintra estime la variance intragroupe.

📌 Sous H0, toutes les moyennes sont égales, l’effet des modalités est nul et la statistique F vaut en espérance 1.

📌 L’hypothèse nulle de l’ANOVA est rejetée lorsque la valeur calculée de F dépasse la valeur seuil de la loi de Fisher-Snedecor au risque alpha, avec p − 1 et n − p degrés de liberté.

Compléments

📌 Une ANOVA significative montre qu’au moins une moyenne diffère des autres, mais elle ne permet pas d’identifier directement les paires de moyennes différentes.

💡 Astuce mémo

Effet intergroupe grand → F grand → ANOVA significative

📖 6. Conditions d’application

★ À maîtriser

• Les résidus doivent être distribués normalement, leurs variances doivent être égales entre traitements et les résidus doivent être indépendants les uns des autres.

Compléments

• Pour vérifier les conditions d’application, il faut d’abord réaliser l’analyse afin d’obtenir les résidus, puis tester la normalité, l’homoscédasticité et l’indépendance sur ces résidus.

💡 Astuce mémo

N-H-I : normalité, homoscédasticité, indépendance

📖 7. Post hoc et ANOVA à deux facteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• ANOVA à deux facteurs : Évalue simultanément l’effet de deux facteurs qualitatifs sur une variable réponse quantitative.
• ANCOVA : Extension de l’ANOVA qui introduit une covariable quantitative pour prendre en compte son effet lors de la comparaison des moyennes.

📝 Points essentiels

• Le test post hoc est utilisé après une ANOVA significative pour déterminer quelles moyennes diffèrent entre elles.

📊 Tableaux de synthèse

Composantes de la variance