Fiche de révision : Automatique : stabilité et précision

📋 Plan du Cours

1. Fondements de l’automatique
2. Modèles linéaires et Laplace
3. Réponses temporelles des systèmes
4. Réponses fréquentielles
5. Systèmes bouclés
6. Pôles et lieu d’Evans
7. Propriétés du lieu des racines
8. Systèmes élémentaires et réponses
9. Stabilité des systèmes asservis
10. Critère algébrique de Routh
11. Stabilité en régime sinusoïdal
12. Précision des systèmes asservis
13. Compensation et identification
14. Méthodes d’identification
15. Modélisation de Strejc en boucle ouverte
16. Principe de l’identification en boucle fermée
17. Méthodes de Strejc en boucle fermée
18. Méthodes de Broïda en boucle fermée

📖 1. Fondements de l’automatique

🔑 Notions clés & Définitions

• Automatique : Science et technique qui permettent de maîtriser le comportement d’un système en agissant de manière adéquate sur ses grandeurs d’entrée afin de contrôler ses grandeurs de sortie.

📝 Points essentiels

• L’automatique traite les systèmes dynamiques par leur modélisation, leur analyse, leur identification et leur commande, tandis que l’automatisme désigne les objets de contrôle-commande permettant l’automatisation d’un système.

• Un système en boucle ouverte élabore sa commande sans connaître ses grandeurs de sortie, tandis qu’un système en boucle fermée élabore sa commande à partir de la consigne et de la sortie mesurée.

• La boucle fermée peut stabiliser un système instable en boucle ouverte, compenser les perturbations externes et compenser les incertitudes internes du processus.

• L’asservissement consiste à faire suivre à la sortie une consigne variable dans le temps, tandis que la régulation consiste à compenser l’effet de perturbations variables sur la sortie à consigne fixe.

💡 Astuce mémo

Boucle ouverte : commande sans sortie ; boucle fermée : commande corrigée par la sortie

📖 2. Modèles linéaires et Laplace

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Un système linéaire est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants reliant l’entrée e(t) à la sortie s(t), et vérifie l’homogénéité ainsi que l’additivité.
• Transformée de Laplace : La transformée de Laplace d’une fonction f définie pour t≥0 est $F(p)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-pt}\,dt$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’équation différentielle d’un système linéaire s’écrit $b_0s(t)+b_1\frac{ds(t)}{dt}+\dots+b_n\frac{d^ns(t)}{dt^n}=a_0e(t)+a_1\frac{de(t)}{dt}+\dots+a_m\frac{d^me(t)}{dt^m}$, avec un ordre égal à n.

📐 Formule — En régime statique, lorsque toutes les dérivées de l’entrée et de la sortie sont nulles, le gain statique vaut $K=\frac{a_0}{b_0}$.

📐 Formule — Pour des conditions initiales nulles, la fonction de transfert d’un système linéaire est $T(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{a_0+a_1p+\dots+a_mp^m}{b_0+b_1p+\dots+b_np^n}$.

💡 Astuce mémo

Équation différentielle → transformée de Laplace → fonction de transfert

📖 3. Réponses temporelles des systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Système du premier ordre : Un système du premier ordre possède une fonction de transfert de la forme $T(p)=\frac{K}{1+\tau p}$, où K est le gain statique et τ la constante de temps.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La réponse à un échelon d’amplitude E₀ d’un système du premier ordre est $s(t)=KE_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)$.

📌 Pour un système du second ordre, z>1 correspond à deux pôles réels, z=1 à deux pôles réels confondus et z<1 à deux pôles complexes conjugués.

📐 Formule — La fonction de transfert canonique d’un système du second ordre est $T(p)=\frac{K}{1+\frac{2zp}{\omega_n}+\frac{p^2}{\omega_n^2}}$, où ωn est la pulsation naturelle et z le coefficient d’amortissement.

💡 Astuce mémo

Premier ordre : évolution exponentielle ; second ordre sous-amorti : oscillations

📖 4. Réponses fréquentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Réponse fréquentielle : Pour une entrée sinusoïdale e(t)=E₀sin(ωt), un système linéaire fournit en régime permanent une sortie sinusoïdale de même pulsation, caractérisée par un gain et un déphasage.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le gain harmonique et le déphasage sont donnés par $|T(j\omega)|=\frac{S_0}{E_0}$ et $\varphi=\arg(T(j\omega))$.

• Les trois représentations fréquentielles sont:
  • Bode, qui sépare gain et phase selon la pulsation
  • Black, qui représente le gain en fonction de la phase
  • Nyquist, qui représente T(jω) dans le plan complexe

📐 Formule — Dans le plan de Bode, le gain en décibels est $|T(j\omega)|_{dB}=20\log(|T(j\omega)|)$.

💡 Astuce mémo

Bode → Black → Nyquist : trois représentations d’une même réponse harmonique

📖 5. Systèmes bouclés

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un retour unitaire, la fonction de transfert en boucle fermée est $H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{D(p)}{1+D(p)}$.

📐 Formule — Pour un système du premier ordre bouclé à retour unitaire, $K'=\frac{K}{1+K}$ et $\tau'=\frac{\tau}{1+K}$.

📐 Formule — Pour un système du second ordre bouclé à retour unitaire, $K'=\frac{K}{1+K}$, $z'=\frac{z}{\sqrt{1+K}}$ et $\omega_n'=\omega_n\sqrt{1+K}$.

💡 Astuce mémo

Retour négatif → gain réduit et dynamique modifiée

📖 6. Pôles et lieu d’Evans

🔑 Notions clés & Définitions

• Lieu d’Evans : Le lieu d’Evans est le lieu géométrique des racines de l’équation D(p)+KN(p)=0 dans le plan complexe lorsque K varie de 0 à l’infini.

📝 Points essentiels

📌 Les pôles sont les valeurs qui annulent le dénominateur d’une fonction de transfert et sont représentés par des croix, tandis que les zéros annulent le numérateur et sont représentés par des cercles.

📐 Formule — Pour une FTBO $T(p)=\frac{KN(p)}{D(p)}$ à retour unitaire, les pôles en boucle fermée vérifient l’équation caractéristique $D(p)+KN(p)=0$.

• Lorsque K tend vers zéro, les branches du lieu d’Evans partent des pôles en boucle ouverte, et lorsque K tend vers l’infini, elles aboutissent aux zéros en boucle ouverte.

📌 Si un pôle de la fonction de transfert en boucle fermée possède une partie réelle positive, le système est instable.

💡 Astuce mémo

Variation du gain → déplacement des pôles → évolution de la stabilité

📖 7. Propriétés du lieu des racines

📝 Points essentiels

• Les pôles complexes du lieu des racines apparaissent toujours par paires conjuguées, quelle que soit la valeur de K.

• Le nombre de branches du lieu des racines est égal au nombre de pôles en boucle ouverte, qui correspond à l’ordre du système.

• Lorsque K tend vers zéro, l’équation caractéristique retrouve les pôles en boucle ouverte, tandis que lorsque K tend vers l’infini, elle retrouve les zéros en boucle ouverte.

💡 Astuce mémo

Départ : pôles en boucle ouverte ; arrivée : zéros en boucle ouverte

📖 8. Systèmes élémentaires et réponses

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrateur pur : Vérifie $\frac{ds}{dt}=K.e(t)$, possède la fonction de transfert $T(p)=\frac{K}{p}$ et fournit une sortie égale à l’intégrale de l’entrée.
• Retard pur : Un retard pur de durée r vérifie $s(t)=e(t-r)$ et possède la fonction de transfert $T(p)=e^{-rp}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un échelon d’amplitude E₀ appliqué à un intégrateur pur, la sortie est une rampe de pente K.E₀ : $s(t)=K.E_0.t.u(t)$.

💡 Astuce mémo

Intégrateur : rampe à l’échelon ; retard pur : sortie décalée

📖 9. Stabilité des systèmes asservis

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité : Tout signal borné en entrée produit un signal borné en sortie ; pour un système linéaire, la réponse à un échelon reste finie, la réponse impulsionnelle tend vers zéro et la réponse sinusoïdale garde une amplitude finie.

📝 Points essentiels

📌 Un système linéaire est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert ont une partie réelle strictement négative.

📐 Formule — Pour un système bouclé de fonction de transfert en boucle ouverte T(p), l’équation caractéristique est $1+T(p)=0$ et la stabilité en boucle fermée exige que toutes ses racines aient une partie réelle négative.

💡 Astuce mémo

Pôles à partie réelle négative → réponses bornées

📖 10. Critère algébrique de Routh

📝 Points essentiels

• Le critère de Routh détermine la stabilité sans calculer explicitement les racines du polynôme caractéristique mis sous la forme $b_np^n+b_{n-1}p^{n-1}+\dots+b_1p+b_0=0$.

📌 Si tous les termes de la première colonne du tableau de Routh sont strictement positifs, le système est stable ; s’il y a c changements de signes, l’équation possède c racines à partie réelle positive.

💡 Astuce mémo

Polynôme → tableau → première colonne → stabilité

📖 11. Stabilité en régime sinusoïdal

🔑 Notions clés & Définitions

• Point critique : Correspond à $T(j\omega)=-1$, soit un module égal à 1 ou 0 dB et un déphasage égal à −180°.

📝 Points essentiels

📌 Dans le plan de Black, le système bouclé est stable si, en parcourant la courbe de la FTBO lorsque ω augmente, le point critique est laissé sur sa droite.

📌 Dans le plan de Bode, si ω₀ est la pulsation de coupure à 0 dB et ωc celle de passage à −180°, l’asservissement est stable lorsque ω₀<ωc.

💡 Astuce mémo

Gain à 0 dB avant phase à −180° : stable ; après : instable

📖 12. Précision des systèmes asservis

🔑 Notions clés & Définitions

• Précision : Est d’autant plus grande que sa sortie s(t) est proche de la consigne, l’erreur étant $\epsilon(t)=s_d(t)-s(t)$.

📝 Points essentiels

📌 La précision dynamique concerne le régime transitoire et la rapidité d’arrivée au régime permanent, tandis que la précision statique concerne l’erreur en régime permanent.

📌 Pour une réponse sans dépassement, le temps de réponse à 5 % est le temps nécessaire pour atteindre 95 % de la valeur finale ; avec dépassement, la sortie doit rester entre 95 % et 105 % de cette valeur.

📐 Formule — L’erreur statique est donnée par $\lim_{t\to\infty}\epsilon(t)=\lim_{p\to0}p\bigl(E(p)-S(p)\bigr)$.

• Pour une boucle ouverte de type α, l’erreur de position à un échelon vaut $\frac{E_0}{K+1}$ pour α=0 et 0 pour α=1 ou α=2, tandis que l’erreur de vitesse à une rampe vaut l’infini pour α=0, $\frac{a}{K}$ pour α=1 et 0 pour α=2.

💡 Astuce mémo

Précision dynamique : vitesse ; précision statique : erreur finale

📖 13. Compensation et identification

🔑 Notions clés & Définitions

• Correcteur proportionnel : Fournit une commande proportionnelle à l’erreur mesurée et règle le gain selon un compromis entre stabilité et précision.

📝 Points essentiels

• Un faible gain en boucle ouverte donne généralement un système stable mais peu précis, tandis qu’un gain élevé améliore la précision mais réduit la stabilité.

• Un correcteur réalisable doit être causal, avec un degré de numérateur inférieur à celui du dénominateur, et stable, avec des pôles à partie réelle négative.

• L’action proportionnelle augmente le gain et améliore la précision mais peut dégrader la stabilité, l’action intégrale augmente le gain aux basses fréquences et l’action dérivée apporte une phase positive qui augmente la marge de phase.

• Pour annuler l’effet d’une perturbation dans l’exercice étudié, le correcteur doit vérifier $G_1(p)C(p)=1$, soit $C(p)=\frac{1}{G_1(p)}$.

💡 Astuce mémo

Avance de phase : stabilité ; retard de phase : précision

📖 14. Méthodes d’identification

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le modèle de Strejc représente un processus stable sans dépassement par $T(p)=\frac{Ke^{-Tp}}{(1+\tau p)^n}$.

• 🔄 La méthode de Strejc suit ces étapes:
  1. Déterminer le gain K
  2. Tracer la tangente au point d’inflexion
  3. Relever T₁ et T₂
  4. Déduire n
  5. Calculer τ
  6. Déterminer le retard T

📐 Formule — Pour un processus instable contenant une intégration, le modèle de Strejc s’écrit $T(p)=\frac{Ke^{-Tp}}{p(1+\tau p)^n}$.

💡 Astuce mémo

Gain → temps caractéristiques → modèle → réglage

📖 15. Modélisation de Strejc en boucle ouverte

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le modèle de Strejc s’écrit $T(p)=\frac{1}{p(1+\tau p)^n}$.

📐 Formule — Après la détermination de l’ordre n, la constante de temps se calcule par $\tau=\frac{T_u}{n}$.

💡 Astuce mémo

Déterminer n, puis calculer τ = Tu/n

📖 16. Principe de l’identification en boucle fermée

📝 Points essentiels

• En boucle fermée, on supprime l’action du régulateur, on augmente le gain $K_r$ jusqu’aux oscillations de pompage, puis on applique une méthode d’identification à la limite de stabilité.

• À la limite de stabilité, la phase vaut -180° et le gain en module vaut 1, ce qui fournit des valeurs exactes pour l’identification.

💡 Astuce mémo

Suppression du régulateur → augmentation de Kr → oscillations à la limite de stabilité

📖 17. Méthodes de Strejc en boucle fermée

📝 Points essentiels

📐 Formule — Sans intégrateur, le modèle de Strejc est $T(p)=\frac{Ke^{-Tp}}{(1+\tau p)^n}$ et, à la limite de stabilité, son module et sa phase vérifient respectivement les équations de gain égal à 1 et de phase égale à $-\pi$.

• Pour la méthode de Strejc sans intégrateur, l’ordre n est identifié à partir de la valeur de $K_{conc}K$ dans le tableau fourni.

📐 Formule — Pour Strejc sans intégrateur, la constante de temps se calcule par $\tau=\frac{T_{conc}}{2\pi}\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

• Avec un intégrateur, le modèle de Strejc contient un facteur d’intégration et l’identification utilise le rapport $K_{rosc}K/\omega_{osc}$ pour déterminer n.

💡 Astuce mémo

Sans intégrateur : phase retardée ; avec intégrateur : phase retardée de π/2 supplémentaire

📖 18. Méthodes de Broïda en boucle fermée

📝 Points essentiels

📐 Formule — La méthode de Broïda sans intégrateur utilise le modèle du premier ordre $T(p)=\frac{Ke^{-Tp}}{1+\tau p}$.

📐 Formule — Pour Broïda sans intégrateur, la constante de temps vaut $\tau=\frac{T_{osc}}{2\pi}\sqrt{(K_{rosc}K)^2-1}$.

📐 Formule — La méthode de Broïda avec intégrateur utilise le modèle $T(p)=\frac{Ke^{-\tau p}}{p(1+\tau p)}$.

• Lors de l’essai, un échelon d’entrée de 5 V produit des oscillations de période $T_{osc}=18{,}5\ \mathrm{s}$ avec $K_{rosc}=10$, et la sinusoïde est centrée sur 4,4 V.

📐 Formule — Le gain statique vérifie $K_{rosc}K=\frac{\Delta S}{\Delta E-\Delta S}=\frac{4{,}4}{5-4{,}4}=7{,}33$, d’où $K=0{,}733$.

• Avec la méthode de Strejc, $K_{rosc}K=7{,}33$ donne n=3, puis $\tau=5{,}1\ \mathrm{s}$ et $T=0{,}15\ \mathrm{s}$, soit le modèle $T(p)=\frac{0{,}733e^{-0{,}15p}}{(1+5{,}1p)^3}$.

• Avec la méthode de Broïda, on obtient $\tau=21{,}4\ \mathrm{s}$ et $T=5\ \mathrm{s}$, soit le modèle $T(p)=\frac{0{,}733e^{-5p}}{1+21{,}4p}$.

💡 Astuce mémo

Broïda modélise un premier ordre, avec ou sans intégrateur

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des boucles

Critères graphiques de stabilité