Fiche de révision : Approche énergétique de la mécanique

📋 Plan du Cours

1. Démarche et modèles physiques
2. Dimensions et unités du SI
3. Point matériel et référentiels
4. Position vitesse et accélération
5. Accélération et variation de vitesse
6. Coordonnées cartésiennes et cylindriques
7. Mouvements rectilignes et circulaires
8. Masse, forces et lois de Newton
9. Pesanteur et force électromagnétique
10. Forces de contact
11. Méthode et chutes verticales
12. Tir d’un projectile
13. Énergie et travail des forces
14. Calculs de travail et puissance
15. Énergie cinétique et travaux
16. Énergie potentielle et mécanique
17. Énergie mécanique et forces non conservatives
18. Oscillateur harmonique masse-ressort

📖 1. Démarche et modèles physiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Physique : Science qui cherche à expliquer rationnellement les lois générales de la Nature au moyen de lois fondamentales réfutables par les faits expérimentaux, de modèles mathématiques et de méthodes expérimentales.
• Théorie physique : Ensemble minimal de lois physiques permettant de produire des prévisions expérimentales pour une catégorie donnée de systèmes physiques.

📝 Points essentiels

• Pour étudier un phénomène, les physiciens délimitent un système physique, construisent un modèle simplifié, sélectionnent les grandeurs mesurables pertinentes, établissent des lois physiques, puis confrontent leurs prédictions aux expériences.

📌 Une grandeur physique est une variable susceptible d’évoluer au cours du temps ou en fonction d’une autre grandeur, tandis qu’une grandeur d’influence est un paramètre qui influence le système sans évoluer pendant l’observation.

💡 Astuce mémo

Système → modèle → grandeurs → lois → théorie

📖 2. Dimensions et unités du SI

★ À maîtriser

• Les sept dimensions de base sont:
  • Longueur L
  • Temps T
  • Masse M
  • Intensité électrique I
  • Température θ
  • Intensité lumineuse J
  • Quantité de matière N

📌 Seules des grandeurs de même dimension peuvent être comparées, additionnées ou soustraites, car une loi physique doit être homogène.

📐 Formule — La vitesse a pour dimension $[v]=L.T^{-1}$ et l’énergie a pour dimension $[E]=M.L^2.T^{-2}$.

• Les unités de base du SI sont:
  • Mètre (m)
  • Seconde (s)
  • Kilogramme (kg)
  • Ampère (A)
  • Kelvin (K)
  • Candela (cd)
  • Mole (mol)

Compléments

• Le newton est une unité dérivée du système international vérifiant $1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kg.m.s^{-2}}$.

• En 1998, la sonde Mars Climate Orbiter s’est écrasée sur Mars parce que des valeurs de freinage fournies en unités anglo-saxonnes ont été utilisées comme si elles étaient exprimées dans le système international, causant la perte d’une sonde de près de 200 millions de dollars. — NASA

💡 Astuce mémo

Unités incohérentes → mesures erronées → prédictions fausses

📖 3. Point matériel et référentiels

🔑 Notions clés & Définitions

• Point matériel : Objet dont la taille ou la dimension est considérée comme négligeable par rapport aux distances observées ou aux autres objets avec lesquels il interagit, tout en pouvant posséder une masse ou une charge électrique.
• Référentiel d’étude : Constitué d’un repère permettant de repérer la position d’un corps et d’une horloge permettant de dater les changements de position.

★ À maîtriser

📌 Dans le référentiel du train, la balle lâchée verticalement suit une trajectoire rectiligne, tandis que dans le référentiel du quai elle suit une trajectoire parabolique.

Compléments

📌 En mécanique newtonienne, les effets relativistes sont négligeables pour les vitesses usuelles, mais ils deviennent significatifs lorsque la vitesse d’un corps est proche de la vitesse de la lumière dans le vide c. — Einstein, 1905

💡 Astuce mémo

Dans le train : trajectoire rectiligne ; depuis le quai : trajectoire parabolique

📖 4. Position vitesse et accélération

🔑 Notions clés & Définitions

• Trajectoire : Ensemble des positions dans l’espace occupées par ce point et repérées dans un référentiel au cours de son mouvement.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le vecteur vitesse moyenne vérifie $\langle\vec v\rangle=\frac{\Delta\overrightarrow{OM}}{\Delta t}$ et le vecteur vitesse instantanée vérifie $\vec v(t)=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}(t)$.

📐 Formule — Le vecteur accélération instantanée vérifie $\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt}(t)$ et sa dimension est $[a]=L.T^{-2}$, soit une unité SI en m.s⁻².

📌 Le vecteur vitesse instantanée est tangent à la trajectoire, tandis que le vecteur accélération peut modifier la norme, la direction ou le sens de la vitesse.

Compléments

📐 Formule — Lors d’un mouvement rectiligne unidirectionnel, l’aire sous la courbe de la vitesse entre t₁ et t₂ donne le déplacement $\Delta x=\int_{t_1}^{t_2}v\,dt$, tandis que l’aire sous la courbe de l’accélération donne la variation de vitesse $\Delta v=\int_{t_1}^{t_2}a\,dt$.

💡 Astuce mémo

Position → vitesse → accélération

📖 5. Accélération et variation de vitesse

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération : un vecteur qui mesure les variations du vecteur vitesse, notamment les changements de norme, de direction ou de sens, même lorsque la norme reste constante

📝 Points essentiels

• Lors d’un mouvement unidirectionnel, l’aire algébrique sous la courbe de l’accélération projetée entre t₁ et t₂ est égale à la variation de vitesse entre ces instants.

📐 Formule — Pour un mouvement unidirectionnel, la variation de vitesse vérifie $v(t_2)-v(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}a(t)\,dt$.

💡 Astuce mémo

Accélération → variation de vitesse, de direction ou de sens

📖 6. Coordonnées cartésiennes et cylindriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Base cylindrique mobile : formée des vecteurs locaux $\vec e_r$, $\vec e_\theta$ et $\vec e_z$, dont les deux premiers dépendent de l’angle polaire et se déplacent avec le point matériel

📝 Points essentiels

📐 Formule — En coordonnées cartésiennes dans une base fixe, le vecteur position, la vitesse et l’accélération s’écrivent respectivement $\overrightarrow{OM}=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$, $\vec v=\dot{x}\vec e_x+\dot{y}\vec e_y+\dot{z}\vec e_z$ et $\vec a=\ddot{x}\vec e_x+\ddot{y}\vec e_y+\ddot{z}\vec e_z$.

📐 Formule — Les dérivées temporelles des vecteurs de la base cylindrique vérifient $\frac{d\vec e_r}{dt}=\dot{\theta}\vec e_\theta$ et $\frac{d\vec e_\theta}{dt}=-\dot{\theta}\vec e_r$.

📐 Formule — En coordonnées cylindriques, la position, la vitesse et l’accélération s’écrivent $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r+z\vec e_z$, $\vec v=\dot r\vec e_r+r\dot\theta\vec e_\theta+\dot z\vec e_z$ et $\vec a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\vec e_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\vec e_\theta+\ddot z\vec e_z$.

💡 Astuce mémo

Base cartésienne fixe, base cylindrique mobile

📖 7. Mouvements rectilignes et circulaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne uniforme : le mouvement d’un corps se déplaçant en ligne droite à vitesse constante dans le référentiel de l’observateur
• Mouvement rectiligne uniformément varié : un mouvement rectiligne à accélération constante

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un mouvement rectiligne uniforme selon l’axe Ox, l’accélération est nulle et l’équation horaire est $x(t)=v_0t+x_0$.

📐 Formule — Pour un mouvement rectiligne uniformément varié, la vitesse et la position vérifient $\dot{x}(t)=a_0t+v_0$ et $x(t)=\frac{1}{2}a_0t^2+v_0t+x_0$.

📐 Formule — Dans un mouvement circulaire uniforme de rayon R, l’accélération est centripète et vérifie $\vec a=-R\omega_0^2\vec e_r=-\frac{v_0^2}{R}\vec e_r$.

📐 Formule — Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse angulaire et la vitesse linéaire sont reliées par $\omega_0=\dot\theta=\frac{v_0}{R}$ et la position angulaire vérifie $\theta(t)=\omega_0t+\theta_0$.

💡 Astuce mémo

Rectiligne : direction fixe ; circulaire : norme fixe

📖 8. Masse, forces et lois de Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Masse inertielle : un scalaire positif qui mesure la résistance d’un corps à la modification de sa vitesse et s’exprime en kilogrammes dans le système international
• Force : un vecteur modélisant une influence extérieure sur un système donné, caractérisé par une direction, un sens, une intensité et un point d’application

★ À maîtriser

📌 La masse inertielle mesure la résistance à la modification de la vitesse, tandis que la masse gravitationnelle intervient dans l’intensité de la force gravitationnelle ; le principe d’équivalence affirme qu’elles sont égales.

📐 Formule — La quantité de mouvement d’un point matériel de masse m et de vitesse $\vec v$ est le vecteur $\vec p=m\vec v$, qui s’exprime en kg·m·s⁻¹.

📌 Dans un référentiel inertiel, un corps isolé reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.

📐 Formule — Dans un référentiel inertiel, le principe fondamental de la dynamique s’écrit $\frac{d\vec p}{dt}=\sum\vec F$ ; si la masse est constante, il devient $\sum\vec F=m\vec a$.

📌 Un point matériel est à l’équilibre dans un référentiel inertiel si et seulement si la somme vectorielle des forces qui lui sont appliquées est nulle.

📐 Formule — Pour deux points matériels en interaction, le principe des actions réciproques s’écrit $\vec f_{12}=-\vec f_{21}$.

Compléments

• Les lois de la dynamique ont été établies par Isaac Newton dans les Principia Mathematica en 1687.

💡 Astuce mémo

Masse → quantité de mouvement → force → accélération

📖 9. Pesanteur et force électromagnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Poids : La force de pesanteur terrestre exercée sur un corps de masse m, appliquée à son centre de gravité et donnée par $\vec P=m\vec g$, où $\vec g$ est vertical, dirigé vers le bas et de norme 9,81 m·s⁻².

📝 Points essentiels

• À la surface de la Terre, le champ gravitationnel a une norme de 9,81 m·s⁻², calculée avec un rayon terrestre moyen de 6371 km, une constante gravitationnelle G = 6,67·10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻² et une masse terrestre de 5,97·10²⁴ kg.

📐 Formule — La force électrostatique exercée par une charge ponctuelle q′ sur une charge ponctuelle q est donnée par $\vec F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q′q}{r^2}\vec u$, où r est la distance entre les charges et $\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\ \mathrm{F·m^{-1}}$. — Charles-Augustin Coulomb, 1785

📌 Deux charges de même signe se repoussent, tandis que deux charges de signes opposés s’attirent.

📐 Formule — La force de Lorentz exercée sur une charge ponctuelle q de vitesse $\vec v$ par un champ électrique $\vec E$ et un champ magnétique $\vec B$ est $\vec F=q(\vec E+\vec v\wedge\vec B)$.

💡 Astuce mémo

Gravitation toujours attractive, électricité parfois répulsive

📖 10. Forces de contact

🔑 Notions clés & Définitions

• Tension d’un fil : Une force dirigée selon le fil, orientée d’une extrémité vers l’autre, qu’un fil tendu peut exercer pour tirer un objet mais jamais pour le repousser.

★ À maîtriser

📐 Formule — La force de rappel exercée par un ressort idéal est $\vec F=-k\Delta l\vec u$, avec $\Delta l=l-l_0$ et une raideur k exprimée en N·m⁻¹.

📐 Formule — La réaction d’un support solide se décompose en une réaction normale et une réaction tangentielle selon $\vec R=\vec R_N+\vec R_T$.

📐 Formule — La poussée d’Archimède exercée sur un corps immergé vaut $\vec\Pi=-m_{fluide}\vec g$, avec $m_{fluide}=\rho_{fluide}V_{immergé}$.

Compléments

• Un corps immergé peut subir trois types de forces:
  • la poussée d’Archimède
  • la force de frottement fluide
  • la force de portance

💡 Astuce mémo

Fil → ressort → support → fluide

📖 11. Méthode et chutes verticales

★ À maîtriser

• 🔄 L’approche dynamique suit ces étapes: définir le système, choisir et valider un référentiel inertiel, schématiser la situation, choisir les coordonnées, établir la cinématique, dresser le bilan des forces, appliquer et projeter la deuxième loi de Newton, intégrer les équations scalaires

📐 Formule — En chute libre dans le vide, le poids est la seule force et l’accélération du corps vérifie $\vec a=\vec g$, indépendamment de sa masse. — Galilée

📐 Formule — Pour un objet lâché sans vitesse initiale d’une hauteur h, la durée de chute est $T=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ et la vitesse à l’impact vaut $v=\sqrt{2gh}$.

📐 Formule — Avec un frottement fluide proportionnel à la vitesse, l’équation du mouvement est $m\ddot z+k\dot z=mg$ et la vitesse évolue selon $v(t)=\frac{mg}{k}(1-e^{-t/\tau})$, avec $\tau=\frac{m}{k}$.

Compléments

• La vitesse limite d’une chute avec frottement fluide proportionnel à la vitesse est $v_{lim}=\frac{mg}{k}$, et le régime permanent est généralement considéré comme atteint après environ 5 à 7 fois le temps caractéristique τ.

💡 Astuce mémo

Système → référentiel → schéma → forces → Newton → intégration

📖 12. Tir d’un projectile

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un projectile lancé dans le vide avec une vitesse initiale v₀ sous un angle α, les équations horaires sont $x(t)=v_0\cos\alpha\,t$ et $y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\sin\alpha\,t$.

📐 Formule — La trajectoire d’un projectile dans le vide est une parabole d’équation $y(x)=-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2+x\tan\alpha$.

📐 Formule — La portée d’un projectile lancé et réceptionné à la même altitude vaut $x_p=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$ et est maximale pour $\alpha=\frac{\pi}{4}$.

Compléments

📐 Formule — La hauteur maximale d’un projectile vaut $y_m=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$ et est atteinte à l’abscisse $x_m=\frac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}$.

💡 Astuce mémo

Une parabole qui monte, atteint sa flèche, puis retombe

📖 13. Énergie et travail des forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie : une grandeur qui mesure la capacité d’un système à agir sur un autre système, notamment par une modification d’état, une hausse de température, un mouvement ou un rayonnement électromagnétique.
• Travail d’une force : l’énergie transférée d’un système ou vers un système par l’application d’une force contribuant à créer ou à s’opposer à un déplacement ou à une déformation.

★ À maîtriser

📌 L’énergie ne peut être ni créée ni détruite, mais seulement échangée entre systèmes ou transformée d’une forme à une autre.

📐 Formule — Pour une force constante associée à un déplacement rectiligne, le travail vaut $W_{AB}=\vec F\cdot\vec l=Fl\cos\theta$, où θ est l’angle entre la force et le déplacement.

Compléments

• L’énergie s’exprime en joules, de symbole J, et sa dimension est $M.L^2.T^{-2}$.

📐 Formule — Pour une force quelconque le long d’une trajectoire γ, le travail total est l’intégrale curviligne $W_{AB}=\int_\gamma\delta W=\int_\gamma\vec F\cdot d\vec l$.

💡 Astuce mémo

Force et déplacement → transfert d’énergie par le travail

📖 14. Calculs de travail et puissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance instantanée : la vitesse à laquelle le travail de cette force est effectué.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le travail du poids entre deux altitudes zA et zB vaut $W_{AB}=mg(z_A-z_B)$, quelle que soit la trajectoire suivie.

📐 Formule — Pour une force de frottement d’intensité constante f opposée au déplacement rectiligne AB, le travail vaut $W_{AB}=-f\,AB$.

📐 Formule — La puissance instantanée d’une force appliquée à un point matériel de vitesse $\vec v$ vaut $P=\vec F\cdot\vec v$, et le travail entre deux instants vaut $W_{AB}=\int_{t_A}^{t_B}P\,dt$.

Compléments

📐 Formule — Le travail élémentaire d’une force est $\delta W=\vec F\cdot d\vec l$, avec $d\vec l=\vec v\,dt$.

📐 Formule — Le travail d’une force de rappel de raideur k entre xA et xB vaut $W_{AB}=\frac12k(x_A-x_0)^2-\frac12k(x_B-x_0)^2$.

💡 Astuce mémo

Travail = quantité transférée ; puissance = vitesse du transfert

📖 15. Énergie cinétique et travaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie cinétique : l’énergie qu’un corps possède en raison de son mouvement.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’énergie cinétique d’un point matériel de masse m et de vitesse v vaut $E_c=\frac12mv^2$.

📌 Dans un référentiel inertiel, la variation de l’énergie cinétique d’un point matériel est égale à la somme des travaux de toutes les forces appliquées : $\Delta E_c=\sum W_{AB}(\vec F)$.

📌 Un travail moteur est associé à une somme de travaux positive et augmente l’énergie cinétique, tandis qu’un travail résistant est associé à une somme négative et la diminue.

Compléments

📌 Si la somme des travaux est nulle, l’énergie cinétique reste constante et le mouvement est uniforme.

💡 Astuce mémo

Travail total positif → énergie cinétique et vitesse augmentent

📖 16. Énergie potentielle et mécanique

🔑 Notions clés & Définitions

• Force conservative : s’il existe une énergie potentielle Ep telle que son travail entre A et B vérifie $W_{AB}=-\Delta E_p=E_p(A)-E_p(B)$.

★ À maîtriser

📌 Le poids et la force de rappel sont conservatives, tandis que les forces de frottement sont non conservatives et dissipent l’énergie sous forme de chaleur.

📐 Formule — L’énergie potentielle de pesanteur à l’altitude z vaut $E_p(z)=mgz+c$, où c dépend du choix de la référence.

📐 Formule — Pour un mouvement rectiligne selon Ox, une force conservative dérive de l’énergie potentielle selon $\vec F(x)=-\frac{dE_p}{dx}(x)\vec e_x$.

📌 Une position d’équilibre stable correspond à un minimum d’énergie potentielle, tandis qu’une position d’équilibre instable correspond à un maximum.

📐 Formule — L’énergie mécanique d’un point matériel est $E_m=E_c+\sum_iE_{p_i}$ et elle est constante si le point est soumis uniquement à des forces conservatives et à des forces qui ne travaillent pas.

Compléments

📐 Formule — L’énergie potentielle élastique d’un ressort vaut $E_p(x)=\frac12k(x-x_0)^2+c$.

💡 Astuce mémo

Forces conservatives : énergie stockée ; frottements : énergie dissipée

📖 17. Énergie mécanique et forces non conservatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie mécanique : Somme de son énergie cinétique et de ses énergies potentielles : $E_m=E_c+\sum_i E_{p_i}$.

★ À maîtriser

📌 La variation d’énergie mécanique entre A et B est égale au travail des forces non conservatives : $\Delta E_m=\sum W_{AB}(\vec F_{NC})$.

📌 L’approche énergétique fournit une équation scalaire et peut remplacer l’approche dynamique lorsque le mouvement possède un seul degré de liberté, tandis qu’elle complète seulement les lois de Newton pour un système à plusieurs degrés de liberté.

Compléments

📐 Formule — La puissance des forces non conservatives vérifie $\frac{dE_m}{dt}=\sum P(\vec F_{NC})$.

💡 Astuce mémo

Travail non conservatif → variation de l’énergie mécanique

📖 18. Oscillateur harmonique masse-ressort

🔑 Notions clés & Définitions

• Pulsation propre : Du système masse-ressort est $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ et s’exprime en rad.s−1.
• Moment cinétique : D’un point matériel M par rapport à O est le vecteur $\vec L_O=\overrightarrow{OM}\wedge\vec p$, où $\vec p=m\vec v$.
• Moment d’une force : le vecteur $\vec{M}_O(\vec{F})=\overrightarrow{OM}\wedge\vec{F}$, qui caractérise la tendance de la force à faire tourner le point autour de O
• Force centrale : une force alignée à chaque instant avec la droite passant par O et le point M

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour le système masse-ressort horizontal, l’équation du mouvement est $\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$.

📐 Formule — L’énergie mécanique du système masse-ressort sans frottement est $E_m=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}$.

📐 Formule — La solution générale du mouvement harmonique est $x(t)=A\cos(\omega_0t+\varphi)$, où A est l’amplitude et φ la phase à l’origine des dates.

📐 Formule — Pour le pendule simple, l’équation exacte du mouvement est $\ddot{\theta}+\omega_0^2\sin\theta=0$ avec $\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$.

📌 Aux faibles amplitudes, l’approximation sin θ ≈ θ transforme l’équation du pendule en équation d’oscillateur harmonique : $\ddot{\theta}+\omega_0^2\theta=0$.

📐 Formule — Avec un frottement fluide linéaire $\vec f=-\alpha\vec v$, l’équation du masse-ressort devient $\ddot{x}+2\lambda\dot{x}+\omega_0^2x=0$ avec $2\lambda=\frac{\alpha}{m}$.

📌 Le régime pseudo-périodique correspond à Δ < 0 et conserve des oscillations d’amplitude décroissante, le régime apériodique à Δ > 0 supprime les oscillations, et le régime critique à Δ = 0 assure le retour sans oscillation le plus rapide.

• La loi des orbites affirme que les planètes du système solaire décrivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil occupe l’un des foyers.

📌 La loi des aires affirme que des aires égales sont balayées en des temps égaux, ce qui rend la vitesse maximale au périhélie et minimale à l’aphélie.

📐 Formule — La loi des périodes affirme que le carré de la période T est proportionnel au cube du demi-grand axe a : $\frac{T^2}{a^3}=\text{constante}$.

📐 Formule — Pour un point matériel en mouvement circulaire de rayon R autour de O, le moment cinétique vaut $\vec{L}_O=mR^2\dot{\theta}\vec{e}_z$.

📐 Formule — Dans un référentiel inertiel, le théorème du moment cinétique s’écrit $\frac{d\vec{L}_O}{dt}=\sum\vec{M}_O(\vec{F})$.

💡 Astuce mémo

Une masse va-et-vient entre −A et +A autour de l’équilibre

📊 Tableaux de synthèse

Mouvements particuliers

Forces de contact