Fiche de révision : Calcul intégral : méthodes et applications

📋 Plan du Cours

1. Intégration par parties
2. Aire entre deux courbes
3. Valeur moyenne d’une fonction
4. Intégrales et suites

📖 1. Intégration par parties

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables u et v sur [a ; b], on a ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx.

🔄 Processus — Pour intégrer par parties, on choisit comme facteur à dériver celui dont la dérivée simplifie l’expression, puis on intègre l’autre facteur.

Compléments

• L’intégrale ∫₀^(π/2) x sin(x) dx vaut 1.

• L’intégrale ∫₀^(π/2) x² cos(x) dx se calcule par une double intégration par parties et vaut π²/4 − 2.

💡 Astuce mémo

Dériver un facteur, intégrer l’autre

📖 2. Aire entre deux courbes

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Si 0 ≤ f(x) ≤ g(x) sur [a ; b], l’aire comprise entre les courbes de f et de g vaut ∫ₐᵇ g(x) dx − ∫ₐᵇ f(x) dx, soit ∫ₐᵇ [g(x) − f(x)] dx.

• Pour f(x)=x²+1 et g(x)=−x²+2x+5 sur [−1 ; 2], l’aire délimitée par les deux courbes vaut 9 unités d’aire.

Compléments

📐 Formule — Par linéarité de l’intégrale, la différence des intégrales peut être regroupée en une seule intégrale : ∫ₐᵇ g(x) dx − ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ [g(x)−f(x)] dx.

• Dans l’exemple, ∫₋₁² g(x) dx = 15 et ∫₋₁² f(x) dx = 6.

💡 Astuce mémo

Haut moins bas

📖 3. Valeur moyenne d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur moyenne : Pour une fonction continue f sur un intervalle [a ; b] avec a ≠ b, la valeur moyenne est m = 1/(b−a) ∫ₐᵇ f(x) dx.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Géométriquement, la valeur moyenne m est la hauteur de la fonction constante y=m dont l’aire entre a et b est égale à l’aire sous la courbe de f.

• Si f(x)=16x²−x³ modélise le nombre de malades au x-ième jour, le nombre moyen de malades par jour sur [0 ; 16] vaut 1024/3, soit environ 341.

Compléments

• La valeur moyenne de f(x)=3x²−4x+5 sur [1 ; 10] vaut 94.

💡 Astuce mémo

Aire divisée par largeur

📖 4. Intégrales et suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite d’intégrales : Étudiée est définie, pour tout entier n, par Iₙ = ∫₁ᵉ x(ln(x))ⁿ dx.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Une intégration par parties donne, pour tout entier n, Iₙ₊₁ = e²/2 − (n+1)/2 Iₙ.

• Un programme Python conduit à conjecturer que la limite de la suite (Iₙ) est +∞, mais le cours précise que cette conjecture n’est pas exacte.

Compléments

📐 Formule — Le premier terme de la suite vaut I₀ = (e²−1)/2.

🔄 Processus — Pour établir la relation de récurrence, on applique une intégration par parties à Iₙ₊₁ en posant v(x)=(ln x)ⁿ⁺¹ et u′(x)=x.

💡 Astuce mémo

Initialisation, récurrence, conjecture

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. La formule porte sur l’intégrale de u′v, et non directement sur uv′.
2. L’aire entre les courbes est la courbe supérieure moins la courbe inférieure, et non l’inverse.
3. La valeur moyenne est l’intégrale divisée par la longueur b−a de l’intervalle.
4. Le coefficient de Iₙ est −(n+1)/2, et non −n/2.
5. Le choix des facteurs n’est pas interchangeable lorsque l’un des choix complexifie l’intégrale restante.
6. Le calcul utilise g comme fonction supérieure sur tout l’intervalle considéré.
7. m n’est pas l’intégrale elle-même : l’aire correspondante vaut (b−a)m.